А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Пусть Хь — минимальная поверхность а б такая, что чо1,(Х„) 01. Тогда, в силу теоремы 15.5.1, поверхность Хь является подмногообразием, диффеоморфным од- ному из следующих пространств: У', СР"и, ЯРы', г,(8р1п(9), причем Х, вырастает из некоторого в-корня аь наименьшей дли- ны в б. Отсюда следует, что кратность точки ехр(ав), как сопря- женной точки, равна двум. В самом деле, кратность произволь- ного корня а равна ч(й) ~ч~б(шУй, где р(а')~0(шов!) и р(и')чь0 (см, предложение 15.2.1).
Поскольку б!ша(У„-) 2 и в указанную сумму заведомо входит слагаемое б(ш У„- (так как сс(а') 1), то ч(й)~2. Так как аь — наименьший э-корень, то нв существует другого корня р чь Йь такого, что р (аь) ию 0(шод 1), НЕКОТОРЫЕ ТОПОЛОГИЧРСКНЕ СЛЕДСТВИЯ 4 !ь1 ибо в противном случае мы получили бы, что ~(1'~(~шь~, а это невозможно. Итак, в группе ы имеем равенство т(а~) 2. Поскольку й ~ 3, то пучок ~„, соответствующий коэффициенту ни(е, и), обязан (см.
лемму 15.2.1) содержать два сопряженных направления. Так как эти направления уже содержатся в подг уппе Я и по лемме 15.3.1 и теореме 15.5.1 вся, 'поверхность ь обслуживается ни(е, и) и является вполне геодезическим подмногообразием, то Хь й Я. Известно, что Я реализует свободную Образующую в Нь"'(ы, Е), откуда следует, что какое-то из перечисленных выше симметрических пространств ранга 1 (совпадающее с Х,) должно содержать в своей трехмерной группе (ко)гомологий элемент бесконечного порядка, что возможно, только если й 3 и Хь 3ь. Минимальность подмногообразия 5ь следует из теоремы 15.5.1.
Предложение полностью доказано. На некоторых симметрических пространствах числа Щ не достигаются ни при каком значении й. Например, рассмотрим симметрическое пространство М" Я)(2иь)/5р(т) ранга т — 1; известно (см. 156]), что Н (Л(; У) — Л(хь, хь, ..., ха -в) Пусть т~ 2 и Х, еи О((.') — глобально минимальная поверхность.
Тогда выполнено строгое неравенство то!п (Хь) ~ Щ (М). Еще один пример. Пусть М"=51)(2рп+1)/50(2т+1) и Хь~Ю(ь'); тогда всегда имеем то!и(Хь) ) 01. Доказательства получаются по схеме, изложенной при доказательстве предложения 15.6.1. й,тат+! ИЧЧ И-/ 3 Т+I И-4-1 И-! й и-г а) ЬГ й Ф) ПГ Рй а) рр=Ы-ашишшра«ата праашршашаа раааа 1 Рис, 44. Теорема 15.5.1 позволяет получить полное описание й-мерных геодезических дефектов Щ для любого компактного симметрического пространства (можно, например, опирвться при этом на список этих пространств; см., например, 191). Мы ограничимся приведенными выше примерами.
Исследование значительного числа конкретных симметрических пространсгв позволило следующим образом описать качественное поведение функции ьп1. На рис. 44 по горизонтальной оси отложены значения размерности й, 2 ~й = и — 1, а по вертикальной оси — значения !за наименьшие овъемы минимальных повеехностеи [гл. э объемов замкнутых поверхностей реализующего типа, т. е. Х ен ыЮ(Е'), Учь0, Ус=.Н~">(М). Оказывается, выделяются три случая: а) группы Ли; б) симметрические пространства, отличные от групп Ли и от симметрических пространств ранга 1; в) симметрические пространства ранга 1, В случаях а) и б) поведение функции Щ характеризуется наличием двух точек изломк й, ч+ 1, кч = и — ! — 1, где т (см.
выше) — кратность корня сс, максимальной длины, а 1 — ранг М. В случае а) функ. ция 111 только з одной точке (при й 3) соприкасается с объемами замкнутых топологически нетривиальных поверхностей; в случае б) число таких соприкосновений увеличивается, т. е. имеется достаточно много минимальных поверхностей, объем которых совпадает с Йь, а в случае в) функция Й7, полностью описывает все минимальные поверхности наименьшего объема. Дальнейшие примеры глобально минимальных поверхностей, реализующих нетривиальные (ко)циклы в симметрических пространствах, были получены Дао Чанг Тхи (см. [57], [58]).
Приведем здесь некоторые из этих примеров. Т е о р е м а 15.5.2. Перечисленные ниже вполне геодезические подмногообразия Хь в компактных симметрических пространствах М являются глобально минимальными поверхноопями реализующего типа в своем классе (ко)гомологий. (1) М=У(п)/(У(т)хУ(п-т)), п)2, 1кт([п(2]; Х, У(р)НУ(о)х У(р-о)), реп, а -т, где У (р), У (д), У (р — Я вЂ” подгруппы, стандартно вложенные в соответствующие группы Ли У(п), У(р), У(т).
(2) М=Ю(п)!(Ю(2)х80(п — 2)), п)3; Х,=80(р)7(80(2)х80(р-2)), 3 ~р~п, где 80(р) 'и 80(р — 2) спшндартно вложены соопмыпспменно в Ю(п) и 80(п — 2). (3) М=8р(2п)/У(п), п~2; Хь 8р(2о)/У(о), 2а д«'и; вложения 8р (2о) ~ 8р (2п), У(о) ~ У(п) стандартны. (4) М==80(2п)/У(п), п~2; Х, 80(2о)/У(о), 2~о«'и; вложения 80(2о) с 80(2п), У(о) с У(п) стандартны.
