А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 28
Текст из файла (страница 28)
Тогда, в силу пункта (2), имеем чо) И1(т) чо1 „11», если хотя бы одно из неравенств з'(й)<; (зб (а,'), з" (й) <~(а,') имеет место, т. е. если Йш $) О. Поскольку оба факторпучка 1, 1т и 1»11» состоят уже только из евклидовых направлений, то строгое неравенство сохранится и при переходе от т и 1» к 1 ° и 1» соответственно, откуда чо)А(~~ ) -.чо1„(Г»), что и требовалось. Если же о(ш $0, то 1» — максимальный пучок (потому что в таком случае з' (й) = з'(а',) ч, з" (сМ)=з" (а'„) и — 1 — ч). В заключение отметим, что при г-~(а,~ ИА(г)»-ОО (при любом й), а если иь(о, х, ПА-') не максимален, то при г»!а,'~ имеем кь(о, х, ПА-')(ОО.
Лемма доказана. 15.4. Явная формула для геодезического дефекта симметрического пространства. Итак, если М вЂ” компактное симметрическое пространство (односвязное), то Иь(е) аь(а',(», где (а',~=!аь(-А, а, есть любой из корней максимальной длины в М, причем явное аналитическое выражение для коэффициента аь можно получить из леммы 15.3.1.
(Это выражение нам не потребуется.) Отметим, что характер изменения числа еь с ростом размерности я претерпевает два существенных излома: при значениях й ч+1 и к и — 1+1 (см. лемму 15.3.1). Рассмотрим всевозможные движения йяб симметрического пространства М; тогда с помощью подходящего д можно перевести точку еен М в любую точку Р ~М. Поскольку движения д сохраняют метрику, то Ий(е)ИВИА(Р), где Р д(е); это общее значение, очевидно, совпадает с ИА, т, е. с к-мерным геодезическим дефектом М. Предложение 15.4.1.
Пусть М" — компактное риманоео однородное пространство (не обязательно симметрическое), снабженное инвариантной метрикой, и пусть ИА-й-мерный геодезический дефект М. Пусть Х»~Ю(1.'), 1.'Б~О, есть глобально минимальная поверхность, Йш Х, й. Предположим, что чо1А(Х») И$. Тогда поверхность Хь является компактным замкнутым вполне геодезическим подмногооброзием в М. Доказательство. Пусть Рея Х» — произвольная точка; тогда И1 И1,(Р), где д(е)=Р, и в силу предложения 14.2.2 НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ 1!9 имеем, что существует окрестность У 0(Р) такая, что У = ехрр Тр(Х») и У диффеоморфиа открытому диску О».
Поскольку это свойство выполнено для каждой точки Р ен Х» и интеграль'ные траектории поля о являются геодезическими, исходящими из точки Р, то Х,— вполне геодезическое подмногообразие, что и требовалось. 15.5. Глобально минимальные поверхности наименьшего обьема (чо)» Х» = »1») в симметрических пространствах являются симметрическими пространствами ранга 1, Пока мы знаем о минимальных поверхностях Х» со свойством чо1»Х» — — 01 (если такие поверхности вообще существуют) только то, что они — вполне геодезические подмногообразия в М (см. предложе- г» ние 15.4,1). Теорема 15.5.1 дает полный ответ на поставленный выше 7 вопрос в том случае, когда М вЂ” симметрическое компактное пространство.
(, г Ев»4 Определение 15.5.1. Пусть У» с: М' — вполне геодезическое под- — ~ра»»вв многообразие, (г (е, Гс (е)) (г(е) мак гию~Ц~~а~геле»г си мал ьмый открытый геодезический шар в М с центром в точке е радиуса Рас. Яд. )с (е). Пусть х ен У" П (г (е) и у (г)— геодезическая иэ точки е в точку х. Мы скажем, что подмиогообразие У» распространяется вдоль максимального коэффициента и»(е, г) многообразия М, если и»(е, г) и»(о, х, П~-'), где х— произвольная точка из У» П (с(е), П»-'с: Т„(У') и плоскость П,"-' орпюгональна вектору скорости у еп Т,(У») (рис. 43).
Теорема 15.5.1, Пусть М" — компактное односвязное симметрическое пространство и Х, с:. М вЂ” и-мерная минимальная поверхность реализующего типа, т. е. Х» ~ Ф' ((.'), 1 ' чь О, 3 ~ А «., и--. п — 1. Предположим, что чо1»(Х») = И),(М), где ٠— геодезический дефект многообразия М. Тогда минимальном поверхность Х, является одмосвязным компактным вполне геодезическим подмногообраэием в М (а потому Х» является симметрическим пространством) ранга 1, т. е.
