А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 36
Текст из файла (страница 36)
Отметим для дальнейшего, что квадратный корень из регулярного элемента енова регулярен (является регулярным элементом). Лемма 20.3.2. Пусть 1ь ен Т вЂ” регулярный алемент и 1 — произвольный квадратный корень из элемента 1ь. Тогда при отображении 1 орбита 0[1) гомеоморфно отображается наорбиту 0 (1А). Доказательство. Допустим, что существуют две точки хт и х„принадлежащие 0(1), такие, что х,Фхь и 1(х1)=1(хь) Так как х„х,~О(1), то хв — — а,1а,', х,=а,1а,' для некоторых элементов ат и а, из подгруппы $. Тогда а,'а,1А 1ьа,'ам т. е. а,'а,енС(1ь)П$. Так как 1 и 1А регулярны, то С(1)ПФ С(1ь)П Р и поэтому х, = х„что противоречит предположению.
Лемма доказана. Отсюда следует, что достаточно исследовать свойства отображения 1, ограниченного на тор Т. Если 1А=1(1) и 1ь ~ Я(У), то существует достаточно малая окрестность У точки 1А такая, что Ус: Я(У) (множество Й замкнуто в У) и 1-'(У) с: Я(У). Отображение 1 является возведением в квадрат, поэтому оно гладкое и регулярное в окрестности )-' (У), Известно (см. (91), что дипй(д[шУ вЂ” 2, а потому множество Я связно, Поскольку отображение 1 гладкое, то для определения степени дед~ достаточно подсчитать его степень на множестве Я(У).
Пусть ранг У=1. Если 1ь ~ Е(У), то все прообразы 1[ этого элемента при отображении 1 принадлежат тору Т, причем все они различны и их число равно 2'. Выберем на торе Т ориентацию и поместим во все точки 1~ 1-реперы, ориентации которых совпадают с ориентацией Т; еще один 1-репер с такой же ориентацией поместим в точку 1ь. Рассмотрим отображение 4: Т„(Т)- — ТР(Т); тогда очевидно, что при отображении 1 ориентация тора не меняется и 1-реперы в точках 1~ переходят в 1-репер в точке 1А с сохранением ориентации. Фиксируем точку 1[, в касательном пространстве ТИ (У) выделим подпространство ТИ(Т), в котором мы уже выбрали базис ет(1~), ..., е[(1[); будем обозначать этот базис через ЕЯ.
Дополним набор векторов Е(1[) до базиса В(10 во всем пространстве Тй(У). Рассмотрим отображение [гй 4-~.0(1), 1ыТ; [г[(И)=И[И-', Ю($ПС(1))=1; через Ф обозначим дифференциал отображения Щ Ф. Н Т[(У). Рассмотрим левый сдвиг 1.,: д-~4у и перенесем касательное пространство Т[(У) в точку е с помощью отображения 1[. й)л-; тогда 1~- (Т,(У)) ~0. Пусть Х~ Н, тогда у,(Х)=1, (Е— — Ад (1)) (Х). В подалгебре Н возьмем плоскость А, ортогональную подалгебре М = Т,С(1); Н = У+А.
По определению отображения д, Кегд,=М, а потому Ф иевырождено на плоскости А н эта плоскость линейно отображается на пространство Т,(0(1)). Выберем в плоскости А произвольный базис (А„..., А ) А(е) и в качестве базиса в Т,(ОЯ) возьмем д,(А(е))=А(1). Теперь определим в каждой точке 1[ базис В(1[) в ТИ(У) следую- 166 ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ щим образом: В(1,)=(Е(Г,); А(12)). Аналогично и в точке 12 определим базис В(12). Итак, будем считать, что ориентация многообразия определяется базисом В (22) в точке Р.
Базисы Е(12) и Е(12) можно выбрать так, что В'(е„(12))=2еа(Р); формально будем записывать, что с)~(Е Я) =2Е(12), Лемма 20.3.3. Пусть гэенй(У), и пусть В(12) и В(12)— описанные выше базисы. Тси)а 4(В(12))=(2Е(12); А(12)). Доказательство. Достаточно показать, что 4(А(12)) = = А(22). Будем считать, что группа 9 вложена в унитарную группу У(М). Рассмотрим точку Г, и бесконечно близкую к ней точку 1,+зХ, где вектор Х ~ ТО(У) имеет вид Х= ~ка62,(Аа). Рассмотрим равенства )' (12+ еХ) = ЦАб (е+ е (с' каА„)) Я~ =Ай (в+ а (Х каАа)) (1 ) = 1 +з Еха)п (Аа).
