А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 38
Текст из файла (страница 38)
Рассмотрим тор Т ~ Т,. Сбщая картина будет такой же, как и для тора (<р„,..., <р ). Выделим в (Р' (5(3 (2т)) подгруппу (Р' (У), переводящую в себя тор Т. Так как элементы 1 ~ Т имеют вид 1= 1' $1', Е ен Т' сУ/(т), то образующими группы (У(У) являются такие преобразования шн. Т- Т, что шн(1) = =пи(лл', лн лл®пл, па~Я1(т) и элементы л;~ совпадают с элементами пн, рассмотренными в предыдущем пункте. Элементы ш ~ 77(У), отвечающие произвольной перестановке и, обозначим через шо. Рассмотрим в группе З(.)(2т) подгруппу %'", порожденную элементами лн, (чь 1, лп =е.
Подгруппа ))о" изоморфна Ф'(У) она действует на торе Т внутренним образом. Ориентация симплекса Лй...о определяется четностью перестановки о такой, что (ом ..., о,„)=о(1, 2, ..., т). Ясно, что %" с:Ьр(т)ПУ(Т). Рассмотрим 11В(У) и фиксируем какой-либо корень 1оь Если (ооон Ььа..., то огВ(1о~)=огВ(1о) (см выше). Пусть 1о~е=йо, о и (1,, ..., о,„)=а(1, ..., т). Рассмотрим элемент и =п' Яло' ей ен %'" и определим отображение чс У-~-У, ор(а)=поап~'.
Здесь 'р(О) ен У при любОм 0 ЕБ У, так кдк (Р с: ф. [60 ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ [ГЛ. В Лемма 20.5.2. Пусть 1*,е=)1(У); тогда огВ(1)=ОТВ(1ь[) для любого 1, 1 =1~:2 -'. Доказательство. Точно так же, как и в лемме 20.42, устанавливается, что ог В(11) =ог(дф В(1,')). Отображение ф действует на пространстве орбит 0(1), а именно: фО(1)=0([р(1)) для любого 1~ Т. При доказательстве леммы 20.4.2 было установлено, что дф А (1в) =д„([) (п,А и,'). Является ли отображение [[ф: Т[1 (О (4)) -Р ТР([ ) (О (ф (1в))) невырожденнымг Достаточно показать, что п,А„п 'еиА при любом а. Рассмотрим отображение Аб(ПР): Н-РН.
ЕСЛИ П,=Пу — ПрЕОбраЗОВаНИЕ, ОтВЕЧавщЕЕ ЗЛЕ- ментарной перестановке, то подгруппа К=51)(2)х...хЯ3(2)= =С(1в) П.р переходит в себя и действие преобразования д- и йп' на подгруппе К сводится к перестановке двух сфер: $1 и $[. Это означает, что А[1(п,)(й) = й, а поэтому переходит в себя и ортогональное дополнение к подалгебре й, что и требовалось. Орбита 0(1',) диффеоморфно отображается на орбиту 0 (ф (11)), и мы знаем, что [[ф В(1!) = [аф Е(1г); (Фн (п„А,„п,,')и, причем ог([[ф Е(1„')) = =с(о)ог(Е(1в[)). Поскольку отсбражение д,н является изоморфизмом и А(е) и пвА (е) пв' — базисы в А, то достаточно сравнить ориентации базисов А(е) и п,А (е) пв'.
Для этого рассмотрим в Н базис Р=(А (е); е,, ..., е, ), где (е,, ..., е, ) — базис в подалгебре й; применим к базису Р преобразование Аб(п„); тогда, так как п,~вр и вр связна, получаем, что огР ог(А[1(п )(Р)). Действие Аб(п,) на подгруппе К нам известно; отсюда следует, что ог (Ад(п,) ((е[)))=с(о) ог((((в[)), а это означает, что ог(п,А (е)п,')= =с(а)ОТА(е). Так как ог([(фА(1',))=с(о)ог(А(1м)), то огВ(1м)= =ог([[ф В(1в)) =ог В(1,'). Лемма доказана. Следствие 20.5.1. Искомая степень отображения 1: У-Р У, где У = $1) (2т)/$р (т), т ) 2, равна 2 .А; следовательно, 1 [У1 чь О. 20.6.
Случай пространств типа 1. Пространства У'-'= =80(21)/$0(21 — 1), Вычисление в явном виде коциклов, реализуемых вполне геодезическими подмногообразиямн типа 1. Рассмотрим симметрические пространства У = $0 (21)1$0 (21 — 1), 1~ 4, ранг У = 1, р = $р[п (21 в 1) Вполне негомологична нулю в группе $р[п (2!) для вещественных коэффициентов, Р (У, 1) = 1+ [м-'. Максимальной связной и односвязной группой изометрий многообразия У является группа Е=$р[п(21). Плоскость В = Т,(У) состоит из матриц (Ьу), где Ьу = — Ьп и Ьу =О, если оба индекса отличны от 1.
