А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 18
Текст из файла (страница 18)
1 шаг. Сначала мы будем минимизировать старший объем чо1,. Для этого рассмотрим минимизирующую последовательность компактов Хг ен 8 таких, что чо1»(Х,' А) -+й» = |п1 чо1» (У~А). био Желательно получить минимальную поверхность Х» как предел мннимАлъныз поваохностн в ВАэиАцнонных клАссАх 6 тв этой последовательности компактов. В то же время ясно, что исходную последовательность нужно соответствующим образом обработать, чтобы ее предел был разумно определен, так как хотя объемы чо1»(Х«'~А) стремятся к минимуму, но сами поверхности Хо могут прй этом «замегать» практически все многообразие М за счет «тонких усов», мера которых стремится к нулю, а сами эти «усы» заполняют все к, ббльшую и ббльшую область в М.
Поэтому в первую очередь следует избавиться от таких «усов», срезав их у основания н заменив «шапочками» малого объема и малого диаметра (рис. 29). При этом важно так выполнить это сглаживание «усов», чтобы получившийся в результате втой операции компакт Х снова принадлежал тому же варна- «~» ционному классу «Р, что и исходный компакт Х . Оказывается, такая операция (мы назвали ее В- сглаживанием) может быть корректно определена, Выполнив 5-сглаживание всех поверхностей Х, по- рао. зв. лучаем новую минимизирующую последовательйость 1Х,), для которой по-прежиему чо!»(Х '~ А)-+ 4, но )( имеют уже значительно более «правильную форму», чем исходные поверхности.
2 шаг. Переход к пределу осуществляется следующим образом. С каждой поверхностью Хр связывается функция с$ерической плот~ос~~ Ч'»(Р, Х«), Определяемая так: ~».~в р,« «о 7»(о) где точка Р енМ, В" (Р, е) — л-мерный шар в М с центром в точке Р и радиуса е, у»(е) — й-мерный объем стандартного евкли- дова шара радиуса е и размерности й. Если а»(Л,«1 Р~Х„то, очевидно, т»(Р, Хо) 0; если же РыХр, то Ч'»(Р, Х,))0 (рис.
30), Ясно, что функция Ч'»(Р, Хо) измеряет отклонение л У« поверхности Х, в точке Р от й-мерного диска, Если Хо в окрестности точки Р ен Х« является гладким подмногообразием в М, то, очевидно, Чг»(Р, Х,) 1, так как пересечение В"(Р, е)ПХ« при малых з мало отличается от Ьмерйого гладкого диска радиуса е. Таким образом, последовательность Хр определяет последовательность функций чр»(Р, Х ). Оказывается, можно опредео лить предельную функцию Ч'„(Р) = 1!шЧ'о(Р, Хо). Тогда в каче- « стае предельной поверхности в размерности й берется носитель гв вагнациоиныв алычи и экстгаогдинагныз твогии пл.з предельной функции Ч'~(Р), т.
е. множество точек, в которых Ч'ь(Р))0, 3 шаг. Доказывается, что множество 5" '(Р: Ч'„(Р))0)— компакт. Ясно, что, вообще говоря, 5" не принадлежит классу Ю (в атом отличие от случая обычных гомологий). После этого следует повторить описанную выше процедуру предельного перехода зо всех низших размерностях, предшествующих размерности й. Это один нз самых сложных агапов в доказательстве, В результате зтого построения получается стратифицированное множество Х, = А () 5ь () 5"-' Ц ...
4 шаг. Доказывается, что Хз — компакт в М. б шаг. Доказывается, что вариационные классы аг (д) замкнуты относительно предельных переходов, т. е. если Хз 1!т Х,, где Хг еп О ф), то Хр вв Ю (д). б ш а г. Доказывается, чтостратифицированиый объем поверхности Х, — наименьший в классе Ю (д). 7 шаг. В каждой размерности з~:,й доказывается, что функция Ч(,(Р, Х,)»1 на всем 5' и т,(Р, Хз) 1 на открытом подмножестве в 5', всюду плотном в 5'. Тогда те точки из 5', в которых Ч',)1, оказываются особыми (сингулярными) точками в 5', заполняющими множество Я„з-мерный объем которого равен нулю. 8 ш а г. Доказывается, что каждая поверхность 5'~,2, является гладким минимальным подмногообразием в М. й 8. Решение задачи о иахождеини глобально минимальной поверхности (относительного минимума) в каждом гомотопнческом классе В й 3 были сформулированы задачи А' и В' о нахождении минимальной поверхности в каждом гомотопическом классе.
