Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 74
Текст из файла (страница 74)
TRENDS Plant Sci. 6: 349–354, 2001.2. Hill R. and Bendall F. Function of the two cytochrome components in chloroplasts: A working hypothesis. Nature 186: 136–137, 1960.3. Malkin R. and Niyogi K. Photosynthesis. In: Buchanan, W. Gruissem, and Jones R.(Eds.) Biochemistry & Molecular Biology of Plants.
Kluwer Academic Publishers,2000.4. Malkin S. Fluorescence induction studies in isolated chloroplast: On the electrontransfer equilibrium in the pool of electron acceptors of photosystem II. BBABioenergetics 234(3): 415–427, 1971.5. Nelson N. and Yocum C. F. Structure and function of photosystems I and II. Annu.Rev. Plant Biol. 57: 521–565, 2006.6. Taiz L. and Zeiger E. Plant Physiology. Sinauer Associates, 2002.7. Ризниченко Г.
Ю. Математические модели первичных процессов фотосинтеза. (Успехи науки и техники, cерия Биофизика, т. 31). М., ВИНИТИ, 1991.8. Рубин А. Б. Биофизика. Т. 2. М., Издательство МГУ, 1999.9. Рубин А. Б., Шинкарев В. П. Транспорт электронов в биологических системах. М., Наука, 1984.10. Сорокин Е. М. Нециклический транспорт электронов и связанные с ним вопросы. Физиол. растений 20: 733–741, 1973.ПРИЛОЖЕНИЕ К ЛЕКЦИИ 22НАБЛЮДАЕМОСТЬ. ИДЕНТИФИЦИРУЕМОСТЬ.ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТЬ ПО ПАРАМЕТРАМВо вводной лекции 1 мы говорили о проблеме идентификации параметровмоделей. Идентификация моделей фотосинтетического электронного транспортав хлоропластах представляет достаточно сложную специальную проблему. Большая часть параметров оценивается из результатов независимых экспериментов,проведенных в особых условиях на выделенных фрагментах фотосинтетическихреакционных центров или цитохромных комплексов в растворе, часто в специальных условиях эксперимента — под действием лазерной вспышки и в присутствииингибиторов, ограничивающих обмен электронами с внешней средой.
Многиепараметры оцениваются в процессе фитирования (подгонки) — в качестве адекватных величин параметров выбираются те, которые обеспечивают наилучшеесоответствие полученных модельных кривых экспериментальным данным.Здесь мы рассмотрим математическую постановку и решение задачи идентификации параметров для двух рассмотренных выше простых примеров — комплекса из двух переносчиков (пример А) и замкнутой системы из трех переносчиков, содержащей один электрон (примеры В).Процесс переноса электрона в фотосинтетической электрон-транспортнойцепи описывается n-мерным вектором состояний (например, состояний комплекса ФРЦ) X = (x1, х2, ..., xn) и n-мерным вектором наблюдений Y = (у1, у2, ..., yn) почислу измеряемых характеристик, причем на показания измерительных приборовможет накладываться шум ξ(t).Математическое описание процесса представляется в форме уравнения состоянияdx= F ( X, a)dt(П1)Y = H(X, a) + ξ (t ),(П2)и уравнения наблюдениягде а — m-мерный вектор неизвестных параметров системы, состоящий изкоэффициентов системы дифференциальных уравнений.
В случае электронтранспортной цепи фотосинтеза эти коэффициенты представляют собой константы скоростей отдельных реакций, соотношение концентраций и прочее.458ЛЕКЦИЯ 22МОДЕЛИ ФОТОСИНТЕТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТАЗадача идентификации состоит в том, чтобы по данным наблюдений над вектором Y(t) определить структуру уравнений состояния, оценить вектор неизвестных параметров а и вектор переменных состояния X(t).Будем считать, что структура модели уравнения (П1) известна. Пусть в точках t1, …, tk проведены измерения y1,…, yk с дисперсиями σ 12 , ..., σ n2 . Тогдаоценки параметpoв могут быть получены путем минимизации суммы взвешенных квадратов:Объект называется наблюдаемым, если по измерениям выходного сигналаможно определить его состояние. Необходимо найти условие, при котором поизмерениям у можно определить х(0).kF (a) = ∑ ωi ( yi − H (ti , a) ) ,2(П3)i =1где ωi =1σ2iy(0) = Hx(0)Н(1) = HAx(0)…………….Y(n – 1) = HAn–1x(0)459нулевое измерениепервое измерение……………..(n – 1) – у измерениеИли, транспонируя, имеем:[y ′(0) : y ′(1) : ...
