А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 42
Текст из файла (страница 42)
'И» (8() (8)) -~п» (8Р (16)) — соответствующий гомоморфизм. Так как 1, и 44„стабильны, то(4»(1)=2 и ((41,)» (1) = 2, откуда 4„(1) = 1. Аналогично рассматривается и случаи и =9. Теорема доказана. 21.4. Необходимые сведения О спинорйых н полуспинорных представлениях ортогональной группы. Для решения задачи о реализации циклов нам потребуются понятия, связанные со спннорными и полуспинорными представлениями ортогональной группы. Далее, общий прием, с помощью которого мы будем обнаруживать вполне геодезические сферы, реализующие нетривиальные элементы гомотопических групп п,((Э), не будет действовать в размерности 7, что поставит нас перед необходимостью исследовать специфику группы $0(8).
Рассмотрим комплексное евклидово пространство )т+, н обозначим через (ем ..., е„) ортобазис в й„'. Через ес,.„~ будем обо- $ м) КОЦИКЛЫ, РЕАЛИЗУЮШИГСЯ СФЕРАМИ 175 значать базисные полнвекторы, являющиеся косым произведением векторов е~, ..., е~ . Рассмотрим комплексное линейное пространство С„', элементами которого являются следующиеформальные суммы (так называемые агрегаты): А =а+~ч~ ~а'еь+ ~', агнеьи+...+а"- "ем„.„. ь<ь Умножение агрегатов А на комплексные числа и сложение агрегатов определены покомпонентно. В пространстве С," можно ввести ассоциативное умножение, обладающее следующими свойствами: 1) (А+В)С=АС+ВС, С(А+В)=СА+СВ; 2) (АВ) С = А (ВС); 3) АВ=ВА а'В, если А=(а', О, О, ..., 0), а'ен)01 4) аа =) а (', где а = (О, а, О, ..., 0); 5) а— ) [а,а,...аэ) Р[а„а„..., аэ), где слева стоит альтерни- 1 рованное произведение векторов ам ..., а„, рассматриваемых как элементы С„', а справа — внешнее произведение векторов а„...
..., аэ, рассматриваемое как элемент С„'. В частности, е~р,... е е~,~,...с„,' 1, ~...( 1е. Пространство С; с этой операцией умйоженйя (см. [77)) называется клиффордовой алгеброй. Рассмотрим в алгебре Са гладкое подмногообразие 27', составленное из агрегатов вида У аэ...а,а„ где а~ †люб неизотропные векторы, т.
е. )а~~' чьО. Такие агрегаты иногда называются версорами. Ясно, что У-' = ~ ... †-' . Подмногообразие Ф" несвязно и )а,) "' )аД состоит из двух связных компонент: подмногообразия четных версоров (й четно) и подмногообразия нечетных версоров (й печатно). Пусть теперь л=2У, случай нечетного и сводится к этому. Рассмотрим группу 0(2У, $); тогда любое ортогональное преобразование в пространстве )7,'У может быть представлено в виде у УхУ-', где х, уенй,"„, а У вЂ” некоторый версор, Уы)(У"'.Подмногообразие яГ является группой.
Если У=а,...а,а„положим У' ( — 1)'аа,...а„, 'тогда УУ'=( — 1)'~а,~'...)'а„~'. По определению отнесем к подмногообразню 27 те и только те версоры, для которых УУ' = 1. Подмногообразие 27 является группой (называемой спинорной группой); можно определить проекцию р: ))у-~ 0(2У; $), сопоставив каждому У ен ЯЯ вращение х-~УхУ-'.
Так как р(У) = р( — У), то группа Ф' является, очевидно, двулистиым накрытием над группой 0(2эч $). Компоненту единицы группы 27 будем обозначать через Ьр(п(2У; О, она состоит из четных версоров. Если рассмотреть в алгебре С;, яодалгебру четных агрегатов, то она изоморфна С„', (для любого п) (см. [77)). Прн нечетном и алгебра С„ распадается в прямую сумму двух !76 ПОВЕРХИОСТИ, РЕАЛИЗУ4ОЩИР НЕТРИВИАЛЬИЫЕ ИКЛЫ !ГЛ.