многообразие Х» диффеоморфно одному иэ следующих многообразий: 1) Я»; 2) (;Р»~', 3) ч)Р»1»; 4) Р»~5р1п(9), Кроме птого, вложение Х, — М таково, что единственный корень а» симметрического пространства Х, совпадает (после применения подходящего движения подмногообразия Х, в М) с одним из корней наибольшей длины (т. е. с корнем, соответсп»вующим некоторому минимальмому и-корню) симметрического пространства М и многообразие Х» целшсом распространяется вдоль максимальмого коэффициента х»(е, г) (в соответствии с описанием этой зоны в лемме 15.3.1). Обратно, пусть Х, с: М вЂ” й-мерное одиосвязное вполне геодезическое подмногообразие ранга 1, единственный корень и» »зб нАименьшие овъемы минимАльных позегхностен [гл.
» которого совпадает с некоторым корнем а максимальной длины в Пространстве М, и аусть, кроме того, подмногообразие Х» раслространяея»ся вдоль максимального ковффицигна»а х» (е, г) (в соответствии с описанием леммы 15.3,1). Пргдлоложим, далее,' что Х, гига(Т.') (т. е. реализует некоторую нетривиальную подгруппу или лодмноясеся»во в Н)»»(М)). Тогда Хь — глобально минимальная ловерхнося»ь в М и, кроме того, чо!»(Х») Й»(М) = ЙЦМ). Доказательство.
Пусть еен Х»~М вЂ” фиксированная точка. Тогда, в силу предложения 15.4.1, поверхность Х» — вполне геодезическое подмногообрззне в М. Из равенства чо!»(Х,) Й! следует Й1=чо1» Х»)Ч!(Х», 1, Я(е))) в Ч'» (е, Х ) 1!щ ~ — <)) уд, (Р (е)) Ч",(е, Х»)'Й1(х»)»е'»(е, Х»)ЙЗ~Ж. Отсюда Ч'»(е, Х,) 1, '( !Нп ' ', т, е. функч" (Х 5 »! (в)) . 'Р (Х», 1, а) ция " ' постоянна.
Значит, ~ — » О, Ч' * †, Ч', но по- Ч'(Хв 5 г) в (г) скольку ~ = п»ах н»(о, х) и»(е, г), то Ч'(г) и»(е, г)Чн(г). '»»в (» г» Тзк как для геодезического днффеоморфнзмз вектор скорости у ортогонален фронту волны дЯ(г), то отсюда следует, что Х» распространяется вдоль максимального коэффицненте х»(е, г), ибо в противном случае мы имели бы прн некотором гв строгое неравенство Ч'(гь)(н»(е, г») Ч' (г»). Из леммы 15.3.1 следует, что для любой геодезической у ~ Х», исходящей из е, н»(о, х, П»-') вв вви»(е, г), х у(г), П»-'с: Т„(Х,), а плоскость (»(П»-') не зависит от х (ее положение описано в лемме 15.3.1).
Из этой же леммы следует, что каждая такая геодезическая у~ Х» может быть совмещена посредством подходящего вращения с геодезической ехр(йс,'), где а; — некоторый минимальный е-корень в М. Так как всех мнннмзльных з-корней а,' конечное число н все онн изолированы, то все геодезические у~ Х», проходящие через е ен Х„можно совместить с одной н той же геодезической ехр(!а») с= Хь. Отсюда следует, что группа движений пространства Хь трзнзитивна на векторах плоскости Т,(Х,), а потому ранг Х, равен 1. Теперь докажем односвязность Х». Действительно, допустим, что п,(Х»)~'=О.
Рассмотрим шар ЯЯ(е)1; тогда, так кзк чо!»(Х,) Й$, то Хьс=Ц(В(е)1. Пусть у(г) — геодезическая в Х„ идущая из е не д(г1!!(е)1 Я». Поскольку й)2, то универсальное накрытне Хь над многообразием Хь диффеоморфно одному нз следукицих многообразий: 1) Я»! 2)»ПР»~'-"! 3) ЩР»»', 4) р»/Ьр!п (9). Отсюда и нз того, что в»(Х») чьО, следует, что существует такая геодезическая у,с=. Хь, что первой сопряженной точкой на ней НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧЕСКИЕ СЛЕДСТВИЯ 121 будет исходная точка е (после полного оборота по замкнутой геодезической у,). Напомним, что Хэ получается из Хэ факторизацией по некоторой конечной подгруппе группы движений. Пусть М(е, Хэ) — множество точек минимума для Хм тогда М(е, Хэ) М(е М)П~7(!ао!) М(е, Хэ)ПА.
