А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 72
Текст из файла (страница 72)
М~, »?' ). Тогда оправгдливы утверждения, аналогичные утверждениям (3.3.1) — (3.3.10) леммы 29.3.3, получающиеся иэ них эамгной )7»(Р) на В»(Р), А на Х», Х„'" на Х„'", Х» на Х'-', Доказательство. Пусть Реп М'~Х», О~г(У(Р); мы должны доказать в точке (г, Р) соотношения, относящиеся только к функциям ф; ц ~р»»е „Ч'»,. Ясно, что существует номер У =- )ч (г, Р) такой, что пря всех и -~ У имеем (?," () (1В(Р, г)= ф, т.
е. г(Л,' (Р), и мы можем применить лемму 29.4.2 в соответствии со схемой доказательства леммы 29.3.3, нспользуя лемму 29.3.2. Подчеркнем, что ()»»=(й — !)' »у»'-~х «с[0(я-1)]'-»)О, причем ])»» не зависит от номера и, а потому, как и на первом шаге, если Ч«»»(Р)>0 (где РенМ'~~»), то Ч'»»(Р) =-:])»,.'~0. Лемма доказана. Отметнм, что нз леммы 29.4,3 следует замкнутость множества 5»-» в М'~,7(», а потому Х"-' 5"-'() Х' — компакт.
Далее, если Реп М',Х»-', то Ч',,(Р)=0, а тогда ф»" ~т»0 для 0~ ч-г(й'р(Р), где 0(й»(1, р(Р)~0. Как и на первом шаге, мы нспользуем этот факт прн перестройке последовательности. Лемм а 29.4.4. Пусть Х'," ез 6 исходная последовательность такая, что чо1»»[Х,""~(7»]=ь«»-'+а„, а„~О, г„- О, п-»-оо, »»» 1(оо, и пусть ф-,, ф- и Ч»»,-функции, построгнныг выше по послгдоватгльности Х',"'. Тогда существует новая послгдоватгльность компактов Х„'"' ен в«такая, что чо!».
» [Х',"~(7„'] зов минимАльные иовегхности в ВАРНАционных клАссАх о «гл ь = в»-'+е„', Е„~О, е»-»0, п- со, причем «р~ «мп«р»ь „'Ч'„, вя ° тЧ'~ » и новые функции '«р~» «(не совпадающие, вообще говоря, с «р'е,) по-прежнему не убывают по г (ири О~с(Р»(Р)) и удовлетворяют соотношениям, аналогичным (3.3.1), (3.3.6), (3 3 8) Далее, для любой открытой окрестности У У(Х»-') компакта Х»-' существует номер М=М(У) токой, что чо1»»(Х,'"'471<. (со при всех и) М, и, более того, Х,""~,У является конечным симилициальным иодкомплексом размерности в~й — 2. В,частности, Х'„"' '~,У состоит только из симплициальных точек. Доказательство этой леммы проводится в соответствии со схемой доказательства леммы 29.3.4, и мы не будем на этом останавливаться: . На первом шаге М-процесса мы оперировали с числом й„ а не с числом Х» — — 1пп 1п( чо1»(Х'~??а) (см.
выше)„именно это и обусловило разницу в проведении первого и второго шагов. Доказательство предложения 29.2.2. Утверждение получается простым комбинированием аналога (3.3.7) с леммой 29.4.4. Итак, второй шаг М-процесса также завершен. Рассмотрим систему окрестностей У„' =з Уа+«, П У„' = Х»-«и положим в„"-' а !п1 чо1»,(ХЯ?а), Х ен8, )»» = 11ш (в"-»), тогда в"-» < со. а са Ле м ма 29.4.5. Числа Х»» (быть может, ровное бесконечности) не загаси«и от выбора систе»в«открытых окрестностей Уа, т. е.
