А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 44
Текст из файла (страница 44)
Так как группа и»,, стабильна; то, если сфера 5»Р-' реализует нетривиальный элемент Н' (80(л); Н), это означает, что 2р — 1~(4в — 1)+4=4е+3. Получаем неравенство 4в+3»-1+2!о~и, й+1(!+!од»я, что противоречит»в« выбору числа й. Для нечетного й пункт (2) теоремы доказан. б) Пусть Е 80 (и), н предположим, что я четно„й=(1+ !од»л1, й 2»«. В этом случае р)4 н в группе 80(л) содержится подгруппа А(8»~ '), нзоморфная либо 8р(п (2р), либо 8р!п«(2р), что снова дает оценку рч--1+!оя» и. Из предложення 21.3.2 следует, что вполне геодезическими сферами уже реализованы элементы х», х<, ..., х,»». Допустим, что 2р — 1~2й+1; тогда й+!».- ( 1+ 1он«я, что противоречит выбору числа й.
Осталось выяснить, можно лн реализовать вполне геодезической сферой образую!цую х»» „где й= 2е. Лемма 21.7.2. Пуск»ь й четко и й»4; аюгда, если— » !» — 1) четко, то существует вложение $: 8р!п«(2й)-~80(2»-') такое, что вполие геодезическая сфера $Я» «(Ю»»-') реализ«!ет образующую х,»»~ Н'(80(2»-»); Я), а если 2 — кечетяо, то существует вло»!»- !) жение тр 8р!п«(2й) -» 8р (2'-') такое, что вполяе геодезическая сфера ту»» ! (5»»-') реализует образующую х»»-» ен Н» (8р (2" '); Р) 183 ' КОЦИКЛЫ, РЕАЛИЗУЮШИЕСЯ СФЕРАМИ 5 »П Доказательство, Рассмотрим спкнорное представление Л: Бр(п(2й)-Я-Я)(2»).
Так как й четно, то определена проекция р~'. Вр1п(2й) -Бр(ЦЯ(2Й). Рассмотрим в алгебре С»» операцию транспоиирования агрегатов, при которой базисный поливектор е1 1 „ ~ заменяется на ЕЯ .,1,1,, транспонировапный агрегат обозначим через А. Рассмотрим автоморфизм (Е(А))г-Ро (А) полной матричной алгебры в пространстве Я»», изоморфной СЯ». здесь через (Е(А))г обозначена обычная операция траиспонирования в пространстве Я»».
Известно (см. [751, [771), что любой автоморфнзм алгебры С»» внутренний, а потому Л(А)=С(Е(А))гС-1, где С вЂ” некоторая невырожденная постоянная матрица. Транспанирование агрегата У ~ 'РУ» означает переходк обратному элемен- 81 и) ту: У У- .Отсюдаполучаем,что р «Яв ' -1 С = (Е (У)) С (Е (У))г, У ев ))У». егко показать что танзер С оп ека» 12 ее(е»-~2 ределен однозначно с точностью до числового множителя с4=0. ее(Р»2 зе(яя) Итак, подгруппа Вр(п (2й) с= ~ Я) (2») сохраняет билинейную форму С, которая всегда является либо симметрической, либо косо- Рис.
48. симметрической, а именно: с"' »1»- И =( — 1) ' ЕРА (см. [771). Выделим в ЯЛ(2») две подгруппы: 80(2») и Ьр(2»), где $0(2») Я)(2») ПЮ(2»; ч,), Ьр(2») Я)(2»)П ПВр(2»; $). Тогда, если р= четко, то представление Е » (» — 1) является вложением группы Бр(п (2й) в группу ЯО(2»), а если р нечетно, то — вложением в группу Ьр (2').
Для полуспинорных представлений Е, картина усложняется. Пространство представления Е»» разлагается в сумму двух инвариантиых подпростраиств: Е»»=Х1®Х» (см. пункт 21.4); позтому необходимо выяснить, когда тензор С допускает разложение в прямую сумму С СЯ ®С», где тензоры СЯ суть ограничения тензора С на плоскости ХЯ и поэтому имеют тот же тип симметрии, что и С. Рассмотрим в пространстве Е»» ортобазис (е„..., е», е»,1, ...
