А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 47
Текст из файла (страница 47)
Пусть [»,. У-'-»У(т) — непрерывное отображение, представляющее класс Щыл 1(У(т)); построим по этому отображению ~м1. У+'-»Я)(2т). Представим группу Я)(2) как группу матриц ',р), где р ~ Р 1, ~а)'+)~," 1, и выделим в группе Я)(2) двумерный диск '1)' следующим условием: рея'0', [) ~Я, й)0. Вложим этот диск 'А1' в группу Я)(2т) следующим образом: ~'-ВЕ. нЕ.1' затем на диске '0' рассмотрим кривую 'у(й) (р(а, р)(а (т, т ен "м, т ~ О); положим у (р) '(['у (й)).
Точки пространства бай, будем изображать инвариантнымн плоскостями, отвечающими собственному значению Х 1 операторов йт $'"-» ч;э", денЯ)(2т), и' — Е, . Тогда для точки уеду(й) мы имеем у'* — Е1, т. е. у([)) ябэ',„„„сЯЗ(2т) при 0<[)<1. Рассмотрим в многообразии баса,„множество элементов д следующего вида: у д(п, (т, Я=[Е Я~Т-'~(п)) [р((т, Я<3 Е 1 [Е 97~1(ОД, где и ен У-', ~~ 1(п) я У (т), При [) 1 мы получаем отображение сферы 5'-', задаваемое формулой и а при О ~р ( 1 множество (д(п, (т, ())) представляется в виде образа сферы У, причем (д(п, (т, ())) с()[,„„д5' 5'-' (где д: лр[бс2,ь „)-»л»,(У(т))).
Теперь рассмотрим множество точен (д(п, а, р)), где у(п, а, р) [Е Я~~' ~(о))[р(а, ())®Е„)х х [Е (Й)~»,(п)1. Тогда (н(п, а, р)) можно представить как образ сферы 5'" при некотором отображении 1м1. 5'+'-»(Е(о, а, р)) С: сЯ)(2т). Итак, если [Рт(п) енУ(т), то ~и,(5а') с%(2т) и иэ описанной выше конструкции, очевидно, следует, что соответствие ~~ 1-» и+1 и порождает искомый изоморфизм периодичности. Отметим, что аЕ,„Щ~, (а) 1 ~ — Р(1' ~ (() Е Волн т 2, то за исходное отображение 5: 5э- ЯЗ(2) можно взять тождественное отображение Гэ(о)=~ э[~', )л('+(у(' 1; уэ 196 вхэихциоииыа матоды в топологичвских злдичхх ~гл, « тогда 11»]=! ~п»(Я)(2)). Переходя теперь к и= 2', 2*, 2', ..., получаем отображения )«»„.
5»»+» -«'- Я) (2'), где (/»»„Д = 1 ен евп»»„(Я.)(2»)), 1~1, 23.2, Унитарная периодичность и одномерные функционалы. Заметим, что при описанном выше обычном подходе изоморфизм унитарной периодичности распадается в композицию двух изо. морфизмов, каждый из которых повышает размерность сферы (и, следовательно, гомотопической группы) на единицу. Тот факт, что требуемое повышение размерности сферы на 2 получается в результате выполнения этих двух шагов, соответствует методике обычного доказательства теоремы периодичности, при котором используется одномерный функционал действия и одномерный функционал длины, определенные на функциональном пространстве отображений отрезка (одномерного диска) О'.
Рассмотрим этот процесс более подробно. Пусть фиксирован диск 0', где дР' = 5' (нульмерная сфера, двоеточие); тогда П'(Я)(2лт); Е,, — Е» ) = П, есть пространство непрерывных отображений 1 диска 0' в группу Я) (2гл), и ри которых 1 ~з. ~ 1« ~з., где 1«(Б') = (Еэ, — Е«). Функционал действия на пространстве П; = й (Я)(2т); Е,, — Е«) й» 1» определяется так: Е,'(ы)= т 1 — 1 б(, где ы(())=Е», ы(1)= — Е, . С этим функционалом естественно связан функционал длины ! 1» (а) = г,~ — „) й.
