А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 48
Текст из файла (страница 48)
Доказательство. Рассмотрим в группе Я)(2т) двумерную сферу Б,=1 „„, ~, [1~~, ~а,*+~й~-1. Одна нз полусфер, а именно полусфера'[) ) О, совпадает с диском О,', вложение которого в группу Я1(2т) было осуществлено выше. Экватором [) =0 сферы Б,' является окружность Б»». Поскольку вложение сферы Б»-~ Я1(2т) продолжается до мономорфнзма ЯЗ(2)- Б1.1(2т), то очевидно, что сфера Б1 является геодезическим подмногообразием в группе Я1(2т) и тем более локально мнннмальным. Следовательно, и диск О,' является вполне геодезическим подмногообразием в БУ(2т).
Рассмотрим множество %" вполне геодезических дисков 0' (х) с: ЯЗ (2т), имеющих внд О'(х) хО,'рг', где х~Б()(2т) н хзх-'нчз прн любом зеиБ,'. Л е м м а 23.3:1. Множество %" гомеоморфно лространву У( ). Доказательство. Пусть 0'(х)~%7', тогда хе=ах для любого в~Б». Так как Б„' [аЕ ®нЕ„), то отсюда следует, что х=А®0, где А, Оеар(т), т.
е. х=(Е„ВОА-') (АВА) = = х, (А Я А), х,=Е Я)ОА-'. Поскольку (А Я А).й=й (А~А) прн любом й ~ 0„' н прн любом А ы У(т), то имеем О~(х)=0~(х1)=~ ~,, е ~, С=ОА ~. Так как [)~0, то этим условием матрица С определяется однозначно. Итак, каждому диску О'(х) мы сопоставили элемент Си енУ(т), С=С[0'(х)1. Пусть С[0'(х)1=С[0~(х')]; тогда очевидно, что х' х-' ~ (А»+) А), а потому диски 0'(х) н 0'(х') совпадают. Обратно, если СажУ(т), то С=С[0'(х)1, гдех=Е ®С, т.
е. построенное нами соответствие 0'(х)-»-С[0»(х)1 н является требуемым гомеоморфнзмом между множеством (Р" и просгран. ством У(т). Лемма доказана. з00 вхгияцнонные методы в топологичкских злдхчлх ил. з Построим вложение й У(т)-~.П;, Пусть у~ У(т); тогда по этому элементу однозначно строится диск причем если Е1Фдм то 0'(Е,„Яд1)ПР'(Е„Яйэ)=51. Пусть 1э: 0'- 0,', есть фиксированное выше отображение се=д ° 1", (е(з ме 1,: 5'-ь.5,',. Положим 1(п)(я)=(Е Яд) 1,($) (Е (х)д-'), где 3ен0'. Ясно, что Е я 1(п) есть искомое вложение У(т)-+П;, Из леммы 23.3.1 следует, что множество отображений ((Р(т)) с: с: П,' совпадает с множеством отображений вида (Ад„° (э), где элемент х пробегает всю группу б=(АД+А) с:()(2т), О~У(т), т.
е. множество 1(У(т)) является орбитой точки 1е~ П,' при присоединенном действии группы 6 на множестве отображений П,. Лемма 23.3.2. Гомоморфизм Ц (1„),: п,(Р(т))-~-п„в(Я)(2т)) совпадает с иззморфизмом периодичности. Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ): 5' -~- У (т), 1 ев Щ ы и, (() (т)), о ~ 5'. Тогда ((Ц,)„(1,),1())(о)= () (О'1Е Я)(о)1)=~~ абаз~ Из пункта 23.1 и из теории Морса (см.
