А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 41
Текст из файла (страница 41)
не являющихся группами Ли). 21.2. Вполне геодезические сферы, реализующие периодичность Вотта. Оказывается, что построение вполне геодезических сфер, реализующих нетривиальные коцнклы, тесно связано с известной периодичностью Ботта, которая, как оказывается, носит ярко выраженный «вполне геодезический характер» и, как выясняется (на основе проведенных выше исследований), непосредственно связана со спинорнымн представлениями ортогональной группы. Эта связь периодичности Ботта с экстремалямн многомерного функционала Дирихле позволяет, в частности, интерпретировать периодичность Ботта в терминах многомерных вариационных задач. Если обозначить через У прямой предел унитарных групп !Нп У (и), то, согласно теореме периодичности Ботта (см.
[11), имеют место изомоРфизмы п~ »(У) пна(У) пРи 1) 1, пРичем ,(У)=О, п,(У)=Х. Пусть ~с,. У-' -Р Я) (т) — непрерывное отображение, представляющее элемент 1 ы Х п~,(Я)(т)), где (1 — 1) нечетно. Выпишем в явном виде изоморфизм периодичности Ботта. Рассмотрим группу Я1(2), представив ее элементы матрицами р ~, где 1 а ~»+ ~ () ~» 1, и рассмотрим на сфере 5» двумерный диск 0', определяемый следующим условием: () ая 1«, ~))0. Вложим этот диск 0' в группу БУ(2т) следующим образом: р-»р®Е,„ 1 "' Рассмотрим множество точек п(п, а, ()) (Е 9~1-'«(и)) Ас х(р(а, ()) Я Е„) (Е„(В~~,(п)).
Ясно, что множество (я(п, а, ~))) является сферой У" с=БУ(2т), и можно показать, что соответствие У-'- У+' описывает изоморфизм периодичности. Подробное доказательство будет дано в $ 23. Итак, если ~~ «(и) ея 171 КОЦИКЛЫ, РЕАЛИЗУЮЩИЕСЯ СФЕРАМИ е»ц ен Я) (т), то /Ри(51~1)=(й(п, а, ())), где д(п, а, н) 1 Вместо вложения двумерного диска О» в группу можно рассмотреть вложение сферы 5»-»-Я/(2т); р ° рЯЕ„, где р= = р(а, ()), ~а!»+|1) ~»=1. Подмногообразие (р®Е„) является вполне геодезическим в группе Я)(2т). Так как сфера 51-1 с= с=ЯЗ(т) допускает вложение в Я/(2т) в виде множества элементов Е„(9/1 1(п), то получаем следующее представление для сферы 5'": 5"' (х 5'.г1), где хан 5"'-'~Я3(2т), т. е.
сфера 5'" получается при присоединенном действии сферы 51-1 на сферу 5'. Положим т=2 и за исходное отображение /»: 5'-» ЯЗ(2) возьмем стандартное отображение /»(и) 1 "1, где 'х!» + + ~у~» = 1. Применяя описанную выше процедуру, получаем отображение /,„,1. Р"+'- Я/(2»), представляющее элемент 1 ен я Е = п»»»1 ($Щ2»)). Лемма 21.2.1. Сфера /»»,1(5ь»»1) является вполне геодезическим подмногообраэием в группе Я3(2»), й)1. Доказательство.
Достаточно показать, что подпространство Т,(Р'") ~ зн (2») является тройной системой Ли и что 5'»"'=ехр Т,(Р"'). Обозначим 1)/»» 1(п) через я»» 1', тогда точки й ~ 5»»+1 имеют вид » ил»-1 в»» 1 ~ ~г ае» 1~' Если »»» 1=(й1~), то 1а1»+~~й1~~» 1 при любом /, 1~ ° 1 /.~ 2»-1 Представим а в виде 1а~е'Ф, и пусть х„х„..., х,» — вещественные параметры, описывающие сферу 5'"-'. Введем на сфере 5"+' в окрестности матрицы Е,» координаты (ф, х„..., х»») и выберем в подпространстве Т,(5'»") базис (А1, ..., А»»»1), где А1 у-1, А1=-- — ~, 2Ф-"1Ф„=2Й+1. дя! дя в 1»' дх», »' Докажем, что А1= — Е,» и А1А1+АгА»=0 при 1'чь/, 1~1, /(2я+1.
