А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 39
Текст из файла (страница 39)
Легко подсчитать, что если ЯрпгВ=О, то [Ню Нз] ев |,', ~Р, Нз] = Но ~ю где В ен Д. Так как Я, Я с= Д, то пространство е,' превращается в алгебру Лн над Р, причем [В', Я с= В', [В', В'] с= Д, где через В' обозначено линейное пространство в е,', образованное преобразованиями Ню Алгебра Ли е; действует в М3 непрнводнмо н имеет нулевой центр, а потому она полупроста; известно (см. [68])„ что е„' нзоморфна некомпактной алгебре Ли некомпактной группы Е,. Рассмотрим группу 51. (27; С), действующую в М,"; тогда е; ~ з1 (27; С) н можно рассмотреть подгруппу Е, Я) ехр (е,'), являющуюся некомпактной формой группы Е,. Перейдем к компактной форме группы Е,. Обозначим через Н,' подалгебру Картана алгебры Ли н рассмотрнм в е[ подалгеб р у Н~ — — РН., †., + РНН-~, + Н,', где ~;>„„и Н„, „,— два дополнительных вектора к Н,.
Тогда оказйвзется, что подалгебра Н,' является подалгеброй Картана в алгебре ь 104 повагхиасти, эаализующив натгиэнальиыв циклы сгл. ° Ли е',. Если через (сс, 1 ч см 6, обозначить базис в подалгебре Не, то для того, чтобы получить базис в картановской подалгебре компактной формы группы Е„ достаточно рассмотреть набор вектороэ (сусс). Компактную алгебру Ли группы Е,с=Я)(27) будем обозначать через е„ее картановскую подалгебру — через Н„компактную алгебру группы Р,с:Е,— через гс.
Картановская подалгебра Н, и алгебре е, имеет внд Не~ФРп —.,+(И~о-е.+Не: здесь мы рассматриваем М', над Р. После перехода к компактной форме алгебры е,' плоскость В' перейдет в плоскость В с=е„для которой имеют место соотношения 1В, В1 ~ се, 1В, Се) с=.В, т. е. В является тройной системой и совпадает с касательным пространством Т,(У) к вполне геодезическому подмногообразию У, являющемуся картановской моделью пространства Ее/Ре. Ясно, что двумерная плоскость В=ЮРп .+АР„„содержится в В и является максимальным абелевым подпрострайством в В. Вычислим элемент 1 ен Т ехр В как элемент тора Те ~ 31) (27).
Пусть а е,— е„й е,— е,. Тогда, если обозначить координаты в плоскости В через фс и ф„то каждый вектор э~В имеет вид з ° 1фсР, + (феРз. Представим элемент Х ~ Мя в виде ~~0 хе 0~ ~0 0 Яе~ ~0 0 0 ~ Х-Всв,+Веве+$,ве+'Яе О 01+;О О О,+:О О х,, „о о о(,)х о о .о яс о и в соответствии с этим разложением выберем в М,' ортонормированный базис се,, е„ее, и„и„..., и„; о„, ..., о,; и~,, ..., псе); тогда М„'=Еес'сЕ,О+ЕеЮЕ„где б(шЕе — — 3, б)шЕс 8. В этом базисе оператор 1=ехр(з) еи Т имеет вид се ь оУ 1' ~е о о о е' о '9' о ее о с 1 се, ! в 1 О 0 еее'С И' ° о о 'е~ где ф,+фе+фе=2йп, 0(фс~2и, 0(фе~2п.
Запись операторов 1 идентична записи ~лементов (ен Т'с Я)(3). Рассмотрим генТ такой, что 0(фс(фее феС2п, ф,+фе+фе=2п. Если С(1) — централизатор 1 в группе Е„то для орбиты 0(1) имеем 0(1)=Р,сР„ПС(с). Подсчитаем подгруппу Ре()С(с). После перехода к компактной форме группы Е, алгебра с; переходит в вещественную ортогональную алгебру за (8).