„., Е»Я), и пусть Л вЂ” спннорное представление; обозначим операторы Е(е2) через Е11 тогда (см. [77]) тензор С для четного й имеет вид С Е»+~ Е»+»...ЕЯ, а для нечетного й имеет вид С= Е,'Е;... Е». Так как операторы Е; переставляют подпространства Х, и Х, между собой, то тензор С допускает сужение на Х, и Х, в том и только в том случае, когда й четно. Мы можем подвести итог в виде следукицей диаграммы (рис. 48). Так как отображение 7»» 1. Е»»-1~-Я2(2" ') порождает полуспинорное представление ЕЯ (см.
лемму 21.7.1), то отображение К» !84 ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ [ГЛ. ° реализует образующую группы и,», (БО(2»-')), а отображение т!5А 1 — образующую группы и,»,(Бр(2»-')). Лемма доказана. Рассмотрим группу Е=БО(л). Пусть я=4э, тогда р четно. Из леммы 21.7.2 получаем, что в группе БО(2'-') при й~4 существует вполне геодезическая сфера Я'"-', реализующая образующую х,„,. Так как й — 1 с:1ои,п, то существует вложение 1: БО (2»-') ~БО (и), индуцирующее мономорфнзм гомотопических групп И,А,(БО(2'-т))-» И,А А(БО(и)) при й.:~5. Отсюда вытекает, что при й~5 вполне геодезическая сфера /АТЬ 1(Б'"-') реализует образующую хьг-т Пусть теперь й 4, тогда гомоморфизм /»: ит (БО (8)) -Р -Р и, (БО(9)) не является мономорфизмом.
Хорошо известно (см. [891), что ядром гомоморфизма 1»: г, ~+3 У,-»-л. (см. пункт 21.5) является подгруппа, порожденная элементом у, где у — характеристический класс. Отсюда в силу следствия 21.5.1 получаем, что 1»(у)- 1»(а) — !»()3), т. е. !»(а) !»(()); но так как элементы а и () не йропорциональны у, то !» (а) ФО и вполне геодезическая сфера 7и(Б,') (точно так же, как и сфера )н(Б,')) реализует образующую х,ен Н»(БО(9); И).
Так как группа я,(БО(9)) уже стабильна, то при вложении БО(9)-РБО(п) указанная сфера по-прежнему реализует образующую х,. Тем самым, доказана следующая Л е м м а 21.7.3. Пусть й = [1+! Ои, Л1, й ~ О (птоб 4), к ~ 4. Тогда образующая х»» т еи Н» (БО(п); й) реализуется вполне геодезической сферой. Докажем одно вспомогательное утверждение. Лемма 21.7.4. Пусть я=[! +!ой»л), причем й четно и й~б. Предположим, что в группе БО(п) содержится вполне геодезическак сфера Б'"-т.
Тогда существует вложение Бр!п~(2й)-РБО(2»-'). Доказательство. Рассмотрим группу А(Б"-'); как уже было доказано выше, она изоморфна либо Бр1п(2й), либо какой- нибудь из групп Бр(п~(2й) при й) 4, Разложим точное представление С группы А (Б'" ') в прямую сумму неприводимых представлений; С Я С,. Тогда среди представлений С, найдется по крайней мере одно такое С„, которое является неприводимым двузначным представлением группы БО (2й). Значит, его размерность кратна 2' ' (см.
[75!), а так как число й было выбрано максимальным, то бцп С„2"-'. Так как единственными двузначными неприводимыми представлениями размерности 2»-' группы БО(2я) являются полуспинорныв представления Юь то С„=Ю, для некоторого 1, что и доказывает лемму. Пусть теперь й~ 2(шоб 4), р нечетно. Докажем, что образующая х,ь, не может быть реализована вполне геодезической сферой.
Лемма 21.7.5. Пусть й~2(шоб4), й [1+!ой»л), й)6. Тогда в группе БО (л) не существует вполне геодезичеаий сферы Бвь-т. Доказательство. Допустим противное; пусть в группе БО(п) содержится вполне геодезическая сфера Б»А-'. В силу леммы 21.7.4 существует вложение ь: Бр!п~(2й)-».БО(Эь4), причем воз- ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ 185 й 22. Теорема классификации, описывающая элементы гомотопическнх групп симметрических пространств типа 1, реализующиеся вполне геодезическими сферами 22.1. Формулировка теоремы классификации. Результаты 3 21 описывают вполне геодезические сферы в компактных неприводимых симметрических пространствах типа 11.
