А.Т. Фоменко - Вариационные методы в топологии (1117996), страница 78
Текст из файла (страница 78)
Мы не будем на этом останавливаться. Тем самым, любой элемент е! в группе гомологнй Нд т(А) может быть заклеен минимальной пленкой, аннулирующей только этот элемент (н ему кратные). 32.3. й!нннмальные поверхности с границей, гомеоморфной сфере. В двумерной задаче Плато граница минимальной поверхности всегда распадается (в том случае, когда граница — гладкое одномерное многообразие) в объединение окружностей.
Рассмотрим многомерные минимальные поверхности, границей которых также является сфера, гладко вложенная в объемлющее риманово многообразне. Такое специальное устройство границы минимальной пленки позволяет получить интересные утверждения чисто метрнческого характера, связывающие топологию минимальной поверхности с ее обьемом. Отметим, что с парой (М, А) естественно связаны следующие два числа: й и й', характеризующие гаометрнчесное расположение сферы А в многообразия М, а нменно: й'=!и! чо1,(Х,А), где А с Х с М, и !ш Нь(Х, С)чь мЬО в Нь(М, С) 'прн вложении Х-+М. 3!н/сь С-некоторан э зи ечндлмвнтьльные <когциклы поваэхностен . ьэ! фик анная группа коэффициентов теории гомологий, а й = (Х',А), где А с Х сМ, и Л(Х, А) ныл в группе Нь- С) Другими словами, й' является я-мерным 'сбъемом наи его й-мерного цикла в Н,(М), и это число вообще от границы.буферы А не зависит, а число й является й-мерным объемом наименьшей й-мерной пленки, которую можно натянуть в многообразии М на какой-либэ нетривиальный цикл в Н, «(А).
Рассмотрим произвольный вариациоиный класс Н, (А, („(.'), и пусть, как и выше, й=(п1чо1,(Х',А), Х ен Н,(А, 1., (.'); тогда й~й', й~й. Произвольная минимальная поверхность Х, из этого вариацнонного класса может иметь достаточно сложную топологическую структуру, 'поэтому, в частности, большой интерес представляет вопрос: каков тот наибольший объем, который может иметь одна связная компонента Пь целиком состоящая только из регулярных точек поверхности Хь? Другими словами, каков наибольший объем «несингулярной частиь минимальной поверхности? Отметим, что из теоремы 7.2.1 легко следует, что «7> 0 и й' > О.
Теоре м а 32.3.1 Пусть М вЂ” компактное замкнутое рима- ново многообразие, А = 5'-', С= 5' =Р(п1об !) — группа коэффициентов теории гомологий Н . Предположим, что й(со (отметим, что неравенство й'«со выполнено всегда), и положим Ь шах(й — й, й — й').
Пусть Х, ен Н, (А, 7., I.') — минимальная поверхность, где 7. чь О, й' = 5', и пусть У с Хь — множесаю особых точек минимальной поверхности Хь. Пусть Хь",(А ЦУ) = ( ) П«является разложением регулярной части минимальной поверхности Хь на связные открытые е Хь гладкие минимальные подмногообразия П~ с: М (число таких компонент может равняться бесконечноспш).
Тогда выполнены неравенства 0 «зцр чо1,(П,)~ Ь. До к аз а те л ьс т во. Очевидно, достаточно доказать, что зцрчо!«(ПА(Ь, так как неравенство зцрчо1,(П,))0 является непосредственным следствием из теоремы 7.2.1. Итак, допустим противное: пусть существует номер !ь такой, что выполнено неравенство чо1«(Пи))Л, Рассмотрим открытый гладкий диск 0 0«с Пи такой, что чо!ь(Пи'~0)=е, где е>0 — фиксированное (сколь угодно малое) число, при этом 0=0(е). Тогда чо1,(Пи) = г+чо1,(0). Существование такою диска следует из теоремы 7.2,1. Границу диска,0 обозначим через 5 5"-'. Тогда имеем чо1« (Хэ'~(А () О)) = чо1„(Х«~, А) — чо!ь (О) =. = уо)г(Х«~,А) — чо1„(Пь)+е;— ч«чо!„(Хэ'~(А Ц Пг))+ а (4 — 'й, ЗВВ мнннм»льныв повавкностн в в»ян»пноннык кл»сс»к О если число а достаточно мало.
Отсюда получаем, что то1» (Х»",(А Ц О)) < И вЂ” (б — й') д', то!» (Х»'~(А () О)) ~ б — (И вЂ” и) и', т. е. 1шН»(Х»'~0)=0 в группе Н»(М) н Л(Х»'~,1~, А)=0 в группе Н~ » (А). Рассмотрим следующую коммутативную диаграмму: ()--Н,(М) — ' — Н„(М, 5)" Н„,(5) ~а-,~ Н»(Х»',0)=Н,(М) — 'Н»(М, Х»'~,0) ~ Н»,(Х,',О) ~а-,~ ! ! Н»(Х») ~" Н»(М) — Н„(М, Х») — Н»,(Х») Здесь а,, ໠— нзоморфизмы, 1, — мономорфнзм (см. выше), Н»(М, 5)=Н»(М) й«Н,(0, 5) (так как сфера 5 стягивается по диску в точку) н, следовательно, гомоморфнзм «р» мономорфно отображает подгруппу Н,(0, 5) сН»(М, 5) в Н,(М, Х»'~0).
