А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 10
Текст из файла (страница 10)
Тогда в каждом гомотопическом классе отображения йп У-»-М существует отображение и», минимизирующее функционал Днрнхле, т. е. задача Б имеет решение (об этом — ниже). Однако в том случае, когда объемлющее многообразие произвольно, прежние методы, использующие функционал Дирихле, не позволяют гарантировать сходимость минимизирующих последовательностей, как показывают простые примеры, З.З. Трудности, возннкающие при минимизации функционала объема чо1» прн Ф)2. Появление неустранимых стратов малых размерностей, При решении двумерной задачи Плато игнорируется следующий эффект, начинающий играть существенную роль в ббльшнх размерностях.
Рассмотрим изображенный на рис. 13 Рас. 13. контур А=Я» и пленку Х» )»(Ф'), стремящуюся занять в к» положение, отвечающее наименьшей двумерной площади. Ясно, что в некоторый момент произойдет «схлопыванне» пленки (склейка), при котором вместо тонкой трубки Т появится (рнс. 13) отрезок Р, соединяющий верхнее н нижнее основания пленки. В двумерном случае от него легко избавиться, непрерывно отобразив Р в двумерный диск, заклеивающий контур А. Другой способ — это выбросить Р, сохранив только «двумерную часть» минимальной пленки. В случае й:» 2, когда в качестве контура выступает (й-1)-мерное подмногообразне А в М, возникновение '42 зигнлцнонныг злдян н зистгхогд~ныгные тиоини ~гл, » ситуации, аналогичной описанной, резко усложняет задачу минимнзацнн. По мере того как й-мерный объем то1» деформирующейся пленки Х, стремится к минимуму, пленка Х, ~,(йу) стремится занять соответствующее «минимальное положение», н прп этом в ней могут возникнуть склейки, т.
е. отображенне ),: Ф'-~М, гомотопное исходному отображению г', может понижать размерность на некоторых открытых в К подмножествах (рнс. 14), что приводит к появлению в образе Х,=),((г') кусков Р размерностей з, где з(й — 1. В отличие от двумерного случая, всетакне кускв Р нельзя, вообще говоря, нн отбросить, нн 'непрерывно отобразить в «масснвную» й-мерную часть Хоо пленки Х1. Напомним, что мы хотим решнть задачу на минимум в классе плвнок Х ~(%'), допускающих непрерывную параметрнзацню с помощью многообразий У; повтому прн любом варианте устранення «маломерных кусков» Р с" Х мы должны гарантировать, что пленка Х, получившаяся послетакой перестройки, будет по-прежнему допускать непрерывную параметрнзацню; Х 1(Ф), хотя, быть Рис.
14. может, с помощью другого много- образня 1г". Отбрасывание «маломерных кусков» Р '(как один нз варнантов перестройкн), т. е. переход от пленки Х к пленке Х~»~ Х Х ,Р (черта обозначает замыкание), т. е. к л-мерной части пленки Х, не удовлетворяет атому требованию, поскольку легко построить примеры, когда «остаток» Х Хон вообще не допускает (прн фиксированном контуре А) никакой непрерывной парамвтрнзацнн 1: 1г'-«.Х<»~, где 1: дФ-н-А — гомеоморфнзм. Другой вариант перестройки мог бы быть таким: построить непрерывное отображение Х: Х-~Х Хпо такое, что Х является тождественным отображением на замкнутом подмножестве Хм~ с= Х н Х(Р)с:Х'»>, т. е. Х переводит все «маломерные кускя» Р в «й-мерную часть» пленки Х.
В двумерном случаетакоеотображение Х (еслн Хцо связно) всегда существует (см., например, рнс. 13). Однако простые примеры показывают, что в ббльшнх размерностях зто не так: достаточно в качестве Х рассмотреть пространство, получающееся прнклейкой двумерного диска 1)» к некоторому пространству Х"', й) 3, по отображению Ь граннцы Р днска 1)» в Х~»~, где Ь: Р-~.Х~»~ представляет ненулевой злемент фундаментальной группы п,(Х<»~). Ясно, что првпятствня к построению искомого отображения Х: Р4 Х4»1 чнето топологнческне н возннкают пря продолжении яепрерывного отображения с остова размерности а — 1 на остов равмерноатн в.
МНОГОМЕРНАЯ ЗАДАЧА ПЛАТО Итак (хотим мы этого нлн нет), мы не можем игнорировать кусни малых размерностей, возникающие в процессе мннимнза. цин, н вынуждены считаться с ними, если мы желаем решить классическую задачу Плато, т. е. найти минимум, например, в гомотопнческом классе данного отображения. Естественно ожидать, что у минимальной пленки Х«=Г»(27») (например, в гомотопнческом классе данного отображения () не только ее «й-мерная часть» Х'»' должна быть Ьмерным, минимальным подмногообразнем (быть может, с особенностями) в М, ио и все «маломерные куски» Р также должны быть (за исключением, быть может, некоторого множества особых точек меры нуль) минимальными подмногообразиями меньших размерностей.