Поскольку ранг У = 1, то нет необходимости исследовать пространство орбит О (1). Так как многообразие У диффеоморфно сфере $"-', то очевидно, что [[ей ~=2, если 1: Ен-А-~- $"-', и [[ей[ = О„если [': Ям-~-$А'. Из утверждения 19.1 получаем Следствие 20 6.1. Искомая степень отображения [: У-+ У, где У=50(21)1$О(21 — 1), 1)4, равна 2; следовательно,[,„[У1~0. Вычисление элементов ([Р)-'[У) выполняется теперь довольно просто. Мы рассмотрели все симметрические пространства, группь[ творима классиьнккцни 1В! изометрий которых не являются особыми группами Ли.
Оказалось, что единственными пространствами, реализующими нетривиальные циклы в Н„(9; (ч), являются следующие: 'Аем1, т«1; 'Ае еП, т~ 2; е/)~11, /-в 4. Симметрическое пространство еЕе)т/, группой изометрий которого является особая группа Е„, мы изучим ниже. Рассмотрим главное расслоенное пространство гр / 9-мУ, где стационарная подгруппа р связна, и предположим, что ф вполне негомологична нулю в 9 для некоторого кольца коэффициентов К. Тогда гомоморфизм ре: НФ(У; К)- Н" (9; К) является мономорфизмом, и мы можем рассмотреть в Н'(9; К) подалгебру ре(Н'(У; К)), изоморфную Н" (У; К).
В этих предположениях имеем следующее П р е д л о ж е н и е 20,6. 1 (см. [9 Ц), а) Пусть К = г.; Н' (9; х,) не имеет кручения и обладает простой системой примитивных образующих. б) //усть К=к или К=гр. Предположим, что Н" (9; К) обладает проспюй системой примитивных образующих (для К )ч вто пргдположение всегда выполнено). Тогда в обоих случаях образ гомоморфизма р' допускает простую систему примитивных образующих, Это означает, что в кольце Н' (9; К) (при указанных предположениях) всегда можно выбрать простую систему примитивных образующих хм ..., хе таких, что образующие хм ..., х„(где и=-й) принадлежат ре(Не(У; К)) и являются простой системой образующих в втой подалгебре.
Так, например, Н'(Я)(п); л,) и Не(50(п); Ур) обладают простыми системами примитивных образующих. 1) У='Ае 1. Пусть К=Ур, где рФ2 (р может равняться нулю). Известно (см. [9Ц), что подгруппа 0=80(2т+1), т- 1, вполне негомологична нулю в группе 9=Я3(2т+!) для кольца коэффициентов Ур. Тогда в Не(Я)(2т+1); Ур) можно выбрать такую простую систему примитивных образующих (х„х„..., х, „), что подзлгебра р" (Не (У; Ур)) — й(и„и„..., и,„„) допускает з качестве простой системы образующих элементы (х„х„хее, ... ..., х, .„), причем р'(и,„) =х„; а=(5, 9, 13, ..., 4т+1). Утверждение 20.6.1. //усть й У-+ /е(У) ~А(У) — описанное выше вложение пространства У=Я/(2т+1)/80(2т+1), т «1, как вполне геодезического подмногообразия в группу изометрий /,(У) Я)(2т+1).
Тогда подмногообразие 1(У) реализует нетривиальный коцикл в Не(/ь(У); Ур), где РФ2 и проспюе, если р ~ О. Росслютрим элемент й х,х,... хе +е ~ Не (/е (У)' л,р). Тогда [У1 = (е (Н-' Й), где У = 2'" (птоо р). Доказательство очевидным образом вытекает из следствия 20.4.2 и из выбора образующих в Н'(/,(У); Ер).
2) У 'Ае,П. Пусть К=У,. Тогда (см. [9Ц) подгруппа 4) Вр(т) вполне негомологична нулю в группе 9=ЯЗ(2т) для кольца коэффициентов У,. 6 А. т. Фоменко- !Е«ПОВЕРХНОСТИ. РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ !ГЛ. т Утверждение 206.2. Пусть й У-Р/ь(У)ыА(У) — описанное выше вложение пространопва У =$1)(2т)/$р (т), от~ 2, как вполне ееодезического подмногообразия в группу изометрий /ь(У) = Я3 (2т).
Тогда подмногсобразие 1(У) реализует нетри. виальный коцикл в Н* (/ь (У); е,). Рассмотрим элемент 1в = х„х,х,„... ... хь„к ~ Н' (/ь (У); У). Тогда /' (1г) = /т' [У1, где Н = 2 Доказательство вытекает из следствия 20.5.1 и из выбора образующнх в Н'(/,(У); У). 3) У = ЧлтП. Пусть К Ур, где р ~ 2 и простое, если р чь О.
