А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 46
Текст из файла (страница 46)
ТЕОРЕМА КЛАССИФИКАЦИИ Тогда в группах я, (И,(2"+')) следующие элементы реализуются вполне геодезическимй буферами: (1) 2Рен У„если з ьм5(пюй8), Р~О; (2) 2~ '~Е, если з ~1(пюб8), р)0; (3) 1 ыл,ь, если а~=(2я — 5)~3(шод8), тогда яинО(шоб4); (4) !АДЕ, если з,=(2й — 3)мь1(шос18), тогда ямь2(той 4). Лемма 22.2.8. Рассмотрим многообразие й,(2ь А) и выделим. в нем компоненту наибольшей размерности И.', (2ььь) = = БО(2ь-ь)/Б(0(2ь-ь)х 0(2ь-ь)).
Пусть й)8, з =2(й — р) — 6, — 1(р~й — 4, Тогда в группах л, (й„'(2А"')) следующие злементы реализуются вполне геодезическими сферами: (1) 2Реы У„если зььм4(пюй8), р)0; (2) 2~ ' ен Х, если з„~О(пюй 8), Р~ О„ (3) 1 енУФ, если зь=(2я — 6) ~2(той 8), тогда яьиО(пмх$4); 4) 1~3, если з, (2я — 4)ьььО(шой8), тогда яьи2(шой4).
ереходим к доказательству теоремы 22.1.1. Нам осталось доказать только единственность (с точностью до множителя) построенных выше реализаций для групп п,(Р')ЯР. Лемма 22.2.9. Пусть Бьь-вполне геодезическая сфера в произвольной компактной группе З. Рассмотрим подгруппу А(5'Р) (см. теорему 18.1), и пусть р) 4. Тогда группа А (Бье) изоморфна группе Бр!п(2р+ 1). Доказательство. Этот факт аналогичен уже использовавшемуся выше утверждению о том, что А(Б'Р-') изоморфна либо Бр!п(2р), либо Бр1п~(2р).
Лемма 22.2.10. Пусть р) 4 и р=[!Ойьп~. Предположим, что в группе БО(п) содержания вполне геодезическая сфера Б*Р. Тогда суи(ествует вложение Бр!п(2р+ 1)-ь БО(2Р). Этот факт доказывается аналогично доказательству леммы 21.7.4. Лемма 22.2.11, Пусть р) 4, р=[1+ !Он,л|, Предположим, что в группе Бр(2л) существует вполне геодезическая сфера БАР. Тогда существует вложение Бр!п(2р+ 1)-1-Бр(2Р). Лемма 22.2.12. Пусть р=[1ойьл) и р)4. Предположим, Р(Р- !) Р(Р+!) что Р Р нечетко, если р четно, и чпю Р нечетно, если р 2 2 нечетно.
Тогда в группе БО(п) не сущгствует вполне геодезической сферы БАР. Доказательство..Допустим противное: пусть в группе БО(п) содержится сфера БАР, тогда, согласно лемме 22.2.10, существует вложение Бр)п(2р+1)-ь-БО(2Р) с: Б()(2Р). Сквозное вложение Бр!и (2р+ 1)- БО (2Р) порождает неприводимое представление С' группы Бр!п(2р+1) размерности 2Р. Известно (см. [75!), что существует только одно точное представление группы Бр!п (2р+ 1) размерности 2», а именно спинорное представление Я. Итак, С' эквивалентно Ь". В [771 установлено', что представление Я имеет два билниейных инварианта С и Е' в зависимости !9Х ПОВЕРХНОСТИ, РЕАЛИЗУЮЩИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ П'Л. 4 от четности р. Более точно, если р четно, то »Ге — П С (З(у))С(З()Г))г, у~Зр1п(2р+1), С" *( — 1) э С; если р нечетно, то Р(Р Ь П Е'=(3(р))Е'(8(У))г, Е'" ( — 1) ) Е'.
В силу предположений нашей леммы представление С' З сохраняет либо кососимметрический инвариант С (если р четно), либо кососимметрический инвариант Е' (если р нечетно). Итак, в обоих случаях подгруппа Зр1п(2р+1) содержится в подгруппе Зр(2») = ЗО(2») П Зр (2»; Ж), откуда Зр1п (2р+ 1)с ЗО(2») П Зр(2») = = У(2»-'), т.
