А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 34
Текст из файла (страница 34)
каденция злдлчи !45 в 19. Редукция задачи об описании (ко)циклов, реализуемых вполне геодезическими подмногообразиями, к задаче описания (ко)гомологических свойств картановских моделей Из теоремы 18.1 извлекается важное следствие. Следствие 19.1. Пусть У вЂ” компактное односвязное вполне геодезическое подмногообразие в компактной группе 9=А(У) и У = Уь к Уь ~...
м У м У +з х...'кУ, — разложение У на неприводимые компоненты в группе 9 (см. теорему 18.1). Тогда подмногообраз е У реализует нетривиальный цикл в Н, (9; Р) тогда и только тогда, когда все подмногообразия Уь 1~1(з, реализуют нетривиальные циклы в Н, (9; И). (Предполагается, что ни адно многообразие У~ не является точкой.) Доказательство. Обозначим через (ь вложение Уь в группу 9, и пусть 1 — вложение У в 9. Рассмотрим в Н,(9; )ч) элементы 1„[Уь]. Так как в Н,(9; Р) определена структура понтрягинского произведения, то определен элемент и= 1„ [Уь]... ...1,„ [У,], реализованный в группе 9 в виде цикла У = У,Уь... У„ т. е.
У = (х„ ..., х,,), хь ы У,. Докажем, что и = (э[У]. Сначала докажем, что У = У У,... У,. В теореме 18.1 было установлено, что [Вю В„]=0 при й„ьп и [Н, Вь]=0, т(йч в, откуда и следует требуемое соотношение. Следствие доказано. Следствие 19.! сводит исходную задачу к следующей: дана произвольная связная компактная группа Ли 9 и компактное односвязное вполне геодезическое неприводимое подмногообразие; требуется выяснить, когда это подмногообразие реализует нетривиальный вещественный цикл.
Выше было указано, что если У вЂ” подгруппа, то вопрос полностью решается исследованием гомоморфизма р*(У; 9); более того, при этом не предполагается односвязность У. Поэтому мы можем целиком сосредоточить свое внимание на изучении вложения в группу 9 подмногообразия У', где У'=У,~х...хУ, (см. теорему 18,1). Вложение В У-~-9 имеет вид композиции: 1=1ь(м где 1,: У-~-А(У), 1,: А(У)-+.9. Так как 1„= 1„1,ь, то в первую очередь исследуем гомоморфизм 1, . Эта задача будет нами ниже полностью решенш мы вычислим элемент 1„[У] ~ Н, (А (У); Р) для каждого неприводимого компактного симметрического пространства У.
Поскольку вложение 1: У - А (У) однозначно (с точностью до сопряженности), то пару (А (У), У) можно рассматривать как элементарную ячейку, которую можно мономорфно отображать в компактные группы Ли. Если 1„ [У]=0, то и 1 [У] =О. Если же 1„ [У]чь О, то это не означает, что и 1„ фФ О; поэтому в том случае, когда 1„ [А (У)] = О, требуется дополнительное исследование гомоморфйзма 1„ на элементе 1~,[У]. Ясно, что в каждом конкретном случае этот вопрос может быть до конца изучен, Итак, неприводимое односвязное компактное пространство У вложено как вполне геодезическое подмногообразие в группу А (У), Ы6 повггхности. гвллизлощие нзтгивилльные циклы ~гл.4 которая, вообще говоря, не односвязна.
Легко видеть, что подмногообразие У реализует нетривиальный цикл в А(У) тогда и только тогда, когда нетривиальный цикл реализует подмногообразие У, днффеоморфное У, в накрытии А (У), Достаточно изучить вложения многообразия У в односвязную группу гь(У) А(У). Этн вложения можно описать каноническим образом, используя наличие ннволютивного автоморфнзма 6, определяющего симметрическое пространство У. Вложение неприводимого симметрического пространства У в А(У) порождает в алгебре б, инволютивный автоморфнзм 6, 6(В)= — В, 6(Н)=Н. В силу одно- связности А (У) автоморфизм 6 продолжается до ннволютивного автоморфизма всей группы; тогда множество неподвижных точек автоморфизма о связно (см, (91), откуда следует, что это множество совпадает с подгруппой $.
Вполне геодезическое подмногообразие У с: А (У) состоит, очевидно, из тех элементов, для которых о(а) =д-'. оказывается, что, н обратно, любое неприводимое симметрическое пространство У допускает вложение в группу 1ь(У) в виде вполне геодезического подмногообразня. Предложение 19.1 (см. [711). Пусть о — инзолютивный овтоморфизм компактной связной группы Ли 9. Обозначим через $ множество всех его неподвижных точек и предположим, опо на 9 задана инвариантная метрика. Тогда отоброзсение йф- ао(д ') является диффеоморфизмом многообразия 9/гр на замкнутое вполне геодезическое подмногооброзие У в группе 9, которое является симметрическим пространством в индуцированной римановой метрике.
