А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 71
Текст из файла (страница 71)
Далее, для любой открытой окрестности У=У(Х») компакли» ~» существует номер И =1ч (У) такой, что чо1»,[Х„""'~У)(со при всех и:> л( и, более того, Х„'""~У вЂ” конечный симплициальный подкомплекс размерности в, еде з=й — 1; в частности, Х„'Р~,У соспюит только из симплициальных точек (см. определение 28.2.1). Замечание.
Новые функции '~р- будут обладать следую. щим свойством: 'со»я=О, если В(Р, г) П Х» = ф, что будет следствием симплициальностн компактов Х„""",У. Доказательство, Пусть У вЂ” открытая окрестность компакта Х", Так как многообразие М компактно, то существует конечное число открытых шаров В(РИ г,) таких, что: 1) М'~У с с: [)' В(РН г~); 2) Х»Д ~ Ц В(РИ гг») [ ф. Рассмотрим шар В(Р„г»). Тогда реализуется один из следующих двух случаев: а) существует номер й! такой, что Х',"ПдВ(Р„г,) = 9 для всех номеров и'= й(; б) Х,"'!(дВ(Р„г») чь !7! для некоторой бесконечной' подпоследовательности (п') с= ',и). Ясно, что если реализуется случай а), то для любого и-Рл! имеем Х„"' 'Х',"() "Х„"', где 'Х;" !1 "Х„'" =.
3 и 'Х'„" с:В (Р», г»), а потому компакты Х'," можно ваменить новыми к»»мпактами 'Х'„' такими, что 'Х'„' еп СВ и 'Х,'Р П В (Р„г») = ~7!. Выполнив эту,операцию, мы можем перейти до второму шару В(Рм г»). З 691 МИНИМИЗНРУЮШНИ ПРОПЕСС В ВАРИАЦИОННЫХ КЛАССАХ О Пусть теперь реалязуется случай б). Обозначим подпоследовательность (л') по-прежнему через (л), тогда ХР'()ВВ(Р» '6)-Р' ч6 ф для любого л-Рй(. Докажем, что чо)А]Х',РДВ(Р» г6)]-РО при л-эоо. Поскольку В(Р» г6)ПХ' ф, то ЧА(Р)мвО для всех точек Реп В(Р» г,+е'), где е')О выбрано так, чтобы В(Р» г, +е')ПХА ф.
Тогда в силу (3.3.9) существует число р(Р) 0 такое, что ф7маО при Оч=г<р(Р). Получаем конечное покрытие шара В(Р» г6) шарами В(Р„р(Р,)), и так как ф 1!ш(' апр $6(г'. 4) О, то Уо!~]Х,'"ДВ(Р„, р(Р ))] 6 6 ~к — Н~(6. ~6(Р, аОС6 - О, откуда Уо16[Х'„" ПВ(Р» г,)]-~0, п-~со, что и требовалось, рассмотрим открытое множество ОР,=М'~В(Р» гР— 1)„где ! ! Ое:-(~рр, г,--<гр<г, — —, Р-произвольное натуральное р Р 2р ' число, числа и, и гр фиксированы для каждого р и, кроме того, числа р„ подобраны так, что р -РО В(РРО) при р-Роо. Тогда ~Т, — ~~ Ор Рс" с: (Т, —,, где Ты М",В(Р» г,).::::,',~ р РР ° ' 11 РР мд (рис.
73). Определим на шаровом г' .':,;:;,,::,;,;;;;::: у слое Г функцию У (х) следующим Р~ образом: У (х) $, где хеидВ(Р» г — () в частности, У (х)=0, если Рис. 73. хеидВ(Р» г ), и УР (х)=р,, если хтдВ(Р» гр-рр)=дОР. Ясно, что У„(х) ем С'(Г ) и что,7У чь чьО на шаровом слое Г . Докажем, что при каждом фиксированном р можно выбрать такие значения пр и (Р, 0~1 ~рр, что будет выполнено неравенство чо(А,(дОР, Пх„"']Кар'-". В самом деле, допустим противное: пусть для любого г, Оч-=тч--рр, и любого л выполнено неравенство Уо!» 61дОР,~ДАХР»']) р' '. Поскольку чо16(Х„''~, А] < оо, то Уо!А (Г П Х„"'] < со, и тогда ~ Уо!Р 6~(ГРЙХРР')ЙдВ(РА гр — О]6(1 6 ] Уо1,(ХХГ)дО,,]гВ и Р'-".
6 Если положить С,=Щ~Г 1У (О)=7), то С, дО,, и из тео. ремы 10.2.3 в 1'16] немедленно следует, что РР М Уо16(ГР() ХРР]~' ] Уо16 6]ХР'() С~]Ш ррР~ ~~ а ЗОЙ минимАльные пОВеРхности В ВАРНАционных клАссАх и )гл. 6 где М вЂ” постоянная Липшица для функция У (х), х ен Г, а потому М Ныл. Отсюда следует, что для любого натурального л (прн фиксированном р) выполнено неравенство чо1»«Г (!ХД) )Мррр»-»)О.