Пусть й 1. Тогда утверждение очевидно. Допустим, что оно доказано для сферы 5»»-1. Обозначим соответствующие ей базисные векторы через фф..., С,„,. Тогда векторы Аь 1Ф~1~2й+1, имеют следующий вид: 1"»й»1 О ~ ~ О Е»1~ А1-'„' о -1Р, А, - ' — Р. о »-1 ' (»-1 1О с,1 А»н =;~с о,! г 172 повеРХНОсти, РеАЛИЗЕЮ[ЦИЕ НЕТРИВИАЛьнЫЕ ЦИКЛЫ [ГЛ. 4 Непосредственной проверкой убеждаемся, что А[Ау+ А[А[ = = — 26ЕЕ,А. Отсюда следует, что ЦАИ А[1, А[1 О, если 1~1, [чь1, и ([АН А[1, А[= — 4А[, т. е. Т,(5'"") — тройная система Ли.
Тот факт, что 5гь+'=ехр Т,(5""), проверяется прямым вычислением. Лемма доказана. 21.3. Реализация злемеитов.гомотопических групп компактных групп Ли вполне геодезическими сферами. Рассмотрим комплексное пространство $" матриц (пхп) и превратим его в зрмитово , пространство путем введения метрики [ь(А, В)=йе8рпг(АВ'), В*= Вг. Тогда унитарная группа изображается как гладкое подмногообразие в сфере 5гь ' радиуса )Гп, причем на подмногообразии У(п) объемлющая зрмитова метрика индуцирует специальную риманову метрику, инвариантную относительно правых и левых сдвигов.
Это простое наблюдение оказывается чрезвычайно полезным при изучении зкстремалей многомерного функционала Дирихле на подмногообразиях в компактных группах Ли. Рассмотрим пересечение И(п) Пи(п). Так как атому пересечению принадлежат те и только те элементы а, для которых яь = = — Е„, то У(п)()и(п) ([Е„)()( — 1Е,)()( Д б,";~). Если же рас'„[ смотреть пересечение Я)(2т) Пзц(2т), то оно состоит из одного многообразия б, Если Х ен Т,(5'""), то любая точка сферы ь!В[я! 5гь+' представима в виде соз»х» Еь+, ' Х; в частности, а 1х! Х ехр ( — Х). Отсюда следует, что вполне геодезическая сфера 5'ь" пересекается с алгеброй Ли зп(2А) по своему вполне геодезическому экватору 5'" с= б~ь,ь-н и зта 2я-мерная сфера вполне геодезнчна в подмногообразии ф,ь-ь Сфера 5гь+' является пересечением Я)(2А)ППы„, где плоскость П,ь+, в пространстве С"' натянута на векторы (матрицы) Е,ь Ам ", Аы+г.
Предложение 21.3.1. Пусть Е=У1(п), п)2, и пусть е =11+ 1оя, л). Рассмотрим стабиеьные гомотопические группы пь[~ > ь([Г)), где Оь р~й — 2. Тогда в ятих группах следующие вееменпие реализуются вполне геодезическими сферами: (1, 2, 3..., 2Р» ей Пь[„Р, [((Э). Доказательство. Рассмотрим в группе Я)(п) подгруппу Я)(2' '), вложенную стандартным образом: (Е„,ь-1) [+[(д». Вложение Я[(2Е-ь) -ь Я[(п) индуцирует изоморфизм (2й — 1).-мерных гомотопических групп, что дает нам в группе Я[(п) вполне геодезическую сферу 5'~', реализующую злемент 1 (р=О).
Рассмотрим два вложения группы Я) (2"-') в группу Я3(2'-'): 1[М)=Е,ь-г®Ф [эМ)=дЮЕ,ь-э Тогда вложение [[дает вполне э ЗП 1 коциклы. РЯАлизующиеся сФЯРАми 1тз геодезическую сферу 5»»-ь, реализующую элемент 1 ее пк»» х х (Я1(п)) (тот же самый элемент реализуется и при вложении 1»). Рассмотрим вложение 1(х) 1»(х)О)1»(х)=1»(х) 1,(х); х ен 5»»-ь.
Ясно, что, отображение 1 определяет элемент [1»)+[1»), так что вложение 1: ' 8»»-ь-~Я)(2»-») с= Я)(п) дает вполне геодезическую сферу 8»»-э, реализующую элемент 2 ее и»»» (Я) (п)). Аналогично возникают вложения 1„..., 1,р группы Я:(2'-Р-') в группу 815 (2"-'), причем [1») ... = [1,р) = 1 ы пи„ю, н [1»...1»)»»(э) ее и»» р, »(81)(п)). Предложение доказано. Предложение 21.3.2, Пусть З=Ю(п), п)8, и й = [1ой»п). Рассмотрим стабильные гомотопические группы, т. е.