4 своих подалгебр, изоморфных С; 4. Алгебра Ц; допускает так называемое спинорное представление в 2'-мерном комплексном векторном прос4ранстве, более точно, клиффордова алгебра С,„ нзоморфна алгебре всех линейных однородных преобразований комплексного векторного пространства 5,,; этот изоморфизм единственный (с точностью до сопряженности) и называется спинорным представлением алгебры С;,. Так как группа Зр!п(2тл 4;) реализована в С4+, посредством подмногообразия %'4, то спинорное представление алгебры С„", индуцирует некоторое представление группы Зр(п(2тл $), которое называется спинорным представлением ортогональнои группы ЗО(2У; С).
Рассмотрим касательное пространство Т,(ур4) к подмногообразию йу4 в точке I и перенесем его параллельно самому себе в начало координат. Получаем подпространство 7 в алгебре С,"„, являющееся алгеброй Ли группы Ю„ натянутое на всевозмож! ные простые бивекторы ец=е~е~ = — (е~е~ — е~е4), а поэтому спинорное представление алгебры С4"„индуцирует спинорное представление алгебры Т.
Спинорное представление группы ЗО(2У,' С) вполне приводимо и распадается в прямую сумму двух неприводимых представлений размерности 2"-'. Если рассмотреть клиффордову алгебру С~ над полем ь;, то мономррфизм Зр!п(2У; $)-~ -4 Ж(2', $) заменяется на мономорфизм Зр)п(2У)-4-51) (2'), где Зр!п (2у) — компактная односвязная простая группа Ли при 2учь4. Итак, спинорное представление группы ЗО (2у) унитарно. Распадение спинорного представления в прямую сумму обусловлено разложением С," в прямую сумму двух подпространств: Х, О+ Х„ где Х, — четные агрегаты, а Х,— нечетные агрегаты; ясно, что Х, н Х,— инвариантные плоскости спинорного представления. На каждой из этих плоскостей представление группы Зр!п(2У) уже не является, вообще говоря, точным.
Так как центр 2(Зр!п(2У)) совпадает либо с 74, либо с УАЯ У,„то сужения представления на плоскости Х, и Х, являются точными представлениями двух полуспинорных групп: Зр!п,(2У) и Зр!пз(2У). Если У нечетно, то группы Зр!п,(2У), Зр!п4(2У), ЗО(2У) изоморфны; если У четно, то группы Зр)п,(2У) и Зр!п4(2У) гомеоморфны, но не изоморфны группе ЗО (2у). 21.8. Спинорное представление ортогональной группы ЗО(8) н группа автоморфизмов чисел Кали.
Обозначим через Ац!(6) и 1п! (6) соответственно группы всех автоморфизмов и внутренних автоморф измов простой алгебры Ли б. Тогда Ап! (Ео (2У))/1п! (Ео(2У)) =Ж„если У)4, и Ап!(Ео(8))/1п!(Ео(8)) 5,— группа подстановок третьей степени. Изучим группу Ац!(Ео(8)). Если У=4, то спииорное представление группы ЗО (8) распадается в сумму двух неприводимых восьмимерных представлений, причем на каждой из плоскостей Х, и Х, операторы полуспинорных представлений сохраняют симметричные билинейные формы, что приводит к изо- 4 и1 коциклы, гсхлизгюп|игся сфггхми морфнзмам 80 (81ы Бр(п, (8) — Бр(п, (8) (см.
[68]). Рассмотрим спинорное представление алгебры Лн зо(8); пусть Х ен зо(8), а В обозначает спи(юркое представление; тогда В (Х) ~ зо(16) с: ~зц(16) для любоГо Х н о(Х)=о,(Х)9Ь',(Х), где операторы Я~(Х), 1=1, 2, действуют на подпространствах Хо Определим гомоморфнзм И: зо(8)- зо(8), положив И(Х) =о,(Х); ясно, что И является автоморфизмом алгебры зо(8).
Оказывается, что И'=*В и Из(Х)=И(Я,(Х))=Я,(Х), И(Вэ(Х)) Х (см. [68]). Рассмотрим алгебру чисел Кэли (см. пункт 20.7) н выберем в ней ортонормированный базис (1, ем е„..., е,), е,е~+е;ес= — 28ц, 1 х=х 1 для любого х~К. Тогда умножение в алгебре К задается следующей аг таблицей (рнс. 46), где стрелки указывают знак произведения.
