А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Применение этого утверждения для фактичесиих вычислений в значительной степени облегчается наличием разработанной техники изучения колец 1о (см. [67), [72), [78)). Конкретные вычисления гомоморфизма рй(Р; Е) выполнены, например, в [67),[92). Дадим обзор всех основных случаев полной негомологичности нулю.
Сначала мы опишем большой класс подгрупп Гт, неприво- $ щ топологическАя стРуктуРА кОмпАктных ГРупп ли !3$ димо действующих на касательном пространстве к однородному пространству ИЯ. Определим действие подгруппы ф на группе 9 так: 1г(8) = )гй4гг, где )ген ф, д ен И; это порождает линейное представление группы 4) на линейном пространстве О. Линейное подпространство Н с= 6 инвариантно относительно действия группы ф иа 6, а поэтому ортогональное дополнение В (напомним, что группы компактны) к подпространству Н также инвариантно.
Подпростраиства Н и В будут инвариантны и относительно аб и, откуда следуют свойства разложения 6= Н +В: 1) [Н, Н )с Н; 2) [Н, В1 с= В; 3) (Х, Г ) = О, где Х ен Н, 1' я В. Рассмотрим класс Ч' всех таких пар (И, $), где И вЂ” простая компактная группа Лн, а компактная подгруппа вг неприводимо действует на касательном пространстве к У' = 91.9 (группы 9 и $ связиы). Отнесем к подклассу Ч'г те и только те пары (И, $), для которых выполнено условие [В, В1с= Н, т. е. )1 = 91ф †симметрическое пространство. К подклассу Ч', отнесем все остальные пары из класса Ч'. Все пары (9, вг) ен Ч', описаны в [701; все пары (9, 19) ~ Ч', описаны в [721. Полное описание с гомологической точки зрения вложений 1: $ - И, где (9, $) еи Ч"м имеется в [811.
Оказывается, единственными парами (И, $) е= Ч', (где многообразие 91ф не является группой Ли), для которых подгруппа $ вполне негомологична нулю для вещественных коэффициентов, являются следующие пары (вложения 4;г в И описаны ниже): 1) (ЯЗ(2т+1), 3О(2т+1)), т»1; 2) (ЬБ(2т), Ьр(т)), т»2; 3) (30(21), 80(2! — 1)), 1»4; 4) (Ев, Рв). Класс Ч", с гомологической точки зрения исследован в [671. Оказалось, что парами (9, Р) ы Ч',, где подгруппа Р вполне негомологична нулю для вещественных коэффициентов, являются только следующие пары (вложения см. в [671): 1) (ААг м А„г); п»3, Ф ": 2) (Агв, 0в)' 3) (Азв, Ев) 4) (Вгз, В„), л»3, если л нечетное, Н= 2; (Огз, В„), л (2«+ !) — 1 л»3, если и четное, Ж 2; 5) (В„, В„), п»2, если а «(2«+ !) нечетное, Н =; (ААУ, В,), п»2, если и четное, Н и (2«+3) — 1 = —; 6) (ВА, С„), и» 2, если а нечетное, Н= п (2«+3) л (2«+ !) — ! (Егл,, С„), л»2, если а четное, Н вЂ” л —,' 7) (0зг, С,); л (2л+ !) 8) (Е!в, Вв)! 9) (Вв.
Ав)! 1О) (Е!гм, Ев)! 11) (Вм, Ег)! 12) (1ггз, Рв); 13) (1)м Рв)! 14) (Вз, Сз)' 16) (Ог, бв)! 16) (Сг, Сз); 17) (Оз. А,)г 18) (Ев, бз); 19) (6з~ Аг). Согласно [79], вещественный полином Пуанкаре пространства 91,9, где подгруппа 9 вполне негомологична нулю в группе 9, имеет вид Р('У', 1)=, „.', . Р(е, г) 1ЗЕ ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ [ГЛ.
4 17.3. Циклы Понтрягина в компактных группах Ли. Задача реализации циклов в группах Ли и в однородных пространствах тесно связана с вопросом о нахождении наиболее простого клеточного разбиения многообразия. Важные результаты были получены в [85), где исследована клеточная структура вещественных и комплексных многообразий Грассмана. Л. С. Понтрягин в 176) описал кольца Н*(Е; м) и структуру целочисленных гомологий классических компактных простых групп Ли, построив базисные циклы в явном виде.
