А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 35
Текст из файла (страница 35)
Докажем необходимость. Обозначим через 1 следующее отображение группы 9 на себя:((д)=д». Так как р((о)=о», где о~ У, то возникает коммутатнвная диаграмма: 9-'9 «( р уму Рассмотрим гомоморфнзм~»: Н, (9;Р)- Н, (9; 1«). Хорошо известно, что(» (х) 2х для любого йрнмнтнвного элементах ен Н, (9; Я, поэтому ~» — нзоморфнзм. Если предположить, что бед(р()=0, то (р(),(У)=0 н ((р(),(У)=0, т.
е. (7ю)»Я=О, что н дает 1» (У1= О. Утверждение доказано. 2 20. Теорема классификации, описывающая вполне геодезические подмногообразня, реалнзующие нетривиальные (ко)циклы в (ко)гомологнях компактных групп Лн 20.1. Формулировка теоремы класснфнкацни. Выше было показано, что наша основная задача данной главы — описание (ко)гомологическн нетривиальных локально минимальных (вполне геодезических) подмногообраэий в компактных группах Лн (н вообще в симметрических пространствах) — сводится к решению задачи: когда непрнводнмое компактноесимметрическое пространство У, вложенное в свою группу нзометрнй 1»(У) как картановская модель, реализует нетривиальный (ко)цикл в Н, (1»(У)).
Теорема 20.1.1. Пусть й У- Аь(У)мА(У) — некоторое вложение риманова компактного непривсдимого сднссвязного симметрического пространства У как вполне геодезического подмнсгообразия в односвязную максимальную связную группу изометрий 1»(У). Тогда мпо вложение — картановсксе, т. е. получается из стандартного картановсксго вложения применением некоторого автоморфизма группы «»(У).
Ниже перечислены все случаи, когда мпо вложение (ко)гомологически нетривиально. (1) Из симметрических пространств У типа 1 только следующие пространства реализуют нетривиальные (ко)циклы в группе Еь (У): ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 149 1а. У-ЗП(2т+1)/БО(2т+1), т»1, в еруппе /о(У) = - 14(У)=Я)(2т+1), !о [У]Фыр в Но (14(У). Ер). рФ2. и р— простое, если рФО. 1б. У=Я!(2т)/Яр (т), т» 2, в группе 14(У)=14(У)=Я/(2т), !о[У]ФО в Но (14(У), Е).
1в. У Во'-' (сфера) 80 (2!)/80 (2! — 1), !» 4, в группе 14(У)=$р1п(2!), !4[У]ныл в Но(14(У) ЕР) рчь2, и р — простое, если рчьО. 1г. У Е,/го в группе /о(У) Е, ! [У]ФО в Н*(14(У); Ер), р» 7 и простое, либо р = О. Все остальные прсстранапва типа 1 не реализуют никакого нетривиального коцикла в Н*(1,(У); (с), т.
е. ! [У]=0. (2) Любое симметрическое пространство У типа П всегда реализует нетривиальный (ко)цикл в Но(14(У)' (с). Теорема 20.1.2. Пусть У вЂ” проимольное компактное одно- связное вполне геодезическое псдмногообразие в компактной группе Ли 9, и пусть У =КхУ 4,х...хУ,=КхУ' — разложение многообразия 1' в прямое произведение (см. теорему 18.1). Многообразие У при вложении 0 У-4-А (У) реализует нетривиальный коцикл в Н*(А(У); [с) тогда и только тогда, когда подгруппа К х Я где $ — стационарная подгруппа многообразия У' (напомним: ,р с: А(У') с: А(У)),— вполне негамологична нулю в группе А(У) для веи(еапвеннык коэффициентов. 20,2. Случай пространств типа П. Утверждение 19.1 сводит исходную задачу к чисто геометрической задаче вычисления степени гладкого отображения р!л У-РУ; (р!)(о)=о'.