Так как (см. выше) чо!»«Гр«!Х„"')-оО прн л-ооо, то выполнение этого неравенства невозможно. Итак, мы можем указать бесконечную подпоследовательность «ар) с=«л) и последовательность «1р) такие, что чо1, »[Хо" ДдОР,,[~ р'-", где р'-»-». -~-0 прн р-~-оо. Приступаем к перестройке бесконечной последовательности компактов Х„"' ев е2. Положим Ар —— дбр, П Х„"' "Р Р Р р ор1 тогда чо!»»(АР) =1р ', 1рч-р ', Арс: В(Р» г») с: В(Р» В»).
Следовательно, в сйлу теоремы 28.3.1 существует компакт Рр, содержащийся в е-окрестности геодезической оболочки Л, (где число е сколь угодно мало), такой, что ч'о()со, А,) Ь"-'(Лр)" 0 (соответственно»» (Гср, Ар) л,(А )) для любого тенУ„хан ~АР. Кроме того, Р(оо Ар)ч С'1Р РФ~~Ц )ор, о Ар ЦАо, о )~С'1р чО1» (Рр) ч01» (Йо !) Я»р о) ( О!р ° Напомним, что если 1 О, то в этих неравенствах 1р нужно заменить сколь угодно малым числом б, Положим Ьр=)с»Цур, где ур — гладкий путь, соединяющий 2 с хе= А; тогда, в силу теоремы 27.3.1 и в силу замечания к ней, новый компакт 'Х'„" = [Хоо",[Х," П В(Р» гр — 1»$ Ц Р принадлежит классу сВ. Итак, мы получили последовательность компактов 'Х„'", р 1, 2, 3, ..., такнх, что чо1» ['Х'," '~,А[-+О» и 'Х'„" '~ОР— конечный снмплицнальный подкомплекс класса С' в'М и размерности з~й — 1 (см.
теорему 28.3.1), т. е, все Ьмерные куски компактов 'Х'„" накапливаются в сколь угодно малой окрестности компакта 7~ М;В(Р» р»); иными словами, шар В(Р» р,) постепенно очищается от й-мерных кусков компактов 'Х'„", р-~со. Теперь мы рассмотрим следующий шар, В(Р», р,), н повторим для него н для последовательности 'Х,"' опнсанный выше прои цесс. В результате мы получим новую бесконечную последовательность компактов "Х'," ен Ю, которая остается й.минимизирующей, но й-мерные куски которой постепенно, с ростом номера, покидают внутренность шара В(Р», р»).
Осталось только заметить, что й-мерные куски поверхностей "Х,",' не могут вновь попасть внутрь шара В (Р» р,); поэтому в действительности Ьмерные куски компактов "Х'," покидают не только шар Ро В(Р», гз); но н В(Р» г,) ЦВ(Р», гз). з»п мнннмнзнгчющня п»оцясс в в»гн»цнонных кл»сс»х о' аоа Продолжая этот процесс н вспоминая, что всех шаров В (Рь г,) конечное число, мы в конце концов вытесняем й-мерные куски квмпактов к-минимизирующей последовательности в окрестность У, причем вне этой окрестности остаются только такие куски компактов, которые являются конечными снмплнцнальнымн подкомплексамн размерности зы; й — 1.
Из проведенных выше рассуждений следует, что 'ф»»ь аифье н 'Ч',ые Ч'», меняются, вообще говоря, только функции »р~с; ясно, что '~рз еи 0 на М~,Х». Все остальные утверждения леммы очевидны. Лемма доказана. Доказательство предложения 292.1. Утверждение получается простым комбинированием (3.3.7) с леммой 29.3.4. В действительности мы доказали несколько более сильное утверждение, чем сформулированное в предложении 29.2.1, а именно: доказано не только то, что чо1»»(Х„"Я'~(7~<ос, но н то, что Х„""~,У вЂ” конечный снмплнцнальный подкомплекс размерности з~й — 1.
Этим важным уточнением мы будем неоднократно пользоваться в дальнейшем. Итак, первый шаг М-процесса завершен. Рассмотрим систему окрестностей У~У =з У'+, П У' Х' н положим »4 а =1п(чо!»»(Х~(74), Х ыЮ, Л»»= Ишь!'„'. Напомним, что а со' ь»'-'<оо прн любом с», а Л»»:а.оо, причем, хотя может оказаться, что Л»» х>, это не помешает нам строить М-процесс дальше. Л е м м а 29.3,5. Число Л»» (бь«пь может, равное бесконечности) не зависит от выбора системы откры«илх сжимаюи(ихся окрестносглей У' т.
е. вто число полностью и однозначно определяется «юлька компактом Х» с= М. Доказательство. Пусть даны две системы окрестностей У„' н 0й, н допустим, что Л»»<Л~». Пусть з таково, что Х~»< < з < Л,, Поскольку Л», 11ш ь»,, то существует номер ае а такой, что ь»»-' .з. Так как П0й Х», тосуществует номер р» а такой, что 0в, с= У'„ н Йз», ' <з, Это означает, что существует компакт Х еп»р такой, что чо), »(Х~0Ц Йз, +е, Йз, ' + +е<з,. е~О. Но так как чо1, »(Х',0З,)<оо, то чо)»,(Х',У',) <со н чо1»» (Х' У,'.) <чо!»»(Х'~0~) ыз.