полностью определяется только компактом Х»-' с= М. Доказательство этой леммы совершенно аналогично доказательству леммы 29.3,5. Итак, мы можем продолжать наш М-процесс в меньшие размерности, что дает нам последовательность компактов А с= Х' ~ ~ Х»-' с= Х»-ь с= ... Этот процесс оборвется только на размерности один. Опишем этот последний шаг. Доказательство предложения 292.
'(й — 1). Мы имеем компакт Х' и систему окрестностей У»», ПУ,", ~ ° Х». а В полном соответствии с описанной выше схемой мы строим В» 1Р ен М~,Х~ ! Ч«» (Р) > 0), Х» 5» Ц Х»; тогда существует последовательность компактов Х«»- и' такая, что чо!»[Х«»-«г'~Р„'-') в,'+е„', е,'=вО, е„'- О, и для любой открытой окрестности У компакта Х» существует номер М М(У) такой, что для всех и.'з М компакт Х«»-«К~,У»-«является (в общем случае) одномерным конечным симплициальным подкомплексом, а потому, в силу 1-устойчивости класса »»и мнннмизн»тющни п»оцзсс ва»»и»пнонных кл»сс»х и 'Звт Х~"-н'П(7»-' (при п)й() также принадлежит классу»р, т.
е. можно считать, что Х1»-н'с=(7»-'. Для того чтобы доказать предложение, достаточно установить, что Х»ыЮ. В самом деле. рассмотрим последовательность Х'„", и пусть Х вЂ” множество всех предельных точек последовательности Х~"-'>'; тогда, очевидно, Х с: Х» (отметим, что не обязательно р(Х'„" 'г, Х) -».0 при и-» оо). Поскольку класс с7 замкнут относительно предельного перехода в метрике р (ясно, что Ер — — Х () ~ ( ) Х'„' и ~ ен Ю (л р и Х = П 2», р(Ер, Х)»-0 при р-~со), то отсюда, в силу теоремы 27.2.1, получаем Х енО. Доказательство окончено. Подведем итоги, По каждой Ьминимизирующей последовательности Х„"'сна, то1»(Хч'~,А)- 4<со, мы построили (вообще говоря, неоднозначно) компакт Х» ен Ю, с которым связана пь»')у ) д» т~»(ут-ь по едовательность чи л д», ) А» », ..., Х„ Х, и в котором оп- / ределена естественная стратифи- ( уе кация подкомпактами Х»:» Х»:э / =эХ»...
=э Х» =з А, где 1,. - ./ Х '=Х" 05"-», 5"'-' (Реп »»т-г енМ '.,Х'" ~ Ч'„д(Р) >О), 3~»п < гг»- яу ~й+1, Х""=А. Для каждого Ряс. тб. компакта )(" существует последовательность компактов Х," "+»н Х '=Х»ЦБ ', причем»», <оо и Х~ +»' ~ У» +'(Х ') является з-мерным конечным симплнциальным подкомплексом, где з~л»-2 (рис.
75). Итак, мы доказали сходимость М-процесса. Построенный нами компакт Х» ен »р допускает представление Х» А () 8»() 5»-' Ц ... ... () 3», однако пока мы еще ничего не можем сказать о метрических свойствах зтого компакта и не имеем геометрической интерпретации вектора (И», ).» „ ..., »»).
Все зти вопросы будут решены в следующем параграфе. 28.б. Теорема о совпадении наименьшего стратифицированного объема с наименьшим ».-вектором в вариационном классе. Перейдем к вопросу об интерпретации вектора ЬЧ (б», д» » ..., 4). По данной й-минимизирующей последовательности Х'„" можно построить много М-процессов и, следовательно, получить много»:векторов, соответствующих, вообще говоря, различным Зоя минимьльиыв поваихиости в влеикциоиных кл»сслх о ~гл.е компактам 3(»(М), причем зти й-векторы могут отличзться друг от друга, начиная с компоненты )»».