Известно, что критические (стационарные) точки функционала длины 1 могут быть обнаружены при помощи функционала Е. Множество точек, иа которых функционал действия Е (и следовательно, функционал длины !) достигает абсолютного минимума, является подпространством в П,', гомеоморфным многообразию Грассмана 6»Ы, а потому (как это следует из теории Морса) 2л»-мерный остов пространства П, гомотопически эквивалентен 2т-мерному остову пространства 61', „. Иными словами, можно сказать, что «аналитическая часты изоморфизма периодичности заключена в изоморфизме и;(б»г»ч ) ~ и, (П,') ж =ы п,(П,)»: лич (Я3 (2т)), поскольку следующий (второй) шаг: п,(б»с„,„) п,,(0(т)) — является следствием чисто гомотопического утверждения, не имеющего какого-либо отношения к функ.
ционалу Е и его критическим точкам. Оказывается, изоморфизм периодичности можно получить не в «два шага», а в «один шаг», если использовать не одномерный функционал, а подходящий двумерный функционал 23.3. Теорема периодичности для унитарной группы основана на двумерных экстремалях функционала Дирихле. Мы получим нзоморфизм периодичности, рассматривая двумерные функционалы на специально подобранном пространстве отображений. Рассмот- ПеРиОдичнОсть аоттх 197 рим в унитарной группе Я)(2т) окружность 5„'=~~~ )ае„, о (а(=1, являющуюся однопараметрической подгруппой, и зафиксируем ее (здесь мы поступаем по аналогии с одномерным случаем, когда в группе Яl(2т) фиксировалась нульмерная сфера 5'= (Е,„, — Е,„)). Пусть, далее, 0' есть двумерный диск с границей 5' в своей стандартной евклидовой метрике.
Фиксируем отображение )Р. 'Я- 51)(2т), переводящее окружность Я изометрично в окружность 5„' в группе. Пусть 1": О'-Р'0' есть гладкое отображение, сохраняющее полярную систему координат на диске и такое, что (Ч" (е) =)Р(з) для е ен 5'. Через П, обозначим топологическое пространство всех непрерывных отображений 1: Р'- Я3(2т) таких, что 1(з =),; пространство П, имеет гомотопический тип СЖ"-комплекса (клеточного комплекса). Рассмотрим подпространство П,'~П„образованное всеми отображениями ~ такими, что они принадлежат соболевскому пространству Н',(О'). Напомним определение этого функционального пространства. Пусть 6 — область в Р(х', ..., х"). Мы скажем, что функция Рл 6-~Р принадлежит классу Н" (6) тогда и только тогда, когда: !) и я Ер(6); 2) существуют функции г,„ей Ер(6), а = (а„..., а,), О~(а(~т, такие, что ~й(х)г„(х)дх=( — 1)'"'~ 10 д(х)) и (х) дх о о при любом й'ен С, (6). Здесь (а(=а,+ ...
+а„, 0'"и а'" (е) Если т=1, то и=и,. Если г: 0'-~БЫ(т), (дх1), 1 ... (дх~) " то )' ы Н',(О') в том и только в том случае, когда все координатные функции, задающие это отображение, принадлежат функциональному пространству Н,'(О'). Этим требованием принадлежности отображения ( к классу Н((Р') мы заменяем требование кусочной гладкости отображения 1 в одномерном случае, Определим теперь на пространстве П', функционал Дирихле 0: П;- м, сопоставляющий каждому отображению ) ~ П,' значение интеграла Дирихле 0[Я на отображении 1. Напомним определение интеграла Дирихле. Пусть и ~ Н" (6); тогда функции г„(х), а= (ам ..., а )„ определенные, вообще говоря, неоднозначно, но с несущественной для нас степенью произвола, называются производными функции и и обозначаются 0"(и) или и „; если а =О, то и,„= и.