Тогда (см. [911) подгруппа $р|п(2/ — 1), !=ь 4, вполне негомологнчна нулю в группе $р!п(21) для кольца козффнцнентов УР. Утверждение 20.6 3. Пусть П У-ь/ь(У)чккА(У) — описанноевышевложение пространства У=30(2/)/$0(2/ — 1), 1~4, как вполне геодезического подмногообразия в группу изометрий /ь(У) = =$р1п(21). Тогда подмногтюбразие 1(У) ргализугт нептризиальный коцикл в Нь(/ь(У); Ур), где р~2 и простое, если рным. Рос.
смотрим еле«тент П =хат-т ен Н~[/ь(У); л р). Тогда [У]=1 ~ к Я). ! Доказательство вытекает нз следствия 20.6.1. Следствие 20.6.2, В кольце Н'(Я!(2т+1); УР), т=ь1, р ~ 2, следующие коциклы я реолизукипся вполне геодезическими подмногооброэиями типа ьАв 1: а = /!/,' 1гт — — Н,,'хьквхт« ... хь м где 1ч:.:д(т и Н =2ч(птойр). Следствне 20 6.3. В кольце Н'(Я3(2т); У, ), т~2, рчь2, следующие коциклы т) реализуются вполне геодезическими подмногооброзиями типа 'А,,11: т! й/ '1г =/т' хьх,...х~ „где 2~да т, Ф =2т-'(птой р). Рассмотрим влаженне /: Я/(2т) — Я3 (2т+ 1); тогда коциклы, реализуемые в Н* (Я/(2т+ 1); лр) подмногообрззнячн типа РАкт1, 2а=д~т, и /('А«,11), 2(д.=т, когомологнчны, т)р — — /ь( ).
20.7. Случай пространств типа 1. Пространство Е,/Рм Рассмотрим пространство 'ЕвИ, У = Е,/Р„ранг У 2, йтпт У 26, ,ф=р, вполне негомологнчна нулю в группе Е=Е, для вещественных каэффнцнентов, Р (У, /) = (1+ Р) (1+ Р"), Максимальной связной и односвязной группой нзометрнй многообразия У является особая группа Е, с центром Ут, Рассмотрим поле Р; и пусть К вЂ” алгебра чисел Кзлн (алгебра октав) над полем Р (см. [661).
Будем пока считать, что Р=С. Хотя алгебра К некоммутатнвна и неассоцнатнвна, она удовлетворяет некоторому ослабленному условию ассоциативности, так называемому альтернативному закону, а именно: х'у=х(ху) и ух'=(ух)х для любых элементов х, у ен К. Рассмотрим линейное пространство над Р, обозначаемое Обычно М," и образованное всеми (ЗхЗ)-матрнцамн вида т1, к, ккт Х= гт сч «т!, „'" г 1,[' тяоэзмз клхссиФнкхцнн где х~ с= К, 3~ с= Р, 1 (1( 3. Сложение матриц н умножение нх нз элементы поля Р определены обычным образом, что превращает М„' в 27-мерное пространство над Р.
Структура алгебры в Мз вводится операцией Х У= — (ХУ+УХ), где ХУ и УХ вЂ” обыч- 1 ные произведения (ЗхЗ)-мзтрнц. Операция умножения Х У превращает М,' в неассоцнативную алгебру, причем: 1) Х У=У Х; 2) (Х'У) Х=Х'(У.Х). Пусть А ~М",; через Нд. М„'-~М„' обозначим правый сдвиг Нз(Х)=Х А, а через 17з,з обозначим следующее линейное преобразование М,": В~ в — — [Ню Нз] = Н,Нз — Нэйю Из тождеств 1) и 2) следует, что 1)з, з — дифференцирование алгебры М',. Обозначим через ~,' алгебру Лн (над Р) всех дифференцирований алгебры М,'; тогда (см, [65]) алгебра ~,' нзоморфна алгебре Лн особой группы Р,, а потому односвязная группа Рч (где 2(Р4)=0) получает точное линейное представление в 27-мерном пространстве над Р как группа азтоморфнзмов йордановой алгебры М,*.
Рассмотрим в М', трн ортогональных идемпотента: и выделим в алгебре 74 подалгебру Д, составленную из всех таких дифференцирований д алгебры М1, для которых й(з,)=д(е,)= =д(е,)=0. Известно (см. [65], [66]), что алгебра Д нзоморфна ортогональной алгебре Ли типа 1У4. Теперь мы расширим алгебру ~„включив ее в алгебру е,', нзоморфную алгебре Лн особой группы Е,. Обозначим через е,' линейное пространство всех линейных преобразований алгебры М3, имеющих вид Е=)7д+В, где А енМ1, БрцгА=О, 17ен~,. Операцию коммутнрования в пространстве е,' введем обычным образом: [1.„1.э]=Е~1.з — Ц7-„где через ЕФ обозначена композиция преобразований Е и Н.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