Например, е,е,г ва, е,е, = — с, и т. д. Автоморфизм И оставляет ах в. неподвижной 14-мерную подалгебру б„которая, как можно показать прямым вычисле- н~ нием, является алгеброй Ли особой группы б~ — группы автоморфизмов алгебры октав ва в в (чисел Кали). Рассмотрим теперь в алгебре зо(8) элементы А [аа, я], где д=(я„я„... ..., яе), а=(п,, ..., а,), аен К; А [па, я]= =[Ьц[,Ь„=па„2~р(8, Ь =я, и числа р, д, г определяются соотношейием е, = е е„2 ч- р ~ д. Иными словами, матрица А[аа, а] определяется таблицей умножения в алгебре октав.
Выделим в алгебре зо(8) три линейных подпространства: А [а, а], А [ — а, а], А [ — 2а, О]. Все эти три плоскости лежат в ортогональном дополнении к подалгебре 6,. Из свойств автоморфизма И вытекает, что имеет место следующая цепочка изоморфизмов: А[ — 2а, О] —" — А[ — а, а] — "А[а, а] — "А [ — 2а, 0].
Введем новые обозначения: В0 А[ — 2а, 0], В1 А[ — а, а], Вз А[а, а]. Подпространство В, совпадает с касательной плоскостью к подмногообразню Х, ~ 8О(8) (см. пункт 17.3), являющемуся картановской моделью симметрического пространства типа Ч7,11 в группе 80(8). Ясно, что Вэ — тройная система, а потому тройными системами являются и подпространства „„ так как В,=ИВ„В, ИэВ, ИВ„ИВ, В,. Рассмотрим группу ЯО(8) и подмногообразия Х~ ехр Вм ехр Вм ехр Вм Легко видеть, что ехр В, и ехр Вз диффеоморфны сфере 5'. Так как Хг йР', то автоморфизм И алгебры зо(8) не может быть продолжен до автоморфизма всей группы БО(8).
В группе Бр!и (8) мы получили три вполне геодезических подмногообразия: ехр В~ = В,', ехр В~ = В), 1 = 1, 2, диффеоморфных сфере В', если через Н обозначить автоморфизм группы 8р(п(8) такой, что ЫН=И, то В' Н'(5), В1 Н(В(). Если и — проекция ф!п(8) на 8О(8), то и(В[) КР", п(В]) ехрВ~~ЗО(8). !76 повегхности, гвллизгюшие нет~ивихльны~~ циклы !гл, ~ Обозначим череа рг и р, проекции Бр!п(8) на группы Бр!п~(8) и Бр!п,(8) соответственно. Тогда й порождает/три автоморфнзма: l Н;. БО(8)- Бр!п,(8), Н;. Бр!п~($)- Бр!пэ(8), Н;. Бр!п,(8)-~БО(8), причем автоморфизм Н,Н,Н, является тождественным. Ясно, что Н,п = р,Н, Н,р~ — — раН, Нара —— пН (рис.
47). Так как Я(Бр!п(8)) = =Е~ЯЕэ, то в группе Бр!п~(8) имеем ехрВэ=5', ехрВ,=РР', ехрВ,=З', а в группе Бр!п,(8) имеем ехрВа Я, ехрВ~=5', ( в х а г У рг ВР Ь ~ зрм,(а) зрмйб вр!пгЮ гг зз(з) Рас. 47. ехрВ,=ЯР'. Ясно, что каждое из подпространств В~ является тройной системой и порождает всю алгебру зо(8). Группа БО(8), если ее считать порожденной сферой 5'=ехрВ„должна рассматриваться как полуспинорная группа Бр!пэ(8); сама группа БО(8) порождается подмногообразием мР' ехрВ,. Автоморфизм й является внешним автоморфизмом и порождает подгруппу (1, Ь, й'). Легко подобрать такой автоморфизм ек зо(8)-~ -~зо(8), что оР 7 и )ней=а (мы не будем описывать явный впд этого автоморфизма).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