Пусть теперь М и У вЂ” римановы многообразия с метрическими тензорами дц(х), хяМ, й„з(о), о я У. С каждым отображением (: У- М, где ген Н, '1У, М1, связываются тензоры смешанного типа. Так, например, х„' х'„, где х' — локальные криволинейные координаты точки х=)(о) ы М, а дифференцирование понимается в указанном выше смысле. Через 7„будем обозначать полную ковариантную произ- 1ЗЗ ВАРИАЦИОНИЫЕ МЕТОДЫ В ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ЗАДАЧАХ ИГЛ. Э водную от смешанного тензора.
Определим скаляри:е произведе- ние двух тек»оров х,', н ф, положив (х~, ф)=й'"ай~их,',ф. Пусть теперь /~Н",[У, М1, положим 0[л [ — "„[ до, где ~Ь— ~ [('„з) $"~ элемент объема на римановом многообразии У, а п б(шУ. Отображение 1ы Н",[У, М) называется гармоническим, если 60[1; п)=0 для любого векторного поля ПЩ класса Н"„опре- деленного на образе Г (У). Соответствующее уравнение Эйлера для фуНКцИОНаЛа ДнрИХЛЕ РИ НМЕЕт Внд 7"Ч„хи=О, В НаШЕМ СЛу- чае в качестве многообразия У мы возьмем двумерный диск 0', тогда й ~(о)=6иа н функционал Дирихле РЩ принимает сле- дующий внд: Р [)) — [(х'„х[)+(х,', хц1 сйп — " дп(х[х(+ х[хц бп.
1 г ! г Первая вариация 6Р имеет вид 60[(; »))= ~(х„', узч')до. Если диск 0' параметризован с помощью евклидовых координат и, О, то Р٠— [(х„х,)+(х„х,))ди ИО, х (х', ..., х»), р=д(шМ, юг; „]-)~ф, и)~-ф, *.))а ю. и~в,. На пространстве П,' рассмотрим также функционал площади то1»г, сопоставляющий каждому отображению ~~П,' значение интеграла ~У'бе( 11 бпдп, где И [(«и «и) 1«ие «)[ 1(«и, «) («„«„)1' Как мы уже видели выше, имеет место неравенство чо1»~~сРЯ и равенство достигается в том и только в том случае, когда отображение ) обобщенно-коиформное (см.
[16)). Отметим, что здесь также соблюдается аналогия с одномерным случаем (пространство путей с фиксированными концами), а именно функционалы действия Е„' и длины 1 связаны аналогичным неравенством: [(й(а))» ( - Е,'(в) — и равенство достигается тогда и только тогда, когда е †минимальн геодезическая из точки ы (О) в точку в (1). Как и функционал действия, функционал Дирихле позволяет отбросить «лишние» стационарные точки функционала объема, т. е.
все те отображения, которые отличаются от гармонического непрерывной заменой параметров в двумерном диске, что, конечно, не меняет значение функционала площади (но меняет функционал Дирихле). явоноднчность вотта 199 Отметим для дальнейшего, что имеет место нзоморфнзм Ц: л,(П,) е» л,+, (БУ(2т)) н что пространство Пе гомотопнческн эквивалентно пространству Й, всех непрерывных отображений Вч-». -+ БУ(2т) с фиксированной точкой. Тео рема 23.3.1. Рассмотрим группу БУ(2т) и пространства Пэ и П;.
В лространсп»ве П; рассмотрим множество Ф' всех точек ~, на которых функционал Дирихяе О Щ достигает абсолютного минимума. Тогда: а) множество Ф' гомеоморфно группе У(т); б) вложение 1: (Р'-» П;-».П, индуцирует изоморфизм гоматопических групп (1 ),: п,(У(т))-»-л,(П,) при зч~2т, поэтому 2т-мерный остов пространства П, гомотопически зквивалентен 2т-мерному остову группы У (т) и композиция ~е (1 ),: п,(У(т)) — ' =- и,+, (БУ (2т)) является изоморфизмом периодичности Бото»а при за.2т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
