А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 29
Текст из файла (страница 29)
Дальше поступаем, как и в случаях (1) — (3). Обратно, пусть Х,"~ М" — произвольная минимальная поверхность из реализующего класса У. Тогда в этой же размерности й обязательно имеется минимальная поверхность Х„совпадающая с одним из элементов указанной выше фильтрации. Так как Х, реализует всю группу Н~," (М), то чо!»(Х») ) чо1»(Х»). Поскольку в силу теоремы 14.2.1 чо!»(А»») ~ )й»(М))й»(М), то чо!»(Х,) чо1»(Х,)=й», а тогда, в силу теоремы 15.5.1, Х»" должен получаться из подмногообразия.Х, некоторым движением многообразия М. Теорема 15.1.1 доказана.
Итак, если ранг М =1, то числа й1 всегда достигаются и полностью описывают минимальные поверхности в М. Рассмотрим более сложную ситуацию теоремы 15.1.2. Пусть М"=Я)(р+ф(310(р)хУ(д)1 (где р~г(~1) — одиосвязное комплексное многообразие Грассмана б»ч в» При д=1 имеем М" = = !ГР"г'. Многообразие М" моделируется в группе Ю (р+д) в виде картановской модели У =М"=ехрВ, где В=(Ь), Ь о г~ ),Л вЂ” комплексная матрица с д строками и р столбцами. ',кто) Если через Еп обозначить стандартный базис в алгебре зи (р+ д), то максимальное абелевоподпростраиство в плоскости 8 определяется НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГНЧЕСКНЕ СЛЕДСТВИЯ 123 так:,Я Р (Еь ры- Ераа, д) (й — поле вещественных чисел). Положнм 1 1 одев Р, Й 2п(Еь„д — Ер,д,,) н выделим в В плоскость где д! — р-вектор следующего вида; д!=(ф„фд, ..., ф„О, ..., 0); здесь число з фиксировано, 1~з~р, а через Ор н О„обозначены две нулевые квадратные матрицы порядков д н р соответственно, Тогда од ен С, н ехр(С,) ~ехр В=ОЕР+а является вполне геодезическим подмногообразием в бс+р а.
днффеоморфным о+а,а' СР'. Это подмногообразие (после подходящего движения на М") может быть записано как ч;Ра=(!), где !=АЯ/Ра, „ /о — единичная матрица порядка а, А=(ан), 1~!, /(з+1," адд —— — 1+ + 2~ар('~ пд.н-д — Пт+д.д= ар аа, 1~газ; по=1 — 2~а~ д~о, 2~! =а+1; ал — — !Т» 2ед дй! д, 2~!~а+1, 2~/~а+1 !чь/; ~ ~ед(Р-1. ~-о Доказательство 1-го пункта теоремы 15.1.2. Рассмотрим СРа ~ М, и пусть у' (!) =Ехр (!а) — геодезическая в СР', тогда первая сопряженная точка на у'(!) возникает прн ! 1!2, Положим а'=й!2~ тогда орбита точки ехр(а') в ехр(С,)=!ОР' является подмногообразием, диффеоморфным СР'-д (середины замкнутых геодезических у*(!), О(!~1), т. е.
вектор дд' явЛяЕтея ЕдИНСтВЕННЫМ З-КОРНЕМ ПрОСтраНСтВа СРа. ИтаК, СтруКтура пучка /„- в СРа такова: пучок /„-~ содержит одно сопряженное направление и 2з-2 орбитальных. Ясно, что д(!(|одо~) П П $Р' СРа-д, где ~од~~ — длина минимального з-корня в М. Путем соответствующего поворота подмногообразня о",Ра в М можно добиться того, чтобы вектор й' перешел в вектор а'=и!(Едд— — Еро). Рассмотрим в алгебре Ли зц(р+д) скалярное произведение (Х, г') = — (2рд)-о Ке Бриг (Х.
У). Хорошо известно, что корня алгебры зц (р+д)) (в каноническом базисе) имеют вид (Хд + )д ); !чй/. В канонических координатах на торе ТР'р-д в зи(р-)-д/) мы имеем одц — — 2п!(Ея — Ел), (~/, причем простыми корнями являются векторы а, „,. Так как ~ адд !о =2, то соответствующие а-корни имеют вид ад!=я!(Еа-Е~!). Ясно, что образ вектора а' после поворота (см. выше) совпал с з-корнем а1д =*я! (ń— Е„). Так как все в-корни в алгебре зц(р+о) имеют одинаковую 1зз ' нАимзньщии озъимы мннимАльных позаэхностеи [гл.