Если группа 9 односвязна, то и многообразие 9/р, где ф — множество неподвижных точек автоморфнзма о, также одно. связно. Поскольку любое вложение й У -~А (У) определяет один н только один автоморфнзм 6 (с точностью до сопряженности), то из предложения 19.1 следует, что это вложение является картановскнм в том смысле, что подмногообразие У допускает представление в виде (йо(й-')), где а ев, а элемент а пробегает всю группу А (У). Легко доказать, что действие группы А (У) на У можно представить так: я(а) =йчкг(й-'), где а я У, дя А(У). Если яеиУ, то Ы(а) дад; если дев,(р, то д(а) пай ', т, е. подгруппа $ действует посредством вращений, а подмногообразне У действует на У сдвигами.
В дальнейшем через 9 будем обозначать универсальную накрывающую максимальной связной группы нзометрнй 1ь(У) компактного односвязного неприводнмого пространства У. Рассмотрим отображение р: 9-~- У с= 9, р ((г) ао (й-'). Ле м ма 19.1. Непрерывное отображение р определяет главное расслоенное пространство ф-~9-~-У со слоем ф. эвдэкпня злдлчн Доказательство, Рассмотрим в Е классы смежности йф по подгруппе (р. Если и, и й» принадлежат одному классу смежности, то, очевидно, р(п») р(п»).
Обратно, если р(к») р(к»), то д,а(д,'), д»а(д,'), или о(Ь-')=Ь-', где Ь й»'цм т. е. Ьеи4 и у,=д»Ь,*так как множество неподвижных точек связно. Лемма доказана. Л е м м а 19.2. Каждый класс смежности йьф имеем с подмногоабразием У нел уст се игр<сечение. Доказательство. Допустим противное: пусть существует такой класс йьф, что (й,ф)1) У ф.
РассмотРим на подмногообразии У точку гл,=р(у>9), и пусть и'=У'т, есть обозначение такой точки из У, что (т')' иь. Если таких точек несколько„ то возьмем любую нз них. Если о ен У, то о=до(д-') для некоторого пена, а потому п(о) (па(я-'))-', т. е. п(о) =о-', причем выбор элемента и несуществен. Отображение р является отображением группы Е на подмногообразие У, что позволяет рассмотреть сквозное отображение р(: У -~ У, р( (с) оп (о-'), т.
е. р((о)=о' и отображение р1 действует на У как «возведение в квадрат» в смысле операции в группе(3. Поскольку ть=(т')», то т» р((т'). Рассмотрим класс ги'.Р; тогда т'елл»'РПУ и р(гл'Р)=ть, т. е. полный прообраз точки ть при проекции р содержит точки двух классов смежности: л»'гр и д,ф. Из леммы 19.1 следует, что т'ф й»$1 а потому д»ФПУФф и содержит, по крайней мере, точку гл', что противоречит исходному предположению. Лемма доказана. Из леммы 19.2 следует, что произвольный класс д$ можно представить в виде глР, где глен У.
Если лена, то через ~/й будем обозначать такой элемент д', что (и')» и, а через (У й'1 — множество всех таких элементов из Е. Л е м м и 19.3. Пусть тЯ вЂ” лроизвольный класс смежнссгли, т =У. тогда ш,~ПУ-(1 ~)()У. Доказательство. Докажем, что (З~г~п»~()У«=тфп У. Действительно, пусть л«ь тен У и гл,' гл»; тогда тгп(т,') лы(пг') (см. выше) и (т-'щ,)п(т,'гл)=е, т. е. Ьп(Ь-') е, где Ь=лг'ль.
Так как р(Ь) е, го Ьен.р и гл,=тЬ, где Ь еда. Обратно, покажем, что ~УлР~ Д У ~ льр П У. Пусть и ен тф, сея У; тогда и тЬ, Ьыф и о»=оа(о-') т», т. е. пы(3~'аР). Лемма доказана. Отметим, что <нулевой класс смежности» вЂ” подгруппа Р— пересекается с У по множеству таких точек о, что о» = е. Отображение «возведения в квадрат» можно было бы определить и вне зависимости от вложения У с= 5, используя представление произвольной точки вен У как точки на геодезической, исходящей из фиксированной точки г ы У, а затем удваивая значение 1, параметра 1, отвечающее точке р нз этой геодезической.
Выше мы 143 повзгхности, гвллизтющив нитгивилльныв циклы [гл. « доказалн корректность этого определения для симметрических пространств. У т в е р ж д е н н е 19.1. Пусть р1 — отображение «возведения в квадрат» симметрического пространства У = 9/ф. Вполне геодезическое подмногосбразие У ~ 9 реализует нетривиальный цикл в Н„(9; 1«) тогда и толысо тогда, когда степень отображения рй У«-У отлична от нуля. Доказательство. Достаточность этого условия очевидна.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