Например, в задаче о заклейке (задача А') рассматриваются пленки постоянного топологического типа, гомотопные друг другу (в отличие от задачи А, в которой ищется абсолютный минимум по всем гомотопическим классам), Оказывается, введенные автором понятия стратифицированного объема и стратифицированных минимальных поверхностей, послв подходящей переформулировки иа функциональном языке варифолдов, позволяют решить и задачи А' и В'; зто решение принадлежит Дао Чонг Тхи, сформулировавшему задачу А' в таком виде: можно ли среди всех локально липшицевых отображений йс Чгз-~.М", гоматопных исходному отображению / и таких, что (у~ам ~(зм, найти отображение и„ минимизирующее старший функционал Й-мерного объема (при атом дЖ может быть пусто)г В такой постановке решается задача о минимизации втаршего объема чо1„поведение объемов мень- зп минимзльныв повзгхности в гомотопичзском класса тт ших размерностей не контролируется.
Далее, Дао Чонг Тхи решил задачу А' в следующем виде: установлено существование локально лнпшицева отображения у,: Игз-«-М" (в терминах потоков), минимизирующего функционал старшего й-мерного объема в классе всех локально липшнцевых отображений д: зг -«-М таких, что д)ам=~)зм (зто — задача нахождения абсолютного минимума по всем гомотопнческим классам). Как н в предыдущих случаях, минимизнруется старший объем то!, (в терминах потоков).
Решение зтих задач в указанной постановке оказалось возможным после того, как Дао Чонг Тхи ввел понятие мультиварифолдов, являющихся функциональными аналогами стратифицированных поверхностей Х=Л()5'()5"-'Ц ... Такая постановка ближе к функцнональному языку, разработанному в ~38] — [40). Глава 3 ВЫЧИСЛЕНИЕ В ЯВНОМ ВИДЕ НАИМЕНЬШИХ ОВЪЕМОВ (АБСОЛЮТНЫЯ МИНИМУМ) ТОПОЛОГИЧЕСКИ НЕТРИВИАЛЬНЫХ МИНИМАЛЬНЫХ ПОВЕРХНОСТЕН 9 9. Функции исчерпания н минимальные поверхности 9.1.
Некоторые классические задачи. Опишем круг задач, приводящих к формулировке проблемы, решению которой в важном епециальном случае посвящена настоящая глава. Во многих разделах многомерного вариационного исчисления, алгебраической геометрии, комплексного анализа часто возникает следующая ситуация: а) Дано гладкое многообразие М" и его исчерпание (например, в смысле [50]) и-мерными областями В;, зависящими ст вещественного параметра г и расширяющимися с ростом г, т, е. В," ~В," при г,~г,. Эти области в процессе своего роста должны исчерпать (покрыть) все многообразие или открытую, всюду плотную область в этом многообразии.
б) В многообразии М" задана л-мернаи глобально минимальная поверхность (в дальнейшем будем называть ее ГМ-поверхностью), например Х'-комплексное алгебраическое подмногообразие или комплексное аналитическое подмножество в кэлеровом многообразии. в) Ставится вопрос Н: как оценить снизу функцию объема чо)л (Х" й В,") Чг (Х', г), зависящую от гг Частные случаи этой общей задачи Н изучались во многих работах. Например, для решения функциональных вопросов, рассмотренных в [52), необходимо следующее неравенство: (2г)'"-'~ ~чо1„з(Х'"-'() 1',"), где 1,'" — 2и-мерный стандартный куб в ф" (зх ... з")~Р" Ры (1 мех') ~г; '1тз'! ~г) Вы, а Х'"-' 0), т. е..совпадает с нулевой поверхностью уровня комплексно-аналитической функции 1(г', ..., г"); поверхность Х'"-' проходит через начало координат О~(;", (2г)"-'=чо1,„,1',"-', Другими словами, объем части поверхности Х'"-', содержащейся в кубе, должен оцениваться снизу (2и — 2)-мерным объемом минимального плоского сечения куба; таким сечением и является стандартный куб 1,'"-' (той же размерности, что и сама поверхность).