з длину, то получаем, что з-корень а' подмиогообразия $Р' (после подходящего поворота) совпал с минимальным в-корнем а[э алгебры зи(р+д). Вычислим кратность первой сопряженной точки ехр(а') вдоль ехр(/а') в группе Я/(р+(/). Ясно, что ч д!ш [С (ехр (а'))/С(а')1 б(т [С(ехр (Ь'))/С (Гз')1 61ш [Я) (2)/В [У (1) х У(1)~) 2. Тем самым, коэффициент, соответствующий пучку /„- в СР'с= ~Я3(р+д), не является максимальным з Я) (р+д), однако он окажется максимальным в подмногообразии ехр В або+,, Легко подсчитать, что т, = 61 т [С (ехр (а')) () В (У (р) х У (д)))/[С (а) () 3 (У (р) х У (д))1 б)шЯ 1, а поэтому пучок /„-.
с= $Р' в многообразии ехр (В) соответствует максимальному коэффициенту к~(е, г) в ехр(В). Так как все подмногообразия СР', 1 ~ э ~ р, реализукп' аддитивные образующие в группах Н" (М, д,), то, в силу теоремы 15.5.1, все подмногообразия СР' — минимальные поверхиостн в многообразии ехрВ ~Ос+,, и, кроме того, то1„(ЖР') 181,. Осталось доказать, что йри А~:(2, 4, 6, ..., 2р) чо!„(Х,)~0$ для любой поверхности Х,~Ю(Е').
Поскольку Н'(М, Я)=Я[хм х„... ..., хэг) до размерности 2р, то при йч--2р для любой группы коэффициентов нетривиальные минимальные поверхности могут находиться только в четных размерностях, а тогда мы возвращаемся в рассмотренную выше ситуацию. Итак, пусть теперь й)2р+2. Так как ГРг является максимальным по размерности симметрическим пространством ранга 1, которое можно вырастить в группе Я/(р+д) путем вращения геодезической ехр(/а'), то, согласно замечанию к теореме 15.5.1, число $ равно 2р, а тогда то1,(Хэ).> Й$(М) при любом й, 2р+2чайм:.и — 1.
Доказан 1-й пункт теоремы 15.1.2. Теперь рассмотрим кватернионный случай, который по технике доказательства будет несколько более деликатным. Пусть М" = а~~+,, -5р (р+ 4)/5р (р) х5р (д), р есть кватернионное многообразие Грассмана. Тогда кольцо Н'(М; Е) изоморфно до размерности 4р+2 кольцу полиномов Е[У4. Уэ Уи ", (/,г). Рассмотрим стандартные вложения $Р' = =6~~+,, в 0~+... 1ч.г ч р, реализующие элементы у„уь у1 " уг, кольца Н'(М; Х). Пусть группа Ьр(р+(/) представлена стандартным образом в группу Я.)(2р+24), и пусть Р Ж Ур~ ~,, „с 8Р (Р+ у) — картановская модель многообразия М, 6 В-[-Й-соответствующее разложение алгебры зр(р+ф, где накотоаыа топологичаскна сладствия плоскость Н составлена из матриц вида ( В АР А Хм9Хм, л о) П =Х1а~а Хм, Хм ен и(О), Хм ~ и(р), Хм-снмметрнческая мат- рица (охи), Մ— симметрическая матрица (рхр).
Плоскость В состоит нз следующих матриц: ( — х) м) гд' М=~ — ргм о ) )у (уг, о ) Макснмальный тор Р с В получается, если положить гааюО, а Уаа 'У', Р Еп. Картановокая подалгебра в зр(р+а) образована ! ! злементами вида Е®2, где Яани(р+о). Выделим в плоскости В подпространство С„состоящее нз всех таких злементов, для которых ()'1а)1а=фа, 1 =ранг; (Уаа)1а О, г =(1(Р; (Уж)и О, (- 1; (Уаа),„=Фа, 1~~ -г; (Уаа)аз=О, г(~ к1Р; (Уаа)ц-О, ()1", фа, ара ы3. Ясно, что ехр(С„)-вполне геодезическое под- многообразие в У, днффеоморфное б;)Р', причем указанное вло- жение (((Р†' г' является топологическн стандартным (отметим, что .(()Р' можно задать в явном виде формулами, аналогичными тем, которые описывали $Р' в 6~~+а а). Доказательство 2-го пункта теоремы 15,1.2. Фик- сируем в зр(р+о) скалярное произведение (Х, У') — (Зп')-' х х йе Враг(Х У), н пусть е~=2лАа, где А„=((ń— Е,,); тогда )е~(= 1.