Рассмотрим множество Т всех ?,-векторов, получгннь х при всевозможных М-процессах в классе Ю (к), и введем в Т лексикографическое упорядочение. Вопрос: можно ли найти в Т ?:вектор, наименьший в атом упорядочении? Теорема 29.5.1. Пусть выполнены все лредположения теореми 7.2.1. Рассмотрим класс (Х)», существование и непустота которого утверждаются в теореме 7.2.1. Тогда оказывается, что каждый компакт Х еи (Х)» является результатом некоторого М-процесса в О (»Ю), т. е.
может бьипь предспшвлен в виде Х = Х'(М), причем ? вектор этого М-процесса (й», ь» м '»»», ... ..., )ч) совпадает с вектором наименьшего стратифицировонного обягма 5Ч=(й, й м й»»..., й»). Поэтому этот ?:вектор зависит только от класса Ю (к') и не зависит от компакта Х ы ы(Х)„Х Х'(М). Наконец, этот л.вектор, оби(ий для всех Х ~ (Х)», является наименьшим ? вектором в лексикогрофическом упорядочении среди множества Т всех ?:векторов в классе В (й7). й ЗО. Свойства функций плотности. Минимальность каждого страта поверхности, полученной в процессе минимизации 30.1.
Значение функции плотности всегда ие меиыие единицы на каждом страте и равно единице только в регулярных точках. Рассмотрим компакт Х»гнсб (ф), полученный при некотором М-процессе, и изучим его метрические свойства. Если М- процесс конечен, то мы докажем, что при Ря 5', З~а»-й, выполнено неравенство Ч"„(Р)~1, откуда и будет следовать, что поверхности 5ч являются относительно минимальными по.
верхностями .в размерности а. .При построении компакта Х» мы двигались от наибольшей размерности й к размерности 3, а при доказательстве относительной минимальности пленок 5" компакта Х» мы будем двигаться в обратном направлении: от чо1» к чо(». Подчеркнем важное обстоятельство: компакт Х', полученный при некотором М-процессе, совершенно не обязан принадлежать классу (Х)» (см. теорему 7.2,1), существование которого (класса) нами пока и не доказано. В частности, числа )ь» и й в общем случае могут не совпадать. Рассмотрим произвольный (й — з+ 1)-й шаг М- процесса. Имеем: »(» = Х'»» Ц 5», 5» *(Р е-" М «,Х'"» ( Ч', (Р) > 0), У„" '+'(Х»);о У," '(Х»»').
Мы специально выбираем такуо систему окрестностей 0„'+'(Х'), что чо1,[Х,' ' ' ~,У, '(Х"')( свояств» ьчнкцип плотности г(апомннм, что с последовательностью Х~~ *+ и' связаны функция <ре, »Р+, Ч',. В дальнейшем для краткости вместо Х~»-'+ о' будем писать Х„. Положим Х„= Х„!)(7~ '+'(Х'); тогда чо1,, [Хо'~,Х,[(оо, т. е. компакт Х„является «масснвной» частью компакта Х„, и чо!,[Х„~У» '[=чо(,[Х„'~У„' *[. Отметнм, что расстояние р(Х„Х') не должно, вообще говоря, стремнться к нулю; можно лишь утверждать, что р [й„", ,и„"-'(Х* ), 5[ О. Л е м м а 30.1.1.
Рассмотрим множество 5' =[Р ен енМ' Х'+»!'р,(Р))0[, где з=н3 и компакт ХоенЮ получен при некотором М-процессе. Пусть ()о = 0 — некоторое фиксированное число, Р' я 5', 0 ч.:. :г' «В»-'(Р'). Тогда для каждого $ 0 существуют две постоянные ео — — ео($ ро з, М) 0 и и = = о($, (3«, з, М))0 такие, что если для каждой пары (г, Р), где Реп 5«, и В(Р, г) с В(Р', г') выполнены неравенства: (Ц 1) (3»ч:.й '(г)<рр(г, Р)~6*'(г)»Р,'(г, Р)~(3«+е, то для каждого такого шара В(Р, г) с: В(Р', г') существуют точка Ро ен 5' и геодезическая з-плоскость П (т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