е. мы получилиточноепредставление Зрш(2р+1) в У(2»п), что невозможно. Лемма доказана. Лемма 222.13. Пусть р=*~1+)ои,п~, ррах 4. Лргдполоясш » 1» — 11 Й~+ 1) что ~» 1 четно, если р четно, и что ~~~ ~~ ) черно, если . ' нечетко. Тогда в группе Зр (2п) не существует вполне геодези ской сферы Зг». Доказательство аналогично предыдущему, Доказательство теоремы 22.1.1 (А), (1). Нам осталось доказать, что нетривиальный элемент х енп,(у') ®(ч, не пропорциональный никакому х,„, 1 ч-ач-й, ие может быт~ реализован вполне геодезической сферой.
Допустим противное. пусть в У' содержится вполне геодезическая сфера Зэ», где р) й+ 1. Вложив пространство У' как вполне геодезическое подмиогообразие в группу З(3(2п)(картановская модель), получаем в группе З()(2п) вполне геодезическую сферу 3'Р. В силу леммы 22.2.9 возникает точное представление группы Зр)п (2р+1). С другой стороны, 2п~ 2» (см. (75]), т. е. 2"")2п~2»~2"'~, что невозможно, Доказательство теоремы 22.1.1 (А), (6). Рассмотрим многообразие Й1 (2"") и построим вложение й 12, (2"') -~ И, (2'" (-п'), где и' = 2е. Для этого нужно фиксировать в группе ЗО(п') комплексную структуру !; н положить 1(у) =дЯ1;, уе= 1),(2'"').
Так как 11,(2""+п')=ЗО(2п)/У(п), п=2'+е, то мы построили вложение ЗО (2"")/У (2") -~ ЗО (2п)/У (и), где 2'» п ..2""'. Вложение 01 (2А т)-~-Я,(2п) индуцирует изоморфизм гомотопических групп при (ч= 2'+' — 4. Итак, в пространстве 'У'=ЗО (2п)/У (п), где 2А-А ч= п ч- 2" (мы заменили й на й — 1), й ~ 4, вполне геодезическими сферами реализованы следующие элементы группы и (У')®Я (см. лемму 22.2.2): а) х„хм хм, ..., х,~ ~», ймчО(пюд4)1 б) хг, х„хщ, ..., х,~ ~~, йнн1(пюд 4); в) хм хм хм, ..., хы э, йнн2(шод4); г) хе, хг, х„, ..., хы), й — З(шод 41. 193 тсогямх кллссиэиклпии Рассмотрим картановскую модель пространства Р в группе БО(2п).
Тогда, если допустить существование в Р вполне геодезической сферы 5'», р ~ я+ 1, то она переходит во вполне геодезическую сферу в Ю(2п). Так как р=»А+1)Б, то в силу леммы 22.2.9 существует вложение Бр!и (2р -1- 1) — БО (2л), а тогда 2»'-'(2»(2п, что невозможно. В случаях а), в), г) теорема доказана, Осталось рассмотреть случай б). Здесь неясен вопрос с образующей х,„. Предположим, что в пространстве Р содержится вполне геодезическая сфера 5'"; тогда мы получаем вполне геодезнческую сферу 5'" в Ю(2л), что невозможно по лемме 22.2.12.
Доказательство теоремы 22.1.! (А), (б). Рассмотрим многообразие й» (2""') = У (2»)!Бр (2'), й ~ 5. Оно содержит вполне геодезическое подмногообразие Я„' (2"") = БС (2»)!Бр (2"), и все вполне геодезические сферы из леммы 22.2.3 при зр ! содержатся в этом подмногообразни. Легко строится вполне геодезическое вложение й 1)»'(2»")-«-й„'(4л)=Б()(2п))Бр(2а), где 4л ' = 2""+ л', и' = 4«. Фактическую реализацию мы осуществляем помощью леммы 22,2.3. Далее, из леммы 22.2,9 следует, что пространстве Р не существует вполне геодезической сферы 5»», где р=й+!. Тем самым, теорема доказана в случае, когда й цй 0 (той 4). В этом же последнем случае неясен вопрос с образующей х,»«о Предположим, что в пространстве Р=Б()(2л)/Бр(2л) содер,жится вполне геодезическая сфера 5'»+'. Рассмотрим картановскую .модель У ~ Б() (2п) и сдвинем сферу 5'"" так, чтобы она проходила через единицу е.