[1)) немедленно следует, что гомоморфизм р, ° (1,), есть в точности изоморфизм периодичности, если з ( 2т. Поскольку Ц является изоморфизмом в любой размерности, то отсюда следует, что гомоморфизм (1,),: и, (У (т)) -+. и, (Пэ) тоже является изоморфизмом при зч-2т, а потому 2т-мерный остов пространства П, гомотопически эквивалентен 2т-мерному остову пространства 1(У(т)). Лемма доказана. Итак, вложение Е У(т)-~П, удовлетворяет всем необходимым требованиям. Осталось показать, что ((У(т))=(Р'. Рассмотрим евклидово пространство )сэ"", отвечающее комплексному пространству 64 ' всех матриц (2тх2т) с формой ~р (А, В) = йе 5рпг (АВ"). Тогда группа 8(1 (2т) (как мы уже отмечали выше) изометрично вкладывается в сферу 5'"'-' радиуса 'К'2т как гладкое подмногообразие, на котором евклидова метрика индуцирует специальную биинвариантную риманову метрику на группе 5() (2т).
Поэтому многие метрические соотношения в группе 3()(2т) выгодно рассматривать с точки зрения объемлющей сферы 5з '-'. Извлечем первое следствие из этого замечания. Так, например, в группе Я)(2т) не существует бесконечно малых вариаций диска О,', оставляющих границу 5,' д0,' неподвижной и таких, чтобы возмущенный диск 0„* был бы минимальным диском в группе Я)(2т), но не вполне геодезическим. В самом деле, пусть такая вариация существует. Заметим, что окружность 5„'с5П(2т)с5а""-' является окружностью боль шого круга в сфере 5' ' ', а диск 0„* является центральным пвоиодичность аотта плоским сечением объемлющей сферы трехмерной плоскостью через начало координат в Р '. Так как диск 0„' не является вполне геодезическим в группе Я)(2т), то он не вполне геодезический и в сфере 5в * †', т.
е. он не получается нз диска О« путем поворота вокруг окружности 5,', а тогда очевидно, что его площадь строго больше площади диска 0„' (в линейном приближении), т. е. 6(чо!,) ) О и диск О,; "не является минимальным диском, что противоречит предположению. Итак, вариация любого диска 0'(х) ~ (У" (неподвижная на его граничной окружности) либо оставляет диск 0'(х) вполне геодезическим в группе, н тогда она сводится к повороту диска вокруг окружности 5,', либо разрушает его минимальность (и тем более полную геодезичность). Лемма 23.3.3.
Верно соотношение 1(У(пт)) с: Ф'. Доказательство. Поскольку каждое отображение 1ен ен1(У(пт)) имеет вид 1=Ай„(в, х ы б, то достаточно проверить, что точка 1, является точной абсолютного минимума для функционала Дирихле. Так как Я.1(2т) с= 5'""-' и О,'есть центральное плоское сечение сферы 5'""-', то 1, есть точка абсолютного минимума для функционала чо1„а так как любой минимальный вектор является и гармоническим, то 1« — критическая точка и для функционала Дирихле (впрочем, обобщенная гармоничность отображения 1в очевидна из конструкции 1«), Так как всегда чо1,[Я~0[1], то ясно, что 1, есть точка абсолютного минимума для функционала Дирихле.
Лемма доказана. Лемма 23.3,4. Верно соотношение 1(У(пт)):з(У', а поэтому 1(У(т))=%', где Ж' — множество точек абсолютного минимума для функционала Дирихле. Доказательство. Пусть т': Ое- Я)(2т), [~в яв1, есть точка абсолютного минимума функционала О. Из леммы 23.3.3 вытекает, что значение 0 в точках абсолютного минимума равно 0 [1«] и что это значение равно чо1, [1в]. Так как чо!,[Д ~ ОЩ = 0 [1,] г чо), [1в], то чо1, [1] = чо), [1«], но поскольку это соотношение можно рассматривать в метрике сферы 5в *-', то очевидно, что чо!,Щ=чо1,[1«], а тогда 1(0') с:5в"'*-' является плоским центральным сечением; кроме того, отображение 1 гармонично.
Продолжим вполне геодезический диск 1(0') до сферы 5в, являющейся вполне геодезической в сфере 5' *- ' (н подавно в группе Я)(2т)). Мы получили в Я)(2нт) две вполне геодезические сферы 5,* и 5е, причем 5,', П 5' ':з 51 ~ Е, . Минимальными подгруппами, содержащими сферы 51 и 5", являются подгруппы б, и б„изоморфные группе 5() (2).
