Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 68
Текст из файла (страница 68)
M. The chemical basis of the morphogenesis. Phil. Trans. R. Soc. London B 237: 37–71, 1952.13. Turchin P. Quantitative analysis of movement: Measuring and modeling populationredistribution in animals and plants. Sunderland, MA, Sinauer Associates, 1998.14. Tyutyunov Yu., Senina I., Jost C., Arditi R. Clustering due to acceleration in theresponse to population gradient: A simple self-organization model. Am.
Nat. 164:722–735, 2004.15. Базыкин А. Д., Маркман Г. С. О диссипативных структурах в экологическихсистемах. В кн.: Факторы разнообразия в математической экологии и популяционной генетике, с. 135–148. Пущино, ОНТИ НЦБИ АН СССР, 1980.16. Белотелов Н. В., Саранча Д. А. Линейный анализ устойчивости двухуровневых систем с диффузией. В кн.: Проблемы экологического мониторингаи моделирование экосистем. Л., 1985.17. Березовская Ф. С., Карев Г.
П. Модель динамики популяций с неподвижныматтрактантом: Решения типа «бегущие волны». В кн.: Математика. Компьютер. Образование. Сборник тезисов, вып. 6, с. 444–449. М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 1999.18. Ризниченко Г. Ю., Рубин А. Б. Биофизическая динамика продукционныхпроцессов. М.–Ижевск, ИКИ–РХД, 2004.19. Тютюнов Ю. В., Сапухина Н. Ю., Моргулис А.
Б., Говорухин В. Н. Математическая модель активных миграций как стратегии питания в трофическихсообществах. Ж. Общ. Биол. 62(3): 253–262, 2001.20. Тютюнов Ю. В., Сапухина Н. Ю., Сенина И. Н., Ардити Р. Явная модель поискового поведения хищника. Ж. Общ. Биол. 63(2): 137–148, 2002.Нелинейная динамика концентрации протонови потенциала. Кинетическая модель работыпротонной АТФазы. Уравнение, описывающеединамику концентрации протонов во внешнейсреде. Вывод уравнения для динамики потенциала.Колебания в локальной системе. Структуры рНи потенциала в распределенной системе. Схемавзаимодействия процессов фотосинтеза и ионныхпотоков, приводящая к нелинейной динамике.Существует не много объектов, на которых можно экспериментально наблюдать и воспроизводить нелинейные явления на уровне отдельной клетки.
К такимобъектам относятся гигантские клетки (несколько сантиметров длиной) водорослиNitella и Chara corallina, вдоль клеточной мембраны которых при освещении светом образуются периодические зоны с разным значением pH. Хорошая изученность процессов на субклеточном уровне, возможность наблюдать переходныепроцессы возникновения структур и управлять процессом, меняя режимы освещения объекта и оказывая электрические воздействия на клеточную мембрану,делает клетки Nitella и Chara corallina уникальным модельным объектом для изучения нелинейных явлений в биологических системах, как экспериментальнымиметодами, так и методами математического моделирования.
Содержание настоящей лекции основано на результатах, полученных в работах Т. Ю. Плюсниной,А. И. Лавровой и др. на кафедре биофизики биологического факультета МГУ [8,12, 14].Клетки водорослей Chara corallina и Nitellopsys abtusa обладают большимиразмерами (диаметром 0.6–1.0 мм и длиной 40–80 мм), и имеют более простоестроение по сравнению с клетками высших растений или животных. На светув течение 10–40 минут вдоль мембраны клетки возникают устойчивые зоныс различными величинами рН и электрического потенциала, между которымициркулируют токи порядка 1 мкА [2, 3]. При освещении значение рН в «щелочной» зоне увеличивается до 9.5–10 от исходного уровня рH = 7–8 в темноте, тогдакак в «кислой» зоне значение рН уменьшается до 6–6.5.
Таким образом, разница взначениях рН образованных структур может достигать 2.5–3 единиц.Локальные изменения величин трансмембранного потенциала и рН вблизимембраны могут носить колебательный характер, при освещении клетки Nitellaмогут возникать как спонтанные незатухающие колебания трансмембранногопотенциала, так и затухающие колебания. Колебания могут быть связаны с зонами разного рН, но могут возникать и независимо от зонообразования [3, 4].Первоначально наблюдаемые явления связывали со структурной неоднородностью мембран.
В последнее время все большее число исследователейсклоняется к тому, что такие явления обусловлены спецификой работы транспортных систем клетки: АТФаз, каналов, антипортеров и т. д. и неоднороднымраспределением потоков. С этой точки зрения зоны различной кислотностивдоль клеточной мембраны являются примером диссипативных структур (лекция 16) в живых системах.Возникновение зон может быть описано с помощью моделей реакция–диффузия тьюринговского типа, при этом реагентами являются ионы водородаи бикарбонат-ионы НСО3– [6, 9, 10]. Их взаимодействие и различия в коэффициентах диффузии могут обеспечить образование чередующихся зон с разными величинами рН.426ЛавроваАнастасияИгоревна — выпускница и аспирантка кафедры биофизики биологическогофакультетаМГУ, специалист в области математическогомоделирования в биологииЛЕКЦИЯ 21В работах Т. Ю.