При и 2 этот результат доказан в [511; его следствия см. в [521. Для и) 2 утверждение пока не доказано. Если М йл и В" = 0; = (к ен Р' Н х ~ч-- г) — шар радиуса г с центром в точке О, то хорошо известен классический результат, согласно которому при й п — 1, и — 2 выполняется оценка 5 И,Функции исчеРплния и минимклъные повеРхности тз Уо!,(Х" ()0"))Уо!„Р, 'у~гь, Х" — ГМ-поверхность в к", проходящая через точку О, у~ — й-мерный объем единичного стандартного й-мерного шара. Для минимальной поверхности произвольной коразмерности Х" с= Р аналогичная нижняя оценка: то!~(ХьП 0",) ~уо40," — доказана в 1301, (321. См.
также классические оценки Лелона при й п — 1, М* Гс", 0",— шар радиуса г (см. 150!), Сформулируем теперь общую гипотезу А: Пусть Х" ~ Р" — ГМ-поверхность без границы (т. е. «уходящая на бесконечностьэ в Р"), проходящая через точку О, пусть В' ~ Р— симметричная выпуклая область с кусочно-гладкой границей дВ", точка О ев В" — центральная точка для В". Гогда выполняется неравенство чо), (Х» () В") =ь т!п чо1„(Р П В") чо(ь 5~ () В"), я" рис, 3$ где минимум берется по всем й-мерным плоским сечениям обла.
сти В" плоскостями мь, проходящими через точку О. Здесь 1,",,()В"-минимальное (в смысле объема пересечения) плоское сечение области; та- ь!)!йг',-,„, ких наименьших сечений может быть, ко- ' .:".!Еь,1~':.''!~;:,:::;.'З~Р,' печно, много. Интересен случай строго:,;:~ ',"(:,.!::~йФ~дя~,''д "; „";;. выпуклых областей В', центрально симмет- Комплексный вариант гипотеаы А: пусть,:~~',,",~"::~~В~;;;:„,,„" «к Х" с= $" — комплексно-аналитическая (а следовательно, глобально минимальная; см.
пункт 2.6) поверхность без Розницы комплексной размерности й, О еи Х", В" с= С"— выпуклая симметричная область в ч;" с кусочно-гладкой граннцеи; тогда выполняется неравенство Уо1,~(Х () В)~ш!Пто!,„($'ПВ), где $'П — 2й-мерные (над !1) сь плоские сечения области В Й-мерными комплексными плоскостями С", проходящими через О. Если область В не выпукла, то легко видеть, что зта оценка в общем случае неверна. В самом деле, рассмотрим в Р шар О," радиуса г; пусть Х" ~0," — произвольная ГМ-поверхность, проходящая через точку О (центр шара О,") и отличная от плоскости.
Пусть, далее, 0; — шар достаточно малого радиуса е. В качестве невыпуклой области В возьмем область О,"",У„где ~l,— трубчатая окрестность малого радиуса з поверхности Х'()(О",",О,") (рис. 31). Положим Х' Х" ()В и устремим число з к нулю, тогда область В стремится к области О,"~,Л'; ясно, что при достаточно малом з имеем Уо1~(Л" Д 0",) = чо!„Х". В то же время зв нхимвньшив овъвмы минимлльных поввгхноствн, !гл.з для любого й-мерного плоского сечения Т' Р,'(» В имеем чо!ь Т"~чо1,0,', Выбирая в достаточно малым, можно добиться того, чтобы выполнялось неравенство чо1, В ~ то~, Х'.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
