А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 43
Текст из файла (страница 43)
Итак, группа 5, реализована в группе Ац1 (зо(8)) как подгруппа, порожденная элементами й и ы. Хорошо кзвестно, что ь|(БО(8))*=ХО+У, (см. [74)). Выясним, какие элементы хенн,(БО(8)) допускают реализацию с помощью вполне геодезических подмногообразий типа Ч),ц. Обозначим через е, и ез образующие группы п~(Бр!п(8)), а через е — образующую группы пг(В'). Тогда можно считать, что в точной последовательности па(В')-~пт(Бр!п(7)) — "п,(Бр!п(8)) !'-п,(Г)-ь.О выполнены следующие соотношения: ), (е~) =е, !, (е') =вы где э <и КОЦИКЛЫ. РЕАЛИЭУЮЩИЕСЯ СФЕРАМИ !?З е' — образующая «руппы п,(8р!п(7)) Е. Так как пв(В') Я„то точная последовательность приобретает вид О-~ Е-~ЕЩЕ-»л,-~-О (то, что пь($р!п(7))<=О, см.
Или в 1?41, илн в !91!). Рассмотрим в группе Бр(п (8) тр!1 вполне геодезические сферы 3»', 5'„Я»! они определяют элементы у, а, 8 соответственно, принадлежащие п»(8р!п(8)). Ясно, что у — это характеристический класс стандартного расслоения Бр!п(8)-~.$р!п(9) » В». Обозначим через Н, автоморфизм группы У. О+ Е, порожденный автоморфизмом Н, Предложение 21.5.1. Любая вполне геодезическая сФера В'~Бр!п(8) может бьипь совмещена при помощи внутреннего овтоморфизма группы 8р!п(8) с одной из следующих трех сФер: о<, В(, В<.
Кроме того, Н, (а) = — !), Н, (!») у, Н, (у) = — а и у а в (1, причем никакие два элемента из элементов а, 8, у не пропорциональны. Доказательство. Пусть 1/ — произвольное вполне геодезическое подмногообразие в Вр!п(8) типа '0,11; тогда подпространство В=Т,()?) определяет ннзолютивный автоморфизм 6, а потому 3 сопряжен каноническому автоморфнзму З», соответствующему вложению плоскости В,.
Тогда Р днффеоморфно Б' и Вь=р(В), где ря Ап((зо(8)). Рассмотрим автоморфизм ь»(Х) = =( — Е»9Е») Х ( — Е»9Е»), Халес(8)! ясно, что )! и ь» порождают с помощью группы 1п!(Ео(8)) всю группу Ап((зо(8)). Так как ю не меняет ориентацию сферы В„', то <существенным» действием обладает только й, что и доказывает первое утверждение. Легко показать, далее, что Н„(а) = — (1, Н„(8) = у, Н, (у) = =-а. Если д~п,(8р!п(8)),той= ре,+фе»и („(4=~ре. Из явного' вида сфер В, 'и В» следует, что 1,(а) е, 1,((!)= — е, а так как у — характеристический класс, то 1„(у) 2е (см. 180!). Отсюда следует, что а е,+хе„()= — е,+ус„у=2е,+ге,; х, у, Е~Х.
Пусть автоморфизм Н, представляется в базисе (е», е») целочисленной матрицей ! ~'! тогда иэ условия Н„=?, Н„чь? слез !(и в ~,,' а»+и+1 дует, что и чь О, о = — (1+ т), р = — „. Так как Нч(е,+хе,) е,— уе,, Н„( — е,+уе») 2е,+ге,, Н„(2е,+ге,) = = — е,— хе», то отсюда следует, что х=у+г, т. е. у а — (3. Предположим теперь, что у=2а; тогда, применяя Н„получаем а = 28, что невозможно. Аналогично доказывается, что никакие два из элементов а, (1, у не пропорциональны.
Следствие 21.5.1. Любое вполне геодезическое подмногообразие типа Ч)<П в группе 80(8) может быть совмещено при помощи внутреннего автоморфизмо группы 30(8) либо с подмногооброзием 1!Р"=п(В»), либо со сферами п(В,'), п(В',), причем у а-р и никакие дга 'из трех элементов а, (1, у не пропорциональны. Так как п»(8О(8)) и»(8р!п(8)) при й)1, то соответствующие элементы группы пь(80(8)) мы обоэначилй теми же самыми буквами, !ав повн»хности, »валнзиощиа нет»ивиальныа циклы [гл, э 21,6., Описание вполне геодезических сфер, реализующих нетривиальные (ко)циклы в когомологиях простых' групп Ли. Случай группы 81) (и).