: y ′( n − 1)] = x′(0)[H ′ : A′ : ... : A′n −1H ′].Так как векторы у известны — это измеренные значения на выходе системы,единственное решение х(0) существует только тогда, когда матрица. Получаемые этим методом оценки являются несмещенными.Особенностью задач фотосинтетического электронного транспорта являетсябольшая разница характерных времен отдельных процессов.
При этом одна и таже переменная может иметь участки на экспериментальной кривой как «быстрого», так и «медленного» изменения. Это затрудняет прямое применение методаквазистационарных концентраций и теоремы А. Н. Тихонова (лекция 6). В этомслучае проводят численное интегрирование системы методами, предназначенными для расчета «жестких» систем, описывающих как быстрые, так и медленныепроцессы в системе. Задача Коши является жесткой, если в локальной областизадача устойчива, т. е. собственные значения якобиана имеют отрицательныедействительные части:[H ′ : A′H ′ : ... : A′n−1H ′]имеет ранг n. В этом случае (А, Н) называются наблюдаемой парой.Объект называется идентифицируемым, если по измерениям координат состояния объекта можно определить матрицу системы А:x(1) = Ax(0)x(2) = A2x(0)……………..x(n) = Anx(0)илиRe(λi ) < 0, Re(−λmax ) / Re(−λmin ) >> 1.[x(1) : x(2) : ...: x(n)] = A′[x(0) : Ax(0) : ...: A n −1x(0)].Может возникнуть ситуация, когда в локальной области якобиан системыуравнений имеет положительную действительную часть собственных значений.В таких случаях сама задача Коши перестает быть устойчивой.
Поэтому необходима проверка системы уравнений на устойчивость, т. к. в случае неустойчивостирешений нельзя требовать устойчивости численного метода.Кроме условий устойчивости решений прямой кинетической задачи, длярешения задачи идентификации следует проверить свойства наблюдаемостии идентифицируемости системы. При выборе объекта и построении моделейважно учитывать, что условия однозначной идентифицируемости установленылишь для линейных систем с полностью наблюдаемым вектором состояний.Рассмотрим эти свойства для объектов, описываемых линейными дифференциальными или разностными уравнениями.
Пусть система описывается уравнениямиТак как векторы y известны, единственное решение существует только тогда,когда матрицаx = Ax, y = Hx.(П4)Здесь х — вектор состояния системы размерности n, у — наблюдаемый выходнойсигнал, А, Н — матрицы соответствующей размерности.[x(0) : Ax(0) : ... : A n−1x(0)]имеет ранг n.Если система не наблюдаема, она не может быть идентифицирована, так какневозможна оценка параметров, относящихся к ненаблюдаемым состояниям.Пример А.
Условия наблюдаемости и идентифицируемости для комплекса издвух переносчиковСостояние системы описывается вектором состояний x, компоненты которого xj суть вероятности состояний pi ( i = 1, 4 ) комплекса [АВ]:460ЛЕКЦИЯ 22МОДЕЛИ ФОТОСИНТЕТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТАСистема уравнений принимает видdx1dtdx2dtdx3dtdx4dt= −k1 x1 + k2 x2 ,= −(k4 + k1 + k2 ) x2 + k3 x3 ,(П5)= −k3 x3 + k1 x1 + k4 x2 + k2 x4 ,= −k2 x4 + k2 x2 .Наблюдаемой переменный является переносчик А в окисленном состоянии:y = x1 + x2 .В матричных обозначениях:x = Ax, y = Hx.(П6)Здесь⎡ k1⎢0A=⎢⎢ k1⎢⎣0k20−(k1 + k2 + k4 ) k3k4− k3k100 ⎤⎡ x1 ⎤⎡1 ⎤⎥⎢⎥⎢1 ⎥x0 ⎥, x = ⎢ 2 ⎥, H = ⎢ ⎥.⎢ x3 ⎥⎢0 ⎥k2 ⎥⎥⎢ ⎥⎢ ⎥− k2 ⎦⎣0 ⎦⎣ x4 ⎦Транспонированные матрицы А' и Н' имеют вид⎡ −k1⎢kA′ = ⎢ 2⎢ 0⎢⎣ 0k2k1−(k1 + k2 + k4 ) k4k3− k3k400 ⎤⎡1 ⎤⎥⎢1 ⎥k1 ⎥, H′ = ⎢ ⎥ .