Система всех корней в зр(р+о) имеет внд (е~.+.е ); корнямн максимальной длины являются злементы (2е ). Спроек- тируем все корни зр(р+д) на В', где В'=Або(В), С ОЯП, 0аии(р+а)), В=(1)Л)М ЕГ~ ~, М ~lа Ыа . Тогда ясно, что СРС-'с:Р', где Р' — картановская подалгебра в зр(р+д). Плоскость СРС-' натянута на векторы (е,— ем ), 1 а 1«д.
Прямое вычисление (которое мы опускаем) показывает, что вектоРы (+ (е~ — еаы)), 1(1== Ф ЯвлЯютсЯ коРнЯми нанболь- 1 шей длины про ранства ехр В Положим %-е — е~;. 4- 2% и р(=С-аса|С. Исследуем только з-корень рь так как все осталь- ные з-корни р) получаются нз него прн действии группы Вейля, Ясно, что ехр (р1) К ® К, где К = ( — У,) Я (У,) Я ( — У,) ® Я(1 1). Требуется вычислить размерность С(ехр(р())/С(р1), что даст нам кратность точки ехр(р.() а Я)(2р+2д).
Оказывается, что пучок Г . не соответствует максимальному коэффициенту в Я)(2р+2о), однако легко убедиться прямым подсчетом, что ~С (ехр (р()) П (Ьр (р) хор (д))ИС (р() П (Зр (Р) х Вр (О))) ~ Ва где подгруппа 5' — Я1(2) вложена в 8'хЗ' в качестве днаго- !ха наименьшие оаъемы минимлльных повяяхностан !гл.з пали Ь. Итак, кратность ч точки ехр(р() в многообразии У рав- на 3. Поскольку д(шЯР' — дппЯР'-'=4, то отсюда, в силу леммы 15.3.1, следует, что подмногообразие ехр(С,) содержит 3 сопряженных направления вдоль геодезической ехр(1р(), т. е. пУчок 1„. соответствУет максимальномУ коэффициентУ хь(е, г) з многообразии М. Поскольку этот пучок прн вращении век- тора вокруг е порождает подмногообразие $Р', то все подмно- гообразня ЦР'с=М являются глобально минимальными поверх- ностями.
Все остальные утверждения доказываются по аналогии с первым пунктом. Доказательство закончено. Совершенно аналогично рассматривается и вещественный случай — односзязное и иеодносвязное грассмановы многообразия— однако мы не будем на этом останавливаться. Теоремы 15.1.1 н 15.1.2 описывают ситуации, когда зна- чение й1(М) достигается при многих й. Разберем, для кон- траста, несколько ситуаций, когда числа (гь достигаются в ог- раниченном количестве случаев или совсем не достигаются. Пусть М"=б — компактная односвязная группа Ли, и пусть аь — произвольный корень максимальной длины в М (таких кор- ней может быть несколько). Тогда нз этого корня всегда выра- . стает подгруппа Я)(2), диффеоморфная сфере Зь и реализую- щая свободную образующую в группе Нь" (6; У) (напомним, что Н!" (б; 7) = НТ (б; Е) О).
Обозначим зто подмногообразие через Я. П р е д л о ж е н и е 15.6.1. Пусть М' б — компактная одно- связная группа Ли, Зь — описанная вьаие подгруппа, и пусть Х, ~ Ю (Е'), 3 ( й ~ и — 1, — произвольная минимальная поверх- ность в О. Тогда равенство чо1„(Х,) Й1(б) достигается только при Й=З, причем в этом случае равенство чо1ь(Хь) =01 выпол- нено для подмноеооброзия Х, Я и пюлько для него (с точностью до движений группы б); в частности, Яь — глобальная минималь- ная поверхность в О, Д о к а з а т е л-ь с т в о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