Рассмотрим группу 80(п), )(~2; тогда нз предложения 21.3.1 следует, что когомологические образующие х„х„хг, ..., хы, кольца Н'(Я)(п); !с) реализуются вполпе геодезическими сферами, где й [1+ !ой, п~. Осталось доказать, что указанные элементы являются единственными элементами, допускающими такую реализацию. Доказательство теоремы 21.1.1 (пункт (1)). Пусть 5'»-' — вполне геодезическая сфера в группе Я5(п); тогда (см. теорему 18.1) в группе Я5(п) содержится подгруппа А(У), локально изоморфная группе Бр!п(2р), если р)2.
Докажем, что группа А(У) не может быть изоморфна ни группе 80(2р), ни группе РБО(2р) при р)4, В самом деле, допустим, что А(У)м80(2р); тогда 5'»-' порождает тройную систему В = Т,(5»»-'), соответствующую инволютнвному автоморфнзму 9, 0(В)= — В. Существует такой автоморфнзм р: зо(2р)-+.зо(2р), что рвр-'=Ц, где 6» — стандартный инволютнвный автоморфизм, определяющийся тройной системой Вм Поскольку р)4, то любой автоморфизм алгебры зо(2р) однозначно продолжается до некоторого автоморфнзма группы 80(2р); пусть р — такое продолжение. Тогда р(5»»-') =ехр В» = = !сР'»-', что невозможно.
Случай р 4 вытекает нз следствия 21.5.1. Если р) 4, то группа А (У) не может быть нзоморфна группе РБО (2р), так как в противном случае мы получили бы вполне геодезическую сферу в группе 80(2р). Пусть р=4; докажем, что А(5') не изоморфна РБО(8) = 80(8)/Е„где подгруппа Уз состоит нз элементов (Ем — Е,). Предположим, что А(5')жРБО(8); тогда одна из компонент прообраза г'(5') с= 80(8) (т — проекция 80(8) иа РБО(8)) является вполне геодезической сферой, а поэтому при помощи внутреннего автоморфизма р может быть переведена либо в сферу п(5,'), либо в сферу н(5!). Поскольку автоморфизм внутренний„то он порождает автоморфизм тр: РБО(8)-»-РБО(8), дифференциал которого переводит Т,(Г) либо в Вз, либо в Вэ', но тогда тр(У) ехрВ~ (! — либо 1, либо 2), где ехр берется в группе РБО(8). Рассмотрим в группе 80(8) сферы н(5)), ! 1, 2; очевидно, что элемент центра — Е, принадлежит обеим этим сферам (см.
пункт 21.5), поэтому тн(5!)ыЯР' ехрВ~ в группе РБО(8). Так как трдолжен переводить 5» в ехр Вь получаем противоречие. Отсюда сле'дует, что группа А (5'~ ') при р» 4 изоморфна либо группе Бр!и (2р), либо какой-нибудь из полуспинорных групп Бр1п;(2р). Напомним, что группа 80(8) может рассматриваться как полуспинорная группа (см.
пункт 21.5). Рассмотрим груйпу 8()(п), п~4, и пусть 5'~ тс= 8()(п), где р~й, т. е. р:'э»4. Тогда вложение А(5з 1)-»-Я3(п) порождает точное линейное представление С либо группы Бр!п(2р), либо группы Бр!п~(2р), причемразмерность этого представленпя равна и. Хкоциклы, эе»лизующиеся сеег»ми !а! Представление С~распадаетая в прямую сумму неприводимых представлений: С фС,. Предположим сначала, что А(5'г-') = =$р1п~(2р), тогда К(А(у))=Е» Хотя бы одно нз представлений С, является точным представлением группы $р!п~(2р).
Если бы это было не так, то каждое из представлений С, было бы точным представлением группы Р$0(2р), а тогда и все представление С было бы точным представлением группы Р$0!2р), что противоречит исходному предположению. В то же время известно (см. 173), 1771), что размерность неприводимого точного линейного представления группы $р!п~(2р) не меньше чем 2»-', откуда следует, что 2»-"~б!тС„~и, т. е. й =р(1+!ой»и, что противоречит выбору числа й. Итак, А (5ч'-») при р ~ 4 ие изоморфна $р(п,(2р), 1=1, 2. Предположим теперь, что А (5»»-') $р!п (2р); тогда возникаег точное линейное представление С группы $р!и (2р) размерности и. Раскладывая С в прямую сумму неприводимых представлений С„ получаем, что по крайней мере одно из представлений С,должно быть точным представлением либо группы $р(п(2р), либо какой- нибудь из групп $р!п~ (2р).