⎢0 ⎥0 ⎥⎥⎢ ⎥− k2 ⎦⎣0 ⎦Матрица D = [H ′ : AH ′ : A12 H ′ : A13 H ′] будет иметь следующий вид:⎡1−k1k12 + k1k3⎢1 −(k1 + k4 ) (k1 + k4 ) 2 + k4 (k2 + k3 )D=⎢⎢0−k3 (k1 + k3 + k4 )0⎢k 2 k30⎢⎣0A14 ⎤⎥A24 ⎥.A34 ⎥⎥A44 ⎥⎦461Приведем матрицу D к диагональному виду:⎡1 −k1k12 + k1k3D14 ⎤⎢⎥D23D24 ⎥0 − k4.D=⎢⎢0 0 −k3 (k1 + k3 + k4 ) D34 ⎥⎢⎥D44 ⎦⎥0⎣⎢0 0Здесьk 2 k3⎡ k2 (2k1 + k2 + k4 ) − (k1 + k2 + k4 ) 2 − k3 k4 ⎤⎦ − k3 k4 (k1 + k2 + 2k3 + k4 ).D44 =k1 + k3 + k4 ⎣Отсюда следует, что ранг матрицы D не равен 4 при следующих условиях: k2 = 0,или k4 = 0 или k3 = 0, или k1 + k3 + k4 = 0, илиk2 (2k1 + k2 + k4 ) − (k1 + k2 + k4 )2 − (k1 + k3 + k4 )(k1 + k2 + 2k3 + k4 ) = 0.(П7)Иными словами, система ненаблюдаема тогда и только тогда, когда выполняетсяравенство det D = 0, что эквивалентно условию (П7).
Это означает, что системаненаблюдаема только в некоторых специальных случаях, когда ее параметры связаны соотношениями (П7). В остальных случаях система наблюдаема.Исследуем условия идентифицируемости. Пусть в начальный момент временикомпонент А восстановлен, а компонент В — окислен. Это означает, что х(0) == [0 0 1 0]. Тогда матрица М = [х(0): Ах(0); А2 х(0): A3 x(0)] будет иметь следующийвид:M 14⎡1 M 12 M 13⎤⎢0 k⎥MM32324⎢⎥⎥.M 34M = ⎢ 0 0 k 2 k3[П8]⎢⎥2k k⎢0 00− 1 3 (k4 + k3 − k2 ) + k2 k3 (k4 + k3 − k2 ) ⎥⎥⎢k2⎣⎦Система неидентифицируема только тогда, когда det М = 0. Это эквивалентноусловию:k2 = 0, k3 = 0, k2 = k1 , k4 + k3 − k2 = 0.Таким образом, система переноса электрона в комплексе двух переносчиковненаблюдаема и неидентифицируема лишь при выполнении специальных условий(П7, П8).
В остальных случаях она идентифицируема по наблюдаемой переменнойу, которая представляет собой степень окисленности донорного компонента.Пример В1. Наблюдаемость и идентифицируемость комплекса ФСIСхема переходов между состояниями имеет нижеследующий вид (22.6):462ЛЕКЦИЯ 22МОДЕЛИ ФОТОСИНТЕТИЧЕСКОГО ЭЛЕКТРОННОГО ТРАНСПОРТАСостояние системы описывается вектором х, компоненты которого соответствуют вероятностям состояний p1, p2. Система уравнений с учетом условия замкнутости системы принимает видВажным моментом является знание чувствительности системы к изменениюпараметров. Применительно к задачам фотосинтетического электронного транспорта задача исследования чувствительности может быть сформулирована так:насколько вариация тех или иных элементарных констант реакций скажется наповедении расчетных кинетических кривых или других зависимостей, используемых для идентификации параметров.
Очевидно, что эффективную оценку параметров из модели можно проводить для тех параметров ai, к которым оценочная функция (П3) обладает высокой чувствительностью. Для проверки чувствительностимодели к отдельным параметрам используются различные методы, в том числестатистические испытания и аппарат функций чувствительности.dx1= − x1 (k−0 + k1 ) + k0 (1 − x1 − x2 ),dtdx2= x1k1 − kc x2 .dtПусть наблюдаемыми являются переменные: у1 = x1 + х2 (соответствует степени окисленности фотоактивного пигмента) и у2 = х2 (соответствует интенсивности замедленной люминесценции). Введем новые переменные:x1′ = x1 + x2 ; x2′ = x2 .Тогда в матричных обозначенияхx = Ax, y = Hx.Здесь A =−(k−0 + k0 ) (k0 − kc )x1 0, x= 1 , H=. Имеем:k1−(k1 + kc )x20 1H1 : A1 H1 =1 0 −(k−0 + k0 )k1.0 1 (k0 − kc ) − (k1 + kc )Первые два столбца матрицы линейно независимы, она имеет ранг 2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