Эти циклы, образующие базис когомологий в группах Б (л) и Ьр(л), не являются подмногообразиями. Рассмотрим сферу 5"-', точки которой будем задавать евклидовыми координатами х,, ..., х„, х,'+...+х„' = 1. Каждой точке хан 5"-' сопоставим точку Т„(х) ы БО(л), Т„(х) =1(у)ЕЕ„Ы 1у =бу — 2х;х;, где Еь„,=( — Е,) Я Е„и ń— тождественный оператор. Ясно, что отображение Т„определяет вложение проективного пространства РРе-э в группу 80 (и). Если п четно, то индекс пересечения двух циклов Х„,=(СРР-В и подгруппы 80(л — 1) равен +1, откуда следует, что подмногообразие Х„, реализует нетривиальный цикл в Н, ($0(п); И).
Если и нечетко, то можно построить цикл (7,„м также реализующий нетривиальный элемент в Н*(30(л)). Рассмотрим две цепи Х„, и Х„, и построим цепь (7,„, = Х„, Х„, (понтрягинское произведение). Эта цепь является коциклом, и индекс пересечения (7,„З и подгруппы $0(л — 2) равен +1. Рассмотрим стандартное вложение й 80 (2п — 1) — 50 (2п). Тогда Н, (50(2л); )к)=Л(х,, ..., х,„~) ЗЛ(у,е т) н образующая подкольца Нэ(5'"-', )с) реализована подмногообразием Х,„т= =ЯР'"-'. Отсюда легко следует, что образующие кольца гомологий Нэ(БО(л); )к) допускают следующее геометрическое описание. Образующая хэ ~ ННВ (30(2п+1); Р) реализована в 30(2л+1) подмногообразием Х,=КР' Все остальные образующие х„хм, ...
..., х, реализованы циклами (7П . ° ()~ -и ()Ар-1=Хэр-1 Хзр Отметим, что (кР"=(),=Х, Хэ 5'РР' (это легко усмотреть и непосредственно). В кольце Н,($0(2п); )к) образующие х„... ..., х,„,, у,„, реализованы циклами мР', (7Н ..., (),„„ИР'"-'. Описанные выше канонические наборы образующих являются аддитивиым базисом в линейном пространстве примитивных элементов. Выделим теперь из этих реализаций локально минимальные вполне геодезические подмногообразия. Ясно, что циклы (7,„, в группах 80 (и) при 2т — 1 Ф 3 не являются подмногообразиями, однако цикл (7, является подгруппой, а потому †впол геодезическим подмногообразием.
Рассмотрим цикл Хы „ соответствующий образующей у,„, ~ Н (50 (2п); Р). Предложение 17.3.1. Лодмиогообразие Х„, с: ЪО(п) лвляегпсл эпопее геодезическим подмногообразием в группе 30(л), л )3, $ щ тополОГическАя стРуктуРА кОмпАктных ГРупп ли 137 Д о к а з а т е л ь с т в о. Ясно, что касательное пространство Т,(Х„1) в алгебре Ли зо(п) образовано матрицами вида ою ов " аи1 — в~ о ОР 1 где а,— произвольные вещественные числа.
Непосредственной проверкой убеждаемся, что Т,(Х„Г) — тройная система в алгебре зо(п). Легко проверяется, что Х,,=ехр(Т,(Х, А)), откуда и следует искомое утверждение. Итак, единственными циклами среди понтрягинских циклов, реализуемыми вполне геодезическими подмногообразиями в группе, являются цикл ((,=ЯР' в 80(п) при п)З и цикл Х~ ~ мР' в 80(2п) при п~2. Оказывается, зги локально минимальные циклы включаются в некоторую однотипную серию локально минимальных циклов, которые мы опишем ниже.