Поскольку изучение вполне геодезических сфер в компактном односвязном симметрическом пространстве сводится к рассмотрению неприводимых пространств типа 1 и типа П (см. выше), то для выяснения общей картины нам осталось изучить неприводимые пространства типа 1, что мы и сделаем в настоящем параграфе. Все эти пространства перечислены в таблице 1; объединяя в ней некоторые серии, получаем следующий список (не содержащий особые серии); 31) (р+ д)/3 ((/(р) х (/(с)), 3О(р+ д)/3 (О (р) х О (с)), Бр (2 (р+ д))/Бр (2р) х 3р (2д), 31) (и)/50 (и), Я/ (2п)/Зр (2п), 30 (2п)/(/ (и), Ьр (2п)/(/(и). Обозначим через (х„у„...) образующие группы п,(У)®!К! тогда и,/У)®(к ®Р(х„у„...), где через к(х„у,) обозначена группа п,(У)$)Ч.
Через Дп(У) будем обозначать подгруппу в группе п„(У)ЯЯ, составленную из всех таких элементов х, что б(шх(й/. Пусть й=й(п)=(1+1ойьп). Определим следую. щую функцию: если йэпО(тоб4), если й = 1 (пюб 4), если у~2(тод4), если й ~ 3 (шоб 4). 2й — ! — 1, 2й — 1 — 3, 2й — ! — 5, 2й — ! — 3, /г(п) =Л(2А ')- никающее прэдставление неприводимо. Рассмотрим сквозное отображение х~: Бр1п,(2п)- Я)(2"-'), где ес 30(2" ')- ЯЗ(2А ')— стандартное вложение.
Получаем точное представление группы 5р!п~ (2й) размерности 2' ', которое, очевидно, пеприводимо, а потому эквивалентно одному из полуспннорных представлений Юь Так как р нечетно, то представление хь имеет кососимметрический билинейный инвариант С (см. лемму 21.7.2), а потому иь(Бр!п~(2Й)) с= с$р(2А-'), т. е. И~(3р!п,(2й))с:30(2"-')Д3р(2А-'), т. е. мы получили точное неприводимое представление группы 5р(п~(2й) в группу (/(2А-'), что невозможно, так как наименьшая размерность такого представления равна 2"-'.
Лемма доказана. Леммы 21.7.3 и 21.7.5 завершают доказательство теоремы 21.1.1(2). Мы не будем останавливаться на доказательстве теоремы 21.1.1(3), поскольку это доказательство в своих основных чертах воспроизводит приведенные выше рассуждения. Доказательство пунктов (4) — (8) теоремы 21.1.1 проводится по той же самой схеме и выполнено в (59].
Теорема 21.1.! доказана полностью. !За повегхности, ькклизтющиз нзтьивилльиыз циклы (гл.е Те о р е м а 22.1.1 (А). Пусть У вЂ” компактное нвпривсдимсе симметрическое пространство типа 1, группа движений которого не является особой группой Ли. Тогда единапвенными элементами группы п„(У) ® Р, реализующимися вполне геодезическими сфераии, являются следующие элеменп(ы (здесь й й(я)): (1) если У Я) (2пУЕ (У (и) х У (и)), й'~3, (1ее(У) Р(хе„), то (хе„), где 1~а(й; («е<е (2) .если У 50 (2п)!Е (О (и) хО (п)), й ) б, Цы (У) = Я(х,„), то (хи,), где 4ч--4а~/,(1бп): («кюе (3) если У=бр(2п)/(Ьр(п)хбр(п)), и 2з, й)8, (гее(У) = (+) (к(х,„), то (хе„), где 4:е-4а(/е(4п)' (~и~еге (4) если У Я)(п)/БО(п), й)5,(гее е(У)= Я Р(х, „,), (<и<(ь-(пз то (х,„е), где 5 ~ 4а+ 1 ~ (е (8п); (5) если У =Я)(2п)/бр (2п), й=''е 5, Юеене(У) = В Й(хеаы) («е ке/е то (лье+(), где 5~4а+1~1е(4п)' (б) если У 50(2п)/У(п), й~5, ()ее(У)= (-"( Р(х,„„), <а ~ (» — и/е то (х, „), где 2~ 4а+2 =.1((2п); (7) если У=бр(2пУН(л), й- 5, Ды(У)= 63 Р(х~„„), то (хи,(е), где 2~4а+2ч--(е(бп).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