Рассмотрим в группе Ре подгруппу С ехр(зо(8)); тогда элементы с~С обладают тем свойством, что с(ес)=ес, 1(( я 3. Известно (см. 165]), что С вЂ” Бр)п(8). Л е м м а 20.7.1, Связная компонента единицы подгруппы Ре Д С(с) совпадает с подгруппой С. тяоэймА кллсснонкхции Доказательство. Докажем, что зо(8) с= Т,(Р,ПС(1)). Пусть а ен зо (8); для этого необходимо н достаточно, чтобы й(е)=0, 1(1<3, Чтобы доказать, что й яТ,(С(1)), достаточно доказать, что (й, з1=0 для любого оператора з ен 5. Это проверяется непосредственным вычислением (проверьте!).
Обратно, пусть уяР,()С(г), где ОС<р~«рз«р,<2п. Отметим, что сннгулярность элемента 1ы Т заключается не только в том, что оператор 1 на подпространствах ~,, 7, Ь, является скалярным оператором, но н в том, что могут совпадать н другие собственные значения, однако это приводит к увеличению С(1) в Я3(27), но не увеличивает подгруппу РэПС(1). Так как у1=1у, то оператор у, действующий з М,', имеет внд 1Оа,ОВ~ д=' о о х, ', где )а,(=1, 1~1(3. А р' Так как элемент е~ является идемпотентом в М1, то д(е,) =д(е~) д(ед. Из явного вида оператора у следует, что д(е~)- =сс;е~+Хо где Х~енЦ19 Ез3+Ьь Отметим, что для элементов Х ыЬ,9ЦО+Е„выполнено равенство 3~=0, 1ч 1(3, а потому е~ Х 0 для лкбэго Х н любого 1, 1~1(3.
Отсюда следует„ что Х~=Х). Докажем, что подпространство Е'=1.19Е,~).„не содержит ненулевых ндемпотентов, Действительно, если через ( ру 1 обозначить элемент Х', где Х ен7.', то рм — 2',хэ,м+2~х,,", рм — — 2~хе~о+2',х1,в ры=2,'х,~'+ +2~х~", н так как по пРедположению Х=ХэевЕ,', то Ри=О, 1~1(3, что даег х, х,=хе=О, т. е. Х=О. Итак, у= Е,ЮР, что н доказывает лемму. Рассмотрим элемент 1', ~ )с (У) н предположим, что ~р, + ~рз + +~рз=2п.
Отождестзнм тор Т с тором Т'с: $() (3) и будем, как н раньше, задавать элемент Г ен Т набором (<р,, <р„<рз). Элемент Я имеет 4 прообраза прн отображении 7': У-~.У: 4ц — (+, —, — ), гээ=( — + — ), 1ов ( —, —, +), йм —— (+, +, +). Рассмотрим действие группы (р'(У) на торе Т. Пусть группа Вейля (р (ЬО(27)) реализована в группе 3П(27) как подгруппа (Р' (см. пункт 20.4), и в группе )Р' рассмотрим подгруппу (Р", элементы которой прн присоединенном действии переводят з себя тор Т с: Ты Подгруппа (р" порождена элементамн и, вида и,'д+и", где операторы и', ен ыУ(3), и,",он У(24). Мы не будем описывать явный внд операторов л„ поскольку он достаточно громоздок.
Лемма 20.7,2. Каждый оператор поен Ф"" являетсл олтоморфизмом алгебры Мз, и помпому У" — подгруппа в группе Г,, Этот факт легко устанавливается непосредственной проверкой па основе явного вида операторов и„. 166 поверхности, рззлизхющие нзтризилльныз циклы !гл. 4 Рассмотрим Г,",е- :)?(г') и фиксируем какой-либо корень Если !не=ба,, го ог В((ьд=огВ(1,',) (см. лемму 20.4.!). Пусть Г,„ябьчь, где (ю',, г„(ь) = п(1, 2, 3).