17А, Необходимые сведения о симметрических пространствах. О и р е д е л е н и е 17 А.1. Связное риманово многообразие называется симметрическим пространством, если для каждой точки рея У существует инволюпшвная изометрия вР: У- У, отличная от тождественной, для которой р — изолированная неподвижная точка. Связная компактная групйа Ли с инвариантной римановой метрикой превращается в симметрическое пространство. Симметрические пространства допускают представление в виде У 9/р, где 9 †связн группа Ли с инволютивным автоморфизмом а, множество неподвижных точек которого совпадает со связной иомпонентой единицы подгруппы $. Обозначим через 7(У) множество всех изометрий симметрического пространства, тогда 7(У) — группа Ли. Через 9 7,(У) обозначим связную компоненту единицы в группе 7 (У), Тогда компактное односвязное симметрическое пространство представимо в виде У 9/$, где 47 †стационарн подгруппа, ф = (й ы 9 ~а(й)=у), а о в инволюция.
Обозначим через 9 (йа), соответствующий ииволютивный автоморфизм алгебры Ли 6 Т,9; тогда подалгебра Н ТДС= 6 является подалгеброй неподвижных точек автоморфнзма 3: 6-Р6, Эта подалгебра является компактно вложенной; можно считать, что НПХ(6)=О, где Е(6) — центр 6; 6=В+Н, где В=(Хан = 6~о(Х) — х).
Симметрическое пространство У 97.Р называется неприводимым, если присоединенное представление айн на плоскости В (порожденное соотношением 1Н, В)с: В) неприводимо. П р ед л о ж е н и е 17А.1 (см. [91). Компактное односвяэное риманово симметрическое пространство У распадается в прямое произведение У,х...хУ, неприводимых компактных симметрических пространств.
138 ПОВЕРХНОСти, РЕАЛИЗуЮщИЕ НЕТРИВИАЛЪНЫЕ НИКЛЫ !ГЛ. в Существует полная классификация компактных неприводимых симметрических пространств (см. 191), разбивающихся на два типа: тип 1 и тип П. П р едл о же н не 17,4.2. Римановы компактные односвлзныв неприводимые симметрические п4тостранслма типа 1 перечислены в таблиа(е 1.
Тавлапа 1 (А) Проотравотво У В Рава У оАаи1 Ви 2и 0и ~ 2и — 1 Я5 (2и)/80 (2тл) ~ Аавт, ~ и)2 Ааи т1 80 (2и)/Зр (и) ~ Аа алаи-т11 ~ и)2 с Т'+ +А„, + + Ат-и $0 (2!+ 1)/$0 (2) Х Х $0 (2! — 1) в! ° В1 т+в !~2, 2(ии, и! — 1 пт)п(2и, 2!+ 1— — 2и) $0(2!+1)/$0(2и) Х х $0 (2(+ 1 — 2т) 0и+ +в, в, В1 „ 'С,! ~ !~ 3 ! Зр (!)/(/(!) Ст ! Та+ Ат т~ ! !~3 ~ 80(2/+ !)/80(2!) ~ В! ! 0т вц !~3, 1 =и~ Зр (!)/Зр (и) х Зр (! — т) С! Си+Ст и и с,п ~!1 !~4 $0 (2!)/80(2) Х $0 (! — 2)! 0 "0!1 ° Т +О ! !~4, 2(ий~ $0 (2!)/$0 (2т) Х х $0 (2! — 2т) ви+ +08-и 2т 0а)аи % !~4, 1м и~ $0 (2!)/$0 (2т+1) Х Х $0 (2! — 2и — 1) 0т)ам+а ~! — 1~ и=--1 ~ $(/(2и+1)/80(2и+1) ~ Ааи ~ 1оят~ О(!+1)/(/(т) Х(/(!+ вАа!11и ~~+1~ +! — и) в (- +в 2" +1 1 % Щ ТОПОЛОГИЧЕСКАЯ СТРУКТУРА КОМПАКТНЫХ ГРУПП ЛИ 141 Таблица 1 (В) (Продол7оенце) й,1 ! З ! 1+/з+/з П р е д л о ж е н и е 17.4.3.
Римановы компактные непривсдимые симметрические пространства типа П вЂ” вто компактные связные простые ер//ллы Ли, снабженные двусторонне инвариантной рима- новой метрикой. Пояснения к таблице 1. 1) Символом о (слева) обозначены зрмитовы симметрические пространства.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