Докажем, что !»а,/,Н»(Х») с=ф»Х»(0, 5) (геометрическн втот факт очевиден). Положим $ ° * р,а»а»)„тогда ф»а» =(,а»1„. Пусть хен Н„(Х,), тогда $»(х)=у,+я», у,ен р„Н»(М), у»~ еи Н,(0, 5), ф„$, (х)=ф» (у»)+Ф,(у»). Гомоморфнзм $, допускает разложение: $ =)(„р»: Н»(Х»)» Н»(Х», 5)- Н,(М, 5), где Н»(Х», 5)~Н»(Х»~0, 5) 9Н»(0, 5), т. е. р,(х)=х,.(-»» и ф„Д»(х)=ф,)( ° (г,)+ф,)(»(х»); ясно, что ф»у»(х,)=0, т.
е, ф»ь»(х) Ф»у»(х») с=»р»Н»(0, 5), что и требовалось. Так как ф, — мономорфнзм на Н» (О. 5) (ибо 5«с 7.'» !»Н» (Х») н (, мономорфнзм), то ф»Н»(0, 5) =«5', а так как Н»'(О, 5) 5', то ф,Н»(0, 5) =5'с- 1гп(» н дч~»Н»(0, 5) =О. Поскольку гомоморфизм Н„, (А) — Н,, (Х;,О) не имеет ядра и так как йтХ,=Ф, то в силу теоремы Хопфа (напомним, что 5»=6) сфера А является ретрактом компакта Х»'~0, т. е. существует непрерывное отображение д: Х»'~0- А, тождественное на А. Рассмотрим 1=я!ас 5=д0-» А. Ясно, что степень отображения ( отлична от нуля, так как в противном случае отображение ( можно было бы продолжить до непрерывного отображения ('. О-~-А, что породило бы новое отображение (": Х»- А, тождественное на сфере А, а зто невозможно ввиду того, что по условию теоремы 1.ФО.
Итак, поскольку гп сешеа®чь0, то гомоморфнзм С,: Н»»(5)- Н,,(А) является эзп ФундАментАльные (ко)цнклы поееРхностен умнож нем на ги, Из диаграммы ЦЕ,(Д) следует, что ~р»д1ЭО. Возвращаясь к исходной диаграмме, мы видим, что гомоморфнзм ~р„т,„на подгруппе Н»(д, 5) с: Н„(М, 5) нетривнален, а тогда гомоморфнзм дф„равный ~р,т„также не может быть тривиален на подгруппе Н»(0, 5), что противоречит установленному выше соотношению дф,Н»(0, 5) О. Полученное противоречие доказывает теорему. Эта теорема может быть, конечно, сформулирована для случая теории когомологнй с целочисленными коэффициентами (ввиду наличия двойственности). В формулировке теоремы нельзя отказаться нн от одного из условий: 1. ~ О, ~' ~ 5'.
Далее, если А не является сферой 5"-', то утверждение теоремы„ т. е. неравенство чо1» (П~) ~ Л, также, вообще говоря, разрушается. Действительно, рассмотрим многообразие М= 5'хмР™, Пусть А ~Р"-»~-,~Р"= = Х», Н„(М, 5') = Н„ЯР»», 5') = У».
Пусть Л'=д,» (отметим, что Г ~5'), Н„(М)~1,', Т. 5' = Н,,(А, 5'); тогда Х»ен Н,(РР"-', 5', У») и Х, является глобально минимальной поверхностью в вариацнонном классе Ю (пространство кР" является наименьшей поверхностью в М, закленвающей какую-либо нетривиальную подгруппу Ь с= 5' = Н»,(А, 5'), е=2з). В этом случае имеем г(* и', б=б', т. е. А =О, а с другой стороны, зцр чо!» (ПД чо!» ((кР»») = б) О. В том случае, когда границей минимальной поверхности является сфера, многие гомологнческне характеристики втой поверхности могут быть сведены к гомотопическнм, и наоборот. В качестве примера укажем на теорему существования минимальной поверхности в классе пленок, граница которых †сфе н которые не ретрагнруются на эту сферу.
Тогда, оказывается, нз гомологнческой теоремы существования минимального решения можно извлечь гомотопнческую теорему существования (см. [351). Более точно: пусть компакт-граница А. гомеоморфен сфере 5'-' н вложен в Я"; рассмотрим класс К' всех компактов Х, А с= Х с: Р', которые не ретрагнруются на свою границу А. Здесь имеется в виду не деформацнонная ретракцня, а обычная ретракцня. Компакт Х ~ К* назовем простым, если он не содержит собственного подмножества (), которое также имело бы в качестве своей границы сферу А (т. е.
также не ретрагнруется на эту сферу). Тогда оказывается, что: 1) минимум объема чо!» в вариационном классе К' достигается иа нвко- Зз« минимлльиыа поваяхности в влэилционных класс«х ~гл.е тором компакте Х,ен К', 2) каждый компакт Хан К' с держит простой подкомпакт; 3) каждый простой компакт Х» ~ К', реализующий минимум объема чо1м является локально(евклидовым почти во всех своих точках (т. е. на множестве полной меры) (см.
[33]). Эта теорема сформулирована в нестабильных гомотопических терминах (ретракция). Стабильная гомотопическая ситуация полностью содержатся в нашей теореме 7.2.1 для случая экстраординарной теории гомологий И, пз. Однако «нестабильная гомотопическая теорема» сводится в данном случае к гомологической теореме существования (и вытекаег из нее). В самом деле, в силу теоремы Хопфа мы имеем следующее тождество: К» =[]Н„(5»-», („О), Ьчь0, где 6 = 5' = Р (шод 1).
Действительно, пусть Х ен К'. Надо доказать, что Кег 1,„,-60, где гомоморфизм 1: Н,,(А) » Н»,(Х) иидуцирован вложением. Если 1, — мономорфизм, то по теореме Хопфа сфера А является ретрактом компакта Х, что невозможно. Обратно, пусть Х ~ Н, (5"-', Ь,.О), 7.ФО.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