'+ + е<з. Однако, с другой стороны, чо1»»(Х',У,'.)~со", '>з. Полученное противоречие я доказывает лемму. Если Л~ »=со для какой-то одной системы окрестностей, то это свойство сохранится н для любой другой системы. 29.4. Второй и ппсяедующпе шаги в построении минимизирующего процесса. Теперь мы переходим к научению второго шага в М-процессе.
Пусть фиксирована макая-нибудь сжимаю- В4 мниим»льиыа повзохиости в з»»мационных кл»сс»х Э ггл, о щаяся система окрестностей У,'. В силу определения чисел в»-' ( < оо существует бесконечная последовательность компактов Х„'" пз енд таких, что чо1»,[Х7' ~У,') в'„-'+з„е„>0, е„-+О, т. 6. чо1»., [Хн"~У,')-~Л» м пРичем посколькУ Л» „=зцР в„'-', то, ов в отличие от первого шага М-процесса,' допустимо неравенство чо1»»[Х,'"' „УЦ< Л», (напомним, что чо1»[Х„"' ~,А) ~4). Однако оказывается, что зто препятствие можно обоити.
Поскольку все й-мерные куски компактов Х,'*' накапливаются вокруг Х", то теперь нам придется уже иметь дело с (й — 1)- мерными зонамн в М~,У„'. Роль компакта А формально может играть компакт Х», однако имеется существениое отличие от первого шага М-процесса, а именно: если А содержится в каждой поверхности Ханса, то компакт Х' уже не обязан содержаться в компактах Х„'*'. ПоложИм )г'(Р) ш1п[д(Р, Х'), Ро) и рассмотрим функции <р»,(г, Р, Х), ф(г, Р, Х), где О~с( ()т»(Р), И»(Р))0 и Х вЂ” произвольный компакт, содержащий А (но не обязательно содержащий Х").
Так как счетное множество ((а1 всюду плотно в М'~,А (а потому и в М'~1»), то, как и на первом шаге, можно рассмотреть функции ф»,(г, (е~, Х,") и можно сразу считать, что они сходятся к функциям Ф»-»(г Ф) где Он г(Р(Р). Как и на первом шаге, строим фУнкции ф»' и ~Р»'-, с сбчастью опРеделениЯ (по аРгУментУ Р) М~,Х». Пусть Р ен М',Х', положим '1'»»(Р) =11ш зцр [й»' ~ (г)ф» ~ (г, Р)), р о»<~<о 5»-'=',.Ран М~Х»,Ч» ~(Р))0), Х"-' Х'[)8»-' Оказывается, свойства функции Ч'», во многом аналогичны свойствам функции Ч'».
Пусть Р ы М~, У„'; положим Ь", (Р) = =гп)п[а(Р, Г„'), )го). Ясно, что РА(Р)<Р'(Р)(его(Р). гтомер п мы фиксируем и все рассуждения будем проводить пока на множестве М У1 (а не иа М",Х»), заменив втой областью прежнюю область М",А (фигурировавшую на первом шаге). Далее, во всех предыдущих рассуждениях заменим А на Г,', д» иа в,'-' (напомннм, что в„'-'(оо), )г' на Р„', где Рея М",17„'.
Подчеркнем еще раз, что зта замена отнюдь не возвращает нас к ситуации первого шага, так как чо1»,[Хн~,УЦ=в„'-'+з„е„~0, з„-» О. Лемма 29.4.1. Формулироека и докаэательспию,етой леммы получаются соответственно иэ Формулировки и докаэател»еглеа леммы 29.3.1 заменой А на У„' и Ко(Р) на й„'(Р), еде Реп е М'Д,, ген мнннмнзнь»чощнн процесс в в»»н»цнонных кл»сс»х о Йод Лемма 29.4.2. формулировка и доказатгльство этой леммы получаются соответственно из формулировки и докозатгльспма леммы 29.3.2 заменой А на (7,', й»(Р) на Р' (Р), й» на ю» и 0 Р(й) на )7(й — 1).
По поводу доказательства последней леммы следует отметить, что в формулировку, леммы 29.4.2 входит не сама велнчнна чо1»,(Х"Д), а разность е„=чо1».,(Х"Д) — ю„'-', где з„~ ~0, з„-»-О; поэтому то, что неравенство чо1» «(Х~,(7',)(Х»» допустимо, не оказывает никакого влияния на построение М-процесса (рнс. 74).
Постоянная х», имеет внд (я — 1)'-»[0(я — 1)]'-», а потому не зависит от номера и, что будет важно для дальнейшего. Л е м м а 29.4.3. Пусть Х„'" ы Ю— фиксированная выше последовательность .::,.' «»",:-':,'» ) комтпопов, чо1»» [Х»"",17,'] = ь»»-'+ з„< (оо, е„>0, е„- О, и пусть <р~~ ь ф»т., — функции, построенные по последа- -- Щ гурт ватгльности Х,'" с областью опргдглгния М'~,Х» (а потому они опргдглгны и на рнс. 74.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