Мы начнем с симметрических пространств типа 11. Пространства типа П вЂ” зто в точности компактные связные простые группы Лн У с двусторонне инвариантной римановой метрикой. При изучении пространств типа П односвязность можно не предполагать. Труппа 14(У) изоморфна прямому произведению групп У х У (см. [9]); инволютнвный автоморфизм а: 9-4 9, 9 14(У), определяющий симметрическое пространство У, имеет вид а(ом о,) (о„оо); множество неподвижных точек автоморфизма весть подгруппа ф=((о, о)), т. е.
40-диагональ в прямом произведении. Пусть б и К вЂ” алгебры Ли групп 9 и У соответственно, тогда 0 К®К. С другой стороны, б распадается в прямую сумму двух собственных подпространств автоморфизма з, где З(Х, У)=(У, Х), (Х, У) енб, 0 В+Н, В(Н)=Н. Так как а(о, о-') (о, о-')-', то пространство У вложено в группу УхУ как вполне геодезическое подмногообразие, составленное из всех точек вида (о, о-'). Отображение р: 9-4-У имеет вид р(д) (ооо,', ооо~') ев!(У), где у=(о,, о,), откуда р!(а)=до и отображение р устанавливает диффеоморфизм между У и У х У/ф Отметим, что поскольку вложение .р ~ 9 является вложением группы У как диагонали, то подгруппа $ вполне !БО повзгхности, эвзлизгющиз ивтэиви»льныв циклы !гл.
» негомологична нулю в группе (В. Пусть Н, (У; )ч) Л (хм ..., х,), г — ранг У, а элементы х», ..., х, являются примитивными образующими кольца Н, (У; Р). Тогда 1,(х„) х,„®1+1®х„, где 1: $ -~ 9 — вложение, а потому мономорфным образом кольца Н, (У; Щ прн гомоморфизме /, является подкольцо 1,Н,(У;!ч) Л(х,81+1зх», ..., х,(31+1®х). Известно, что степень отображения (». У »- У, ~» (о) о", равна й', где г — ранг У, для произвольной компактной группы Ли У. В нашем случае р! = ~„ поэтому бен(р!) 2', и в силу свойств отображения р! подмногообразие У реализует нетривиальный цикл в Н„,(9; Р).
Вычислим элемент 1,[У]. Рассмотрим отображение са Ц! -» Ф, а(оь о,) (оь о ); тогда гомоморфизм с»,: Н,(У)ЗН„(У) -» Н,(У) (ЗхН,(У) устроен так: с»,(ах1)= аз! при любом авнН,(У) и а (1мх) — (1Ях) для любого элемента хвнН, (У). Рассмотрим в Н,(З; Я) элементы ь»» — (х~®1 — 1®х»); тогда р,(ь»~) х» и, очевидно, ! [У] 1 Г 2' ] [ вь Тем самым мы доказали следующее утверждение.
»-и Теорема 202.1. Пусть 1: У-» 1»(У) — картановское ела»гение риманова компактного неприводимого односвязного симметричеасого пространства типа П в одноаизную максимальную группу изометрий )» (У), Тогда вполне геодезическое подмногообразие ! (У) всегда реализует нет ривиальнь»й цикл в Нэ (1» (У); Р) Л(хм ..., х,)ЗЛ(х», "., х,), г — ранг У, причем 1,,[У] » ° 2'Д вЂ” (х~Я) 1 — 1зх). ! 1-ю 20.3. Случай пространств типа !. (Ко)гомологически тривиальные картановские модели, Свойства отображения возведения в квадрат симметрического пространства. Переходим к изучению пространств типа 1 (см. таблицу 1). Начнем с описания тех случаев, когда циклы !э [У] тривиальны.