Обозначим через 5«» ~ 5'"" вполне геодезический экватор в 5"+', т. е. совокупность точек (у ~ — )~, 1эл' где у (0) = е, у (1) = л»', я, — точка, «диаметрально противоположная» точке е. Тогда для.любой точки а ~5»» имеем д»=л», и в силу леммы 19.3 все такие точки принадлежат одному классу смежности по подгруппе Бр(2п), т. е. мы получаем вполне геодезическую сферу 5»» в группе 5р(2л). В силу леммы 22.2.13 это невозможно. Доказательство пунктов (2), (3), (4), (7) теоремы 22.1.1 (А) во многом аналогично разобранным выше случаям (1), (б), (б), и мы не будем приводить его здесь во всех подробностях. Вторая часть (Б) теоремы 22.1.1 доказана применением такой же техники и приемов в 1591. Теорема 22.1.1 доказана. Интересно отметить, что функция )~(л), построенная нами выше н, как было показано, самым непосредственным образом связанная с максимальным числом линейно независимых векторных полей на сферах.
является «универсальной» для любого компактного неприводимого симметрического пространства, несмотря на большие алгебраические различия между пространствами типа 1 и прост ранствами типа П. я. г, Фо«е««о — мэ Глава д ЯАРИАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ Я НЕКОТОРЫХ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ Я 23. Периодичность Ботта с точки зрения многомерного функционала Днрихле 23,1.
Явное описание изоморфизма периодичности Ботта для унитарной группы. Особенный интерес представляет изучение многомерных функционалов (например, функционала Днрихле и функционала объема) на функциональных пространствах отображений гладких многообразий в компактные группы Ли и симметрические пространства, Так, например, в настоящем параграфе будет показано, что известная периодичность Ботта для групп У(п) (соответственно О(п), Ьр (и)) наиболее естественным образом возникает при рассмотрении стационарных (критических) точек функционала Дирихле на пространстве П(0', 0(п)).отображений двумерного диска 0' с фиксированной и достаточно симметричной границей (соответствеино П(0', 0(п)), П(0', 8р(п))) в группу, что позволяет получать соответствующий изоморфизм периодичности не в несколько приемов, как это обычно делается, а в чодин шага.
При этом оказывается, что периодичность Ботта' «оседает» иа многообразие абсолютных минимумов многомерного функционала Дирихле. Сначала мы опишем периодичность Ботта в удобном для нас виде. Рассмотрим унитарную группу Я/(2т) и через П (Я)(2пг); Е,, — Е, ) (где Е ~Я.)(2т) †тождественн преобразование) обозначим пространство кусочно-гладких путей, идущих из точки Е,„ в точку — Е,; через П' (Я/(2т); Еэ, — Е, ) обозначим полное пространство всех непрерывных путей из точки Е, в точку — Е~ , 'тогда вложение П-эй' является гомотопической эквивалентностью (см.
((1). В пространстве И'(Я)(2гп); Е,, — Е, ) рассмотрим подпро. странство Й, образованное всеми минимальными геодезическими, идущими из Е, в — Е,„; хорошо известно (см. 33 21, 22), что Й гомеоморфно многообразию 6$, (комплексное многообразие Грассмана). Кроме того, естественное вложение 6гг, -«Я (Я) (2т); Е,, — Е, ) -~- Я~ (Я) (2т); Е,, — Е, ) индуцирует изоморфизм гомотопических групп в размерностях„не превосходящих 2т (см. (Ц). С другой стороны, из стандартного расслоения У (гп) -~ У,„,„,-ь.
— 6~~„, следует, что граничный оператор д: п~(6~~„, )-~-п~,(У(т)) является изоморфизмом при всех (~2гп. Окончательно, комбннн- пеРиОдичнОсть еоттА руя эти два изоморфизма, мы и получаем изоморфизм периодичности: л~ 1(У(т))~ф л~[бэс„,„) —,л~[ИР(ЯЗ(2т); Е,, — Еэ,)]~м ~ л„, (Я) (2т)). Выпишем в явном виде эту цепочку изоморфнзмов.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