Вложения а,: б, — Я) (2тп), а,: б,-~ -«-Я3(2пт) определяют два точных представления группы Я) (2) в группу Я)(2т). Так как ранг Я)(2)=1, то можно считать, что окружность 5„' является образом одномерного тора Т' 5' с.-, с: 5() (2), причем 5,', с: Т'" ', где Т™1 — максимальный тор в группе Я)(2т). Так как два представления 1т и 1, совпадают вой вл»иационныв мвтоды в топологичяских задачлк ~гл.з на торе Т', то они эквивалентны, т. е. существует элемент хек ыЗО(2т) такой, что 1«Ад, 1». Две сферы 5,' и х5'х-', вложенные в группу бы можно совместить еще одним внутренним автоморфизмом Аб„; тогда в сфере 5, 'мы получаем две геодезические 5,' и х,х5,'х-'х,'. Значит, существует элемент х, ~ 6~ такой, что 5«'жх»х«х5,'.г'х х~', и, следовательно, автоморфизм Ад„, где у х,х,х, переводит отображение 1 в отображение 1„оставляя на месте окружность 5,', т.
е. 1ен1(У(т)). Лемма доказана, Тем самым, доказательство теоремы 23.3.1 закончено. Отметим, что все точки множества вг являются не просто минимальными для функционалов площади и Дирихле, но даже «вполне геодезическими» точками. Это обстоятельство имело место и в одномерном случае, ио там минимальность какой-либо траектории автоматически влечет за собой ее геодезичность; в двумерном же случае из минимальности диска вовсе не следует его полная геодезичиость.
Более того, единственными вполне геодезическими дисками О» с границей 5,' являются диски множества У'. Иными словами, если ген П„' является критической точкой для функционала Днрихле и если, кроме того, 1(0») — вполне геодезический диск, то 1ен %'. 23.4. Теорема периодичности для ортогональной группы основана на восьмнмернык экстремаляя функционала Дирихле. Рассмотрим евклидово пространство вещественных матриц (р х р) — Р»', ф(А, В)=5рпг(А.Вг). Тогда группа 50(р) изометрично вкладывается в сферу 5»'-' радиуса к' р как гладкое подмногообразие, на котором объемлющая евклидова метрика у(А, В) индуцирует двусторонне инвариантную риманову метрику. Алгебра Ли зо(р) группы $0(р) вложена в Р" как линейное подпространство матриц Х, Хг= — Х, и пересечение во(р) ПЗО(р) является компактным симметрическим пространством 30(р)/У(р12), если р четно.
Обозначим зо(р)П50(р) через Я,(р); тогда очевидно, что»«,(р) состоит в точности из тех элементов йы80(р), для которых й« = — Е, т. е. й,(р) является множеством комплексных структур в группе 50(р) (см. Щ). Положим теперь р= )бг; тогда в группе существуют 8 анти- коммутирующих комплексных структур, которые мы обозначим через 1м 1», ..., 1«, 1)= — Е; 1,1»+1„1, О, АФз. Все векторы 1, () ~зч-8) лежат в плоскости зо(16г), и в силу условия антикоммутативиости все они попарно ортогоиальны.
Кроме того, каждый вектор 1, ортогонален вектору Еен30(16г), поэтому сфера 51= (хаю 50(16г) ~ х =п«Е+а'1,+...+а«1«; (а»)»+(а')»+... .„+(а»)»=1) является плоским сечением сферы 5«(где д =266㻠— 1), проходящим через начало координат, и, следовательно, вполне геодезична в сфере 5«и в 50(16г) с= 5«. Ясно, что 5«Пзо(16г)=5«() Й,()бг) =5,', где 5,' — вполне геодезический экватор а' О. Фиксируем в группе $0()бг) вполне геодеаичв- гея пкэнодичндсть зоттк скую сферу 5~о (х аеЕ+атух+ +ач[ч, (ач)з 1 1 (ач)е 1).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