Рассмотрим элемент л еи!р' и определим отображение йх У-+ У, р(о) п,ип„', Здесь <р(о) ~ У при любом о ея У, так как (Р'" с= гр. Лемма 20,7.3. Пусть г1~)?(У); люгдп от В(гь)=огВ(гьД для любого 1, 1К1(4. Доказательство. Поскольку подгруппа ф=Р, связна и тор Т отождествлен с тором Т, в группе Я)(3), то ог В(!!) =огйрВ(1!). Далее, огЕ(!ь)=с(о) огсйрЕ(М,",) и йрА(11)= Чей!)(леА(г)л,,'). Докажем, что отображение йр: ТрО(4)-+ -~ Т (йй О (~р (1,')) устанавливает изоморфизм этих касательных пространств.
Достаточно показать, что п,А„п,' еи А для любого а. Рассмотрим отображение Аб(п„): Н Н. Йз леммы 20.7,1 получаем, что операторы дев С=(Еь()С(г))ь имеют зид Ее+у", где у" действует в ортогональном дополнении Е' к плоскости Еь (элемент Хея1,' тогда и только тогда, когда Ь=$ь=5г О).
Так как л,=п,',Яг~, то Аб(ль)(С) с=С, а потому Аб(п,)(А) с: А, так как А — ортогональное дополнение к зо(8) в Н. Поскольку л,еи,р, то Аб(п ) невырождено и 1шА =А, что н требовалось. Так как гм, ~р(!1) ~ Ашг„то эти точки можно соединить гладким путем и гладко продеформировать Йр В(!ь) в сйрВ(Ф в точке 1м, причем ог (йр Е (гьэ)) =с(о) ог Е (1„'). Осталось сравнить ориентации реперов А (Гь,) и ам (п,А (е) и,,') в пространстве Т,, (О ((м)) Достаточно сравнить ориентации базисов А (е) и п,А (е) л,' в плоскости А. Пусть (зь ..., ьр) — базис в подалгебре зо(8), тогда взаимная ориентация базисов А(е) и л,А (г) л,' совпадает с взаимной ориентацией базисов (з„..., з ) и (п,з1л,,', ..., п,зрп,').
Итак, необходимо знать, как группа %'" действует на подгруппе С; п(у) = = Ад (п) (у). Рассмотрим симметрическую группу Яэ подстановок трех элементов (1, 2, 3). Если через пу обозначены элементарные перестановки, то Я„состоит из элементов (1, опь овь о„оям ~Ъонь омп„о1ь). Обозначим элементы оа и о,ьп„через Ч, и фь соответственно.
Тогда Яь — — (1, ~р,, ф„ф), <раз, <ррах). В группе Вь выделяются следующие коммутативные подгруппы: г.з (1?з), г г($1) У, (~р,фь), Я,(у11Я). Как мы знаем, подгруппа С изоморфна группе Ьр1п (8). Решим следующую задачу: какова подгруппа С с= Е4 таких автоморфнзмов уен У„что у(7.ь) с:Ьь, где !ь — 3-мерное подпространство идемпотентов в М,',? Так как г~ е?=0 при 1~!', то из (у(е))э у(ес) следует, что й'(ед=~;аФ~ =~,'а)еь откуда а,=(0, !). Окончательно (й'$г„) (л,'), что означает, что группа всех автоморфизмов подалгебры 1.ь изоморфна симметрической группе В,. Поскольку Сс С является нормальным делителем, то С/С~Яь=(п,',).
Итак, подгруппа х. состоит из шести связных компонент, причем связной компонентой единицы является под- таогамя кльссиьикьции 1а7 группа С. Теперь рассмотрим в группе Р«подгруппу йг" [л,». Так как п,~~ = и,;!ь„ то йг"с= С, и так как элемент л, полностью определяется перестановкой о, то йг" изоморфна 5», т. е. мы реализовали факторгруппу С/С как подгруппу Ф" с- С, причем в каждой связной компоненте С содержится в точности один элемент подгруппы %7".
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