группы и, (5), где зр 2(й — р) — 1, 0»ар»=.й — 2. Тогда в моих группах следующие элементы реализуются вполне геодезическими сФерами: (1) (1, 2, 3, 4, ..., 2Р) ен Е, если зр~ 3(»под 8); (2) )2, 4, 6, 8, ..., 2Р»») ~ Е, если вр»»» 7(»под 8)~ (3),1) ~Е,, если и» (2й — 1)~1(пкод8); (4) если зр~5(гпод8), то и, (9)=0.
Доказательство. Рассмотрим в группе Ю(п) стандартно вложенную подгруппу 80 (2') и рассмотрим вложение 1: 81) (2'-') -+. -»-Ю(2'), 1(А+1В) ~ и, ~. При вложении 80(2')-+ 80(п) индуцируется гомоморфнэм гомотопических групп, являющийся изоморфизмом при 1»- 2» — 2, п) 8, поэтому задача целиком сводится к изучению гомоморфизма 1». Пусть 1: У(г)-~80(2г)— вложение; тогда возникает расслоейие У(г)-+ 80(2г)-».Р„, где через Р», обозначено многообразие, диффеоморфное подмногообразию всех комплексных структур в 80(2г), т. е.
всех таких элементов д~ Ю(2г), что у»= — Е (см. [1)). Известно, что п~(Р» )=пи»(Ю(2г)) при 1»=2г — 4. Иэ точной гомотопнческой последовательности этого расслоения получаем: а) пьк»(У(г))-Рп „+,(80(2г)), 1»(1)=1, Е'- Е;. б) и»„+» (У (г)) -». п,„„(80 (2г)), [» (1) 1, Е -+ Е; в) и»»»» (У (г))» и»»+» (Ю (2г)) /» (1) =О, Е-+'0' г) п»»ю (У (г))»к»,ю (Ю (2г)), 1» (1) 2, Е ~ Е. Положим г 2"-'; тогда 2й — 1 ( 2г — 4 при й ) 4, т. е. в этом случае утверждение следует из предложения 21.3.1. Если й 3, то гомоморфизм (1»)» не стабилен, но группа п»(80(8)) еще стабильна, а потому равна нулю.
Предложение полностью доказано. Предложение 21.3.3. Пусть 1$8р(2п), п~б, и пусть й' [1+ 1од» и). Рассмотрим апабильные гомотопи»еское группы и» ((Э), где э 2(й-р) — 1, 0» р~й — 2. Тогда в этик группах следующие элементы реализуются вполне геодезическими сферами: (1) (1, 2, 3, 4, ..., 2Р» и Е, если ар~ 7(гаок(8); 174 пОВеРхности. РВАлизгюшие нетРиВиАльные Йиклы и'л. 4 (2) (2, 4, 6, 8, ..., 2Р+') ~ Е, если Ее~ 3(щи 8); / (3) (Ц е~ь», если э»=(2й — 1) — 5(гпо4(8) и;п~8; (4) если з ~ 1(тоб8), то и, (9) =О. Доказательство, Рассмотрим вложение/: У(п)-» Бр(2п), где Зр(2п) реализована как подгруппа в 30(2п), состоящая из таких элементов х, что хl ед, !=11, О1. Ясно, что!(У(п)) О Е1 = 50(2п) ПБр(2п). Задача сводится к вычислению гомоморфиэма у»: и, (У(п))-»п, (Бр(2п)).
Так как хг=(х для любого хы ы~((7(п)), то кватерннонный автоморфизм х переводит в себя собственные подпространства оператора 1, а потому возникает расслоение У(п)-» 3р(2п)-~К,„(см. 111). Из точной гомотопической последовательности этого расслоения легко получить: а) п,„„,(У(п))-~п»„+,(Бр(2п)), 1» (1) =О, У,-» 0; б) п,„„(У(п))- и»„+4(Зр(2п)), 1',(1)=2, Х- У,; в) п»„»4(У(п))».п, »4(Бр(2п)), 1,(1)=1, Е-4-Е;, г) п~„~, (У (и)) п~~,(Ьр (2п)), 1» (1) = 1, 2:-4" Е Если и= 10, то 2й — 1(п — 3, и поэтому утверждение следует из предложения 21,3.1.
Если п=9, то гомоморфизм /» нестабилен в размерности 7. Но при п)6 гомоморфизм 1» стабилен в размерности 3, т. е. в группе п»(8р(2п)), б~п с.10, и мы по-прежнему получаем требуемую реализацию. При в=8, 9 имеем 5:~п — 3, т. е. в группах Ьр(16) и Бр(18) получаем требуемые реализации. Рассмотрим коммутативную диаграмму: ещз) — '- зр(%) — ' — » зй16) $0(1в) где 1»14 = 1414, н пусть 14».
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