Отсюда снова получаем оценку 2»-' ~ л, что противоречит выбору числа л. Так как тем самым исчерпан запас локально изоморфных простых компактных групп типа 0ю р~4, то группа Я5(и) при р~4 не может содержать вполне геодезическую сферу 5»~ ', где р)й, т. е. при л)4 утверждение 1) теоремы 21.1.1.доказано. Доказательство для группы Я)(3) проводится элементарнымн средствами. 2!.7. Случай групп $0(л) и $р(2л). Теперь мы переходим к группам $О(л) и $р(2и). В этих двух случаях имеются резкие отличия от группы Я)(л). Так, например, элементы кольца Н' (З; Р), вполне .
геодезическая реализация которых уже установлена в предложениях 21.3.2 и 21.3,3, не исчерпывают все множество элементов, допускающих подобную реализацию. Обратимся снова к анализу унитарной периодичности Ботта. Рассмотрим сферу !»»»(5»» ') в группе $О(2» ') и выделим подгруппу А(5'"-'). Лемма 2!.7.1. Группа А(5'»-') изоморфна одной из иолусиинорныл групп $р!п,(2й), й~4. Отметим, что если й нечетно, то мы считаем, что группа $р!п~(2й) изоморфна группе $р(п(2й) (см. пункт 21.4). Доказательство.
Как и при доказательстве теоремы 21.!.! (!), получаем, что А(5'"-') изоморфна либо $р(п(2й), либо $р!п~(2Й), причем вложение А(5»»-')-»-Я)(2»-') порождает точное представление, которое неприводимо. Если й четно, то $р!п(2л) Не имеет точных иеприводимых представлений размерности 2»-х (см. 1751), а потому А(5'"-')ам $р!п~(2й). Если йнечетно,то сразу получаем А (5»»-') =з $р1п (2й) $р!п~ (2й). Лемма доказана. Появление подалгебры зо(2й) ~ за(2'-'), порожденной тройной системой В Т, (5»»-»), можно усмотреть и непосредственно. В 2 21 был указан базис Ам ..., А»»» такой, что А~А~+А~А~. — 2буЕ. !ЗЯ ПОВЕРХНОСТИ, РЕ»ЛИЗУЮ«ЦИЕ НЕТРИВИ»ЛЬНЫВ' ЦИКЛЫ !ГЛ. « Коммутант плоскости В натянут на базисные элементы 1-- А«А<1, !1 !Ф).
Очевидно, что подалгебра 1В, В1 'нзоморфна алгебре зо(2й — 1). Рассмотрим клнффордову алгебру С»».с базисом ем ..., е,» в пространстве Я»», н пусть она представлена спинорным образом в пространстве Я». Поскольку Т<(Ю») натянуто на простые бнвекторы (еу«„то достаточно задать спннорное представление алгебры зо(2й) только на бивекторах (е»»»), так как еу — е»»»ех»». В то же время е«,»» = — 1; поэтому ясно, что элементы А«, ..., А»»» являются образами элементов е»»» (! = 1„..., 2Й вЂ” 1) при полуспннорном представлении алгебры С»».
Следствие 21.7.1. Вполне геодезическая сфера !»» «(5»» ') с= с= 8 р)п, (2й) реализует образующую х»» ! еи Н' (8 р!п«(2я); м). Доказательство следует нз того факта, что отображенне ~»««. 5»»-'-Р8р!п<(2й) с= 8(1 (2»-') представляет образующую группы Е=п»»-»(8()(2 ')). Доказательство теоремы 21.1.1 (пункт (2)).
В) Рассмотрим Е 80(п) н предположим, что я=11+!од»к1 нечетно. Из предложения 21.3.2 следует, что элементы х», хп ..., х,», реализованы вполне геодезическими сферами. Допустим, что в 80(п) содержится вполне геодезическая сфера Я»»-', где рР >й — 1, Так как л- 8, то р~ 4. Тогда подгруппа А (5»Р-') нзоморфна либо 8р)п (2р), либо 8р(п«(2р) и вложение А (5»Р-') -«-80(л) порождает точное представление, откуда следует, что 2»-'~п, т. е. 2р — 1~1+2!од» и.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