Так как для пространств А~П1, В,1„В~1», В»П, С,1, С,П„, 0~1»~ 0Д»а~ 0~П1 Е»П Е»1П Е»Ч, Е»Ч1, Е»ЧП Е»ЧРП Е»1Х г,1, г»11, 6»! полипом Пуанкаре содержит только четные степени ! (см. [81]), то 1,[У] О. Рассмотрим пространства 0~!» сп 1~4, 1 ч- т ~ ~ — ~, Р (У, г) (! + Р'-») Я (!), где»г (!)»г( — !). Отсюда следует, что Н*(У; Р) Л(иы т) 89, где подалгебра»г порождена образующими дь ..., о, четных степеней.
Так как и,'~ » О, то любой элемент х ~ Н'(У; Р), х чь О, где з нечетно, должен иметь вид х им»а, где о~9. Односвязной группой изометрий 1»(У) многообразия У является группа Зр)п(2!). Рассмотрим гомоморфизм („где В У-».8р!п(2!) — картановское'вложение. Вычислим элементы 1'(х„), где аен(З, 7, 11, ..., 4! — 5, 2! — 1). Если ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ а~21 — 1, то д'(х„)=О. Элемент 1«(хм,) не обязан быть тривиален; точно так же могут отобразиться не в нуль образующие х„при 21 — 1(а(41 — 5 и «особая» образующая хм д. Так как степени всех этих образующих печатны, то 1«(х„) = идмдд 21 — ! ~ а ~ 41 — 5; 1~ (хм д) = а им „а я Р, д,'„ен (е.
Легко видеть, что все произведения вида х„хв переходят в нуль, так что единственными элементами кольца О*(5р(п(21); 1«), которые могут перейти не в нуль, являются элементы х„при 21 — 1 =а«=41 — 5 и х„д. Так как 1~т~~: — ~, то!)2т~2, П вЂ” П 2 (вд»+ «д — 1) и, сопоставляя это с очевидным неравенством 2т) получаем 1~ 2л 1, что дает 41 — 5(д(шУ, т. е. д, [У|= 2 (дл»+ вд — 1) О. Для пространства Е,1 также имеем д, [У)=О, так как б(ш У = 42.
Нам осталось рассмотреть следующие пространства: 'А,„1, 'А»,1, 'А,,П, «0!11, «Е«ЪЧ. Сначала построим специальные базисы В(1д) и В(1»). Рассмотрим произвольное компактное симметрическое пространство У, и пусть Т вЂ” некоторое максимальное абелево подмногообразие в У. Пусть Е 1«(У), Р— стационарная группа некоторой точки ген Т, Будем считать, что У вложено в группу Е как картановская модель.
Хорошо известно, что для любой точки о я У всегда существует такой элемент )д ен $ с 1, (У), что )дой-дев Т, где Т вЂ” фиксированное максимальное плоское подпространство в У. Группа Р, действуя присоединенным образом на У, расслаивает его на орбиты, причем каждая орбита содержит точки подмногообразия Т. Если 1 — произвольная точка из Т, то орбита О(1) диффеоморфна однородному пространству $/$ПС(1), где через С(х) мы будем обозначать централизатор элемента х. Так как У ~(В, то подмногообразие Т можно представить как пересечение Т, П У, где Т« — максимальный тор в группе (В. Каждая орбита О (1) встречается с тором Т в конечном числе точек, и все эти точки сопряжены друг другу при действии на торе Т нормализатора )11(Т).
Более того, орбита О (1) встречает тор Т в этих точках трансверсально и касательные пространства Тд(О(1)) и Т,(Т) ортогональны друг другу. Теперь рассмотрим отображение р(: У-~У, р((о)=о', которое будем обозначать через 1. Ясно, что [(Т) с: Т. Лемма 20.3.1. Отображение 1' номмутирует с присоединенным действием группы $ ни многообразии У. Эта лемма очевидна. Итак, при отображении 1 орбита точки 1 отображается в орбиту точки 1»=1(1). Обозначим через й (У) множество сингулярных элементов пространства У Э/4) (см. [9]). Дополнение )д(У) У'~й(У) [ьг повеРхности, РеАлизуюшие нетРиВВАльные циклы [Гл, 4 называется регулярным множеством в У.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