Отсюда следует, что й((уй(А ))=дп(А ). Лемма доказана. 2С Итак, дед~= ~ сВ(12), где сВ(22)=+ 1, если ориентация 1', ! ! определяемая В(й), совпадает с ориентацией У, определяемой В(Р), и сВ(12)= — 1 в противном случае. Во всех дальнейших рассуждениях мы будем следовать единой общей схеме, небольшие вариации в которой обусловлены конкретными особенностями симметрических пространств. 2ОА. Случай пространств типа !. Пространства Я)(й)/$0(й).
Рассмотрим пространство 'А, 1: У=ЗБ(2т+1)~30(2т+1), т« «1, ранг У=2т=ранга, р 30(2т+1) вполне негомологична нулю в группе Я3(2т+1) для вещественных коэффициентов; Р(У, ~)=(1+1')(1+12)...(1+1'"+2). Пространство А, 2! имеет вид У Я3(2т)/$0(2т), т«2, ранг У=2т — 1=ранг ц), Ар = = 80(2т), причем подгруппа $ уже не является вполне негомологичной нулю', Р (У, 1) (1+ (А) (1 (- 22)... (1+ г' -') (1-1- Ра). В обоих случаях группой изометрий 12(У) многообразия У = =-ЯЗ(п)!$0(п), п«3, является группа Я3(п).
Инволютивиый автоморфизм 6 в алгебре А„, имеет вид 6(Х) = Х, где черта обозначает комплексное сопряжение; автоморфизм 6 продолжается до инволютивного автоморфизма о(у) =я. Рассмотрим в алгебре 6 плоскость В, на которой автоморфнзм 6 равен — Е; эта плоскость составлена из симметрических чисто мнимых матриц порядка и со следом О. Плоскость  — касательное пространство к картановской модели У =(уа(у 2)) =(дуг), и так как от=о, о~ У, то модель симметрического пространства состоит из всех унитарных симметрических матриц в, и только из ннх. Максимально абелево подпространство В в пространстве В !54 ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ ИГЛ.
4 состоит из всех диагональных матриц (~р, в '„О иэ„) где рр,+ ... -(-рр„=О, ранг У' ранга, а потому 5=5„Т=Т,. Рассмотрим пересечение Р ПУ. В силу леммы 19.3 достаточно описать все такие элементы о ы У, что О' е. Легко видеть, что Р()(1=()80(л)15(0(р)х0(п — р)); это означает, что мы не (Р) можем использовать нулевой класс смежности для определения индекса пересечения двух циклов дополнительных размерностей 'рР и Зр. Так как Т= Т,, то С(1)=Т, если 1~ Я(у'). Пусть 1ен лрр), л Орр)=БОр )рл, и э,ор...эхл тлр ф: Н- Т,(0(1)) является нзоморфизмом линейных пространств, н в качестве базиса А(е) мы должны взять базис подалгебры Н. Рассмотрим накрывающее пространство 5, отнесенное к координатам рэн ..., Ер„; рр,+ ... +рр„=2п. В качестве координат на торе Т возьмем линейные формы рры ..., фл такие, что 0~ ( чрр ( 2п. Области на торе, заполненные регулярными элементами, описываются наборами (Чрр, ..., срр ), где 0(ррр,«рй«..
... (рры(2п, Каждая такая область связна и гомеоморфна открытому (л — 1)-мерному симплексу. Рассматривая всевозможные наборы (1„..., 4), получаем покрытие множества Н(У') камерами Вейля. Рассмотрим группу Вейля В'(Ф)(см. Пункт 17.2).