(5) Пусть Хч — произвольное эамкнупюе кватернионное подмногообраэие вещественной размерности 4 в кэлеровом кватернионном симметрическом связном компактном пространстве М. Тогда Хч — глобально минимальная поверхность в своем классе (ко)гомологий. Эта теорема является следствием общего результата, полученного Дао Чанг Тхи для описания потоков минимальной массы (см. терминологию в [17]) в симметрических пространствах (см. [57]- [60]). Глава 4 'локлльно минимдльные злмкнУтые повеРхности, РВАлизующие нетРивилльные (ко)циклы и элементы ГОМОТОПИЧЕСКИХ ГРУПП СИММЕТРИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ 5 16. Постановка задачи.
Вполне геодезические подмногообразия в группах Ли В предыдущих параграфах мы изучали в основном глобально минимальные поверхности. При этом мы обнаружили, что поверхности наименьшего объема (например, среди всех поверхностей, реализующих нетривиальные (ко)циклы в данной размерности) часто оказываются вполне геодезическими подмногообразиями. С другой стороны, вполне геодезические подмногообразия всегда являются локально минимальными (см. 5 2),.т. е. экстремалями функционала объема (быть может, не абсолютными минимумами, а «седлами»). Поэтому самостоятельный интерес представляет задача об описании (например, в симметрических пространствах, кзк в одном из наиболее важных для приложений классов рима- новых многообразий) вполне геодезических подмногообразий, реализующих нетривиальные (ко)циклы.
Эту задачу мы полностью решим в настоящей главе. Затем мы дадим классификацию всех тех случаев, когда нетривиальные элементы гомотопнческих групп п~(М)ОхЯ (где М вЂ” симметрическое пространство, Я вЂ” рациональные числа) реализуются вполне геодезическими сферзмн, т. е. опишем все те гомотопические классы симметрических пространств, в которых существует представитель, изображаемый стандартной сферой, т. е. локально минимальной поверхностью максимально простого вила.
Оказывается, эта классификация вскрывает глубокие связи между свойствами компактных групп Ли и геометрией локально минимальных поверхностей. Как было доказано в З 2, каждое вполне геодезическое подмногообразие локально минимально. Оказывается, если объемлющее многообразие является группой Ли, то вполне геодезические подмногосбразия могут быть описаны (с локальной точки зрения) особенно просто. Обозначим через [Х, )'1 операцию коммутироваиия в алгебре Ли.
Поскольку нас будут интересовать компактные группы и алгебры Ли, то можно считать, что оии реализованы как группы матриц, а тогда коммутатор двух элементов Х и г имеет вид Х)' — )'Х, где ХК вЂ” произведение матриц. Определение 16.1. Пусть 0 — алгебра Ли над полем веще« стеенных чисел, и пусть  — надпространство в 6. Подпростронспмо В называется тройной системой Ли, если для любых ~прея элементов Х, г', 2, принадлежащих В, элемент [[Х, )'), Я) также прпнодлежит В. В А. т.
Фоменко !3О ПОВЕРХНОСТИ. РЕАЛИЗУЮШИЕ НЕТРИВИАЛЬНЫЕ ЦИКЛЫ (ГЛ. « Через ехр обозначим каноническое отображение алгебры 6 в группу 9. Пусть У вЂ” вполне геодезическое подмногообразие в Е; тогда можно считать, что оно проходит через единицу группы е; ясно, что Т,(У) ~0. Предложение 16,1 (см. [70]).
)7усть Š— связная компактная группа Ли и У вЂ” вполне геодезическое подмногообразие в группе. Тогда надпространство В= Т,(У) является тройной системой Ли и ехр(В) У. Обратно, если В«=Π— тройная система, то лодмногообразие У = ехр В яавяется вполне геодезическим подмногооброзием в группе 7и Э. Любая подгруппа Ли положительной размерности является вполне геодезическим подмногообразием в группе 9.
й 17, Сводка необходимых результатов о топологической структуре компактных групп Ли и симметрических пространств 17.1. Алгебры когомологнй компаитных групп Ли, Здесь мы собрали нужные нам для дальнейшего некоторые факты о гомо. логиях и когомологиях компаитных групп. Совокупность всех простых компактных групп Ли состоит из четырех больших серий и пяти особых классов групп. Классы лоиально изоморфных компактных связных простых групп Лн обычно обозначаются символами А„(л~1), В„(п)2), С„(п~З), Е>„(л ~ 4) — классические струитуры; О„Р„Е„Е„Е» — особые структуры. Классические серии определены для всех п~1, но указанные ограничения на ранги групп объясняются изоморфизмами групп малых размерностей из разных серий: А, В, С„ В,=С,, А»=)7„!7»=А,+Ам Через 2((й) обозначим центр группы Й.
Каждый класс локально изоморфных групп содержит единственную односвязную компактную группу Й; для классов А„, В„, С„эти односвязные группы суть следующие: ЗО(л+1), Зр!и (2л+ 1), Зр (и), где Е (З(3 (л+ 1)) Е„,н 2 (Зр1п (2п+ 1)) У,„ Я (Зр (и)) * г,».
Полными факторгруппами этих групп О)72 (Ю) являются группы Р13(л+1), ЗО(2л+1), РЗР(л) проективных преобразований. Односвязной группой Й класса Р„ является группа Зр!и (2л), 2(Зр!П(2п)) г,„если л 2а+ 1, 2(Зр!П(2п)) = е»Я г,„ если п=2««.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