Как будет показано ниже, это ожидание действительно оправдывается. Однако, ввиду возникновения серьезных топологических трудностей в обращении с кусками меньших размерностей, можно было бы в целях упрощения задачи временно игнорировать «маломерные куски» Р, ограничившись пока рассмотрением только Й-мерного функционала объема чо1,, с точки зрения которого все эти «маломерные куски» несущественны, поскольку имеют нулевой й-мерный объем. Другими словами, можно сначала решать более узкую задачу: минимизировать только й»мерный объем пленки Х, который сосредоточен на множестве Х<»1; при этом мы сохраняем за «маломерными кусками» только нх топологические функции, а именно — они необходимы для существования непрерывной параметрнзации всей пленки Х. Однако оказывается, что даже в этом случае решение задачи требует получения обширной информации о поведенин «маломерных кусков» пленки (подробнее об этом см. ниже).
Поэтому мы снова приходим к задаче одновременного нзучения как функционала л-мерного объема чо1», так н функционалов чо1„где з(й. Следовательно, математическая природа многомерной задачи Плато в размерностях, больших чем два, вынуждает нас ввести: а) стратифицированные поверхности Х Хно () Х~»-м 1)..., где каждое подмножество (страт) Хьн является з-мерной «поверхностью» в Л4, имеющей в каждой своей точке размерность з; б) стратнфицированный объем 5У(Х) (чо1»Х~»~, чо1»,Х~»-'~, ...), изображаемый вектором, каждая компонента которого равна объему соответствующего страта (в каждой размерности).
Нахождение «минимальной поверхности Х» означает доказательство существования такой стратнфнцнрованной поверхности, стратифнцнрованный объем которой ЮУ вЂ” наименьший. Под минимизацией вектора стратифпцированного объема будем понимать следующее: сначала нужно минимизировать его первую координату (й-мерный объем), затем, фиксировав зто минимальное значение первой координаты, минимизировать вторую координату, затем, фиксировав минимальные значения первых двух координат, минимизировать треть1о и т. д, 3.4, Постановки заддчи Плато на языке обычных гомологнй.
Вследствие указанных выше трудностей усиляя многих математч 44 ' вх»иационныв задачи и зкст»хо»дина»ныв тво»ии (Гл. » ков были направлены на разработку нового языка, который позволил бы устранить влияние стратов малой размерности (см. пункт 3.3). Необходимые шаги были предприняты в серии работ [36] — [46], [16].
Задача заклейки контура — (й — 1)-мерного подмногообразия А в римановом многообразии М вЂ” была сформулирована на языке обычных гомологий следующим образом: обозначим через Н»,(А) группу (я — 1)-мерных гомологий замкнутого многообразия А (гомологии рассматриваются с целыми или с периодическими коэффициентами; см., например, [2]); пусть А с Х с М, Х вЂ” произвольная й-мерная «поверхность» в М, в качестве которой можно брать, например, подкомплексы или измеримые компакты; рассмотрим класс (Х) всех таких «поверхностей» Х, для которых гомоморфизм 1,: Н» »(А)- Н»,(Х), индуцированный вложением 1: А -+ Х, аннулирует всю группу Н»,(А), т. е.
А является гомологической границей поверхности Х. Рассмотрим функционал й-мерного объема чо!» на классе ',Х), и пусть Х» 1п( чо!„Х, Тогда, оказывается, всегда существует минимальхе<х] ная поверхность Х, еи (Х), т. е. такая поверхность, что Х» =чо)„Х. Эта «поверхность» Х, является абсолютным минимумом в классе всех поверхностей переменного топологического типа (с. данной границей). Мы не можем здесь вдаваться в детали этой постановки, отсылая читателя к цитированной выше литературе. Отметим, что в рамках описанного подхода выделилось два направления: более геометрическое (см.
[36] — [37], [16]) и более функциональное ([38] — [46]). В рамках каждого из этих двух направлений были доказаны замечательные теоремы существования абсолютного минимума (в гомологическом классе) и почти всюду регулярности минимальных решений. При таком подходе существенно использовалось то, что если Х:»У, где Х, У вЂ” компактные «поверхности» и б!т(Х~,У)(й, то Н»(Х)=Н,(У) (и чо1»Хс чо1»'г). Другими словами, это означает, что если многообразие А гомологично нулю в «поверхности» Х, то оно гомологично нулю и в «поверхности» У, получающейся из Х выбрасыванием кусков Р = Х'~У малых размерностей, т. е. не возникает проблемы неустранимых кусков Р (стратов) малых размерностей, характеризующей классическую задачу Плато (на языке пленок, параметризованных многообразиями). Это, конечно, упростило задачу (хотя полученные теоремы существования минимального решения весьма глубоки и нетривиальны), поскольку позволило ограничиться минимизацией только одного функционала чо1» и изучением только я-мерного куска поверхности Х.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