Эта группа переставляет между собой компоненты множества Я ((1) и просто транзнтивна на множестве всех камер Вейля. Группа Я3(и) рассматривается нами в стандартном представлении минимальной размерности в линейном пространстве Е с базисом е,, ..., ел. РассмотРим элемент пц, 1 чь 1, пРинадлежащий подгруппе 80(п) и представленный в пространстве Е следующим преобразованием: ан (ер) = е~, лн (ет) = — ен пн (е,) = е„ при йчь(1, 1); если 1=1, то будем считать, что пн — тождественное преобразование.
Тогда образующими группы Вейля являются преобразования прн. Т вЂ” Т такие, что прр~(1) = пц(л-,~', 1е= Т. Рассмотрим в подгруппе БО (а) подгруппу )Р", порожденную элементами лн, 1 чь), и пел Тогда Ф" нзоморфна группе Вейля. КажДый набоР О=(!ы ..., (л) опРеДелЯет набоР О = (ЧРр,, ..., ф, ), т. е. орнентацню тора, знак которой совпадает с четностью пере-. становки, переводящей набор и в стандартный набор (1, 2, а). Выберем теперь регулярный элемент Я, для которого подсчитаем степень отображения 1: 1) 0«р,«р, (... ( рр„( 2п; 2) Чрт+ "+ррл=2п' 3) Чрт+р)рэ+" +ррл-ы(ррл-элем 1~э~ ~~ — ~. Рассмотрим базисы Е(13) и Е(1м), определяющие одну н ~2>' ту же ориентацию тора.
Для краткости ориентацию базиса В(1) ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ обозначим символом ог В (1); если два базиса определяют одну и ту же ориентацию, то будем писать огВ(1) огВ'(1), если противоположную, то ог В(1)= — ог В' (1). Лемма 20 4.1. Пусть ЕоевЬоо, „с: Я(У), и предположим, что Ео~ ~ Ьоо...,. Тогда ог В (1о~) = ог В (4). Доказательство.
Так как область боо „связна, то точки 11 и 1„можно соединить гладким путем у(1), целиком содержащимся в Лоо „. Репер Е(1м) можно непрерывным образом перенести вдоль пути у(т) так, чтобы этот репер все время оставался касательным к тору и чтобы в момент времени т 1 он совпал с репером Е(1о). Рассмотрим вдоль пути у(т) орбиты 0(у(т)). Определим непрерывную деформацию репера А (1„) вдоль пути у (т), положив Р, (А (Ем)) = А (у (т)); у (О) 1м, у (1) Я. В каждыи момент времени репер А(у(т)) ортогоиален тору. Лемма доказана. Рассмотрим симплекс Е1о о и обозначим через а перестановку, переводяшую набор (1, 2, ..., и) в набор (Ем Ео, ..., Е„).
Тогда симплекс Ьоо „отображается в симплекс Ь,,,л преобразованием осо ен Ж'((В), ос, (1) =поЕп ', по я Г, по=а~!йпьу... ...по Е, где а=*а...,...а~ Š— разложение о в композицию элементарных перестановок. Через с(о) обозначим четность перестановки а. Л е м м а 20.4.2. Пусть корень Ем принадлежит симплексу Ьс, о, еде (Е„..., Е„) =а(1, 2...,, и). Тогда от В(1оо) =огВ(ф, если с(о)=+1, и ог В(ЕИ) — огВ(11), если с(о) — 1.
Доказательство. Рассмотрим отображение ~р: З-~.(3, <р(у)=поуп„'. Так как и вне, то <р(о) яУ при любом оевУ. Рассмотрим отображение е(йн Та(У)о-Т, (, 1(У). Так как группа $ связна, то элемент и, можно соединить гладким путем у(т) с единицей е, у(1)=е, у(0)=п,. Отсюда следует, что огВ(1о) = = ог (йр В (Ео)). По определению отображения ~р ясно, что ог Е (11) = с (о) ог йр (Е (13)). Оказывается, отображение ор естественным образом действует на пространстве орбит 0(1), а именно: <р(0(1))=0(<р(1)) для любого 1ев Т. В самом деле, пусть х ев 0(1); тогда х=а1а-', ~р(х) =ао~р(1)а1', где а, п,ап,' ~ $, так как и, ~.Р. Вычислим отображение ейр: То (О (1)) — Тщи, (О (ор (1))).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