Далее, так как М односвязно, то М (е, М) С (е, М), т. е. получаем, что каждая точка ~ревМ(е, Хэ) обязана быть сопряженной точкой по отношению к е. Действительно, если какая-либо точка не сопряжена с е, то подмногообразие Хэ не может обслуживаться максимальным коэффициентом нэ(е, г) (напомним, что в силу леммы 15.3.! пучок ~~, соответствующий нэ (е, г), должен содержать по крайней мере однб сопряженное направление). Это противоречит существованию геодезической у„первой сопряженной точкой вдоль которой является сама точка а.
Полученное противоречие доказывает первую часть теоремы. Обратно, пусть Х, с= М-вполне геодезическое подмногообразие ранга 1, вложенное в М в соответствии с требованиями теоремы. Повторяя все указанные выше рассуждения в обратном порядке и используя схему доказательства теоремы 14.2.1, получаем цЕПОЧКу ТОЧНЫХ раВЕНСтн Ч" (Хм Г, ~а,'~)=то!ЭХР— — Щ, таК КаК Хэс=Я(~й,)). Поскольку Х,евЮ(Ь'), то Х,-глобально минимальная поверхность. Теорема доказана.
Мы использовали односвязность Хэ, сославшись на то, что Х, ' полностью обслуживается максимальным коэффициентом, что (как это следует из первой части теоремы) невозможно для неодносвязного симметрического пространства Хм Отметим, что теорема 15.5.1 сводит задачу о нахождении минимальных поверхностей со свойством то!э(ХР) = И» (в случае симметрического пространства М) к изучению вполне геодезических подмногообразий ранга 1, что является уже алгебраической и довольно просто решаемой задачей. 3 а ме ч а н и е. Пусть М" — одиосвязное компактное симметрическое пространство ранга ! и $)0 — наибольшая размерность одвосвязного компактного вполне геодезического подмногообразия ранга 1 в М, корень а, которого.совпадает с некоторым корнем максимальной длины в М.
Тогда из теоремы 15.5.1 следует, что $~п — !+! и что для любой минимальной поверхности Х,"~ Вне(Ь'), где 4+1~йч-п-1, выполнено строгое неравенство чо! (Х ) ) а3 (М). 15.6. Доказательство теоремы классификации поверхностей наименьшего объема в некоторых классических симметрических пространствах.
Переходим к доказательству теорем 15.1.1 н 15.1.2. Начнем с теоремы 15.1.1. Последнее утверждение в этой теореме нужно пониматьтак: если Ц (О) и ьэ=(рп» суть две подгруппы, порожденные элементами о и рп соответственно, то минимальный компакт Х„реализующий Ц, будет отличаться от минимальной !»» нАименьшие ОБъемы минимАльных повегхностеи [гл. э поверхности Х,, реализующей Ц, в том и только в том случае, когда чо!» (Х»)<. 'Хо1» (Х,), поскольку в противном случае поверхность Х, обслуживает (в смысле минимальности) не только подгруппу Ц, но и подгруппу ь». Из теоремы 15.1.1, в частности, следует, что в симметрических пространствах ранга 1 увеличение кратности класса (ко)гомологий по крайней мере ие уменьшает объем носителя.
Доказательство теоремы 15.1.1. Рассмотрим случай, когда М односвязно. В случае 1) М»"=СР", т=т(а»)=! (ч— кратность корня а»), а потому к»(е, г) соответствует пучку Г„, о' содержащему ровно одно сопряженное направление и й — 2 орбитальных. Поскольку Х, $Р»~», то б(т Х, — б!ш !СР' ) 2, » ( а потому Х» распространяется вдоль максимального козффицйента (см. определение 15.5.1), отсюда и из теоремы 15.5.1 следует утверждение (1) теоремы 15.1.1. В случае (2) М»"=(()Р", ч = =ч(а»)=3 и б!ш(Х,) — б!т!ЯР' ) 4, откуда, как и в случае (1), следует требуемое утверждение, В случае (3) т(а») 7, б!ш(Х») — 0=8, что и требуется для применения теоремы 15.5.1. В случае (4) М'=мР" и п»(М") чьО, поэтому формально нельзя применять разработанную выше технику, однако в данном случае имеем М(е, М)=ЯР»-» (хотя М(е)чьС(е) е), и можно положить 01)с (е)1 ИР"'~ЯР"-', а затем повторить все рассуждения из ' доказательства теоремы 15.5.1 с ч(а») О.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