Плюсниной и А. И. Лавровой разработанамодель, описывающая связь процессов трансмембранногои латерального (вдоль мембраны) переноса протонов и распределения потенциала вдоль мембраны. Для описания трансмембранного переноса протонов используются данные о каталитическом цикле работы АТФазы и ион-проводящих каналов.Распределение потенциала вдоль мембраны описывается исходя из кабельных свойств клеточной мембраны. При построении модели предполагали, что основным процессом, определяющим нелинейный характер изменений мембранногопотенциала, является перенос ионов, в частности протонов,через мембрану.
В модели подробно описана кинетика протонного переноса, а потоки других ионов учтены в виде общего дополнительного члена.Кинетическая модель работы протонной АТФазы (помпы)Протонная помпа «откачивает» ионы Н+ из цитоплазмы во внеклеточнуюсреду.
Схема предполагаемого строения Н+-АТФазы изображена на рис. 21.1.КОЛЕБАНИЯ И ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ 427в единую транспортную систему. Чтобы определить конкретный вид потока протонов через H+-АТФазу, рассмотрим кинетическую схему работы фермента(рис. 21.2).Outk−062k−05E4E2k H оut2k60 H оut Фk−02 e−ϕk20 eϕk−01 АДФk40 eϕ2k−03E3E12k10 H in АТФE605E5k30 H inInРис. 21.2.
Кинетическая схема работы протонной АТФ-азы. Out — внешняя сторонамембраны, In — внутренняя сторона мембраны, Hin — концентрация протонов в цитоплазме, Hоut — концентрация протонов снаружи клетки. Е1, E2, E3, E4, E5, E6 — конформационные состояния фермента, k20eψ , k−02e−ψ , k40eψ — потенциалозависимые константыпереноса протона с внутренней одной мембраны на другую, k10 , k−01 , k30 , k−03 — константыприсоединения и отсоединения протонов из цитоплазмы, k50 , k−05 , k60 , k−06 — константыприсоединения и отсоединения протонов снаружи клетки.Предполагается, что фермент имеет два сайта связывания субстрата (протонов). Связывание протона одним сайтом не зависит от связывания другого протона другим сайтом.
Константы k1 (моль ⋅ с1 ⋅ м3) и k−1 (с1) характеризуют присоеди-Рис. 21.1. Предполагаемое строение растительной Н+-АТФазы [7]. C-домен — большаяцитоплазматическая петля, участвующая в процессах присоединения АТФ и фосфорилирования. В-домен — малая цитоплазматическая петля, J-домен участвует в транслокации протонов из цитоплазмы во внешнюю среду.По пассивным каналам ионы Н+ возвращаются в клетку. Существуют предположения, что АТФаза и протонные каналы структурно связаны между собойнение и отщепление протона, множитель 2 (в выражениях 2 k−1 ,2 k1 Hi) характеризует равновероятную возможность связывания субстрата любым из сайтов, либоотсоединения от любого из сайтов. Константы k2 (с1), k3 (с1) характеризуют перенос протона через мембрану во внешнюю среду, k−2 (с1) — перенос протоновв клетку.
Предполагается, что вероятность переноса протонов через мембранузависит от трансмембранного потенциала ϕ. Вероятности переноса соответствуют кинетическим константам электрогенного перехода k−2 , k2 и k3. В модели зависимость константы переноса протона с одной стороны мембраны на другую отпотенциала ϕ учтена в следующем виде:⎛ Fϕ ⎞⎛ Fϕ ⎞⎛ Fϕ ⎞00k−2 = k−02 exp ⎜ −⎟ , k2 = k2 exp ⎜⎟ и k3 = k3 exp ⎜⎟.22RTRT⎝ 2 RT ⎠⎝⎠⎝⎠428ЛЕКЦИЯ 21Предполагается, что вероятность переноса с внешней стороны мембраны навнутреннюю двух протонов мала, поэтому переход из Е5 в Е6, соответствующийпереносу второго протона, в данной схеме не рассматривается.На основании кинетической схемы (рис.
21.2) можно записать систему кинетических уравнений:d[H o ]= k−1[ E3 ] − 2k1[ H o ][ E1 ] − k1[ H o ][ E3 ] + 2k−1[ E5 ],dtd [ E1 ]= k−1[ E3 ] − 2k1[ H o ][ E1 ],dtd [ E2 ]= k−1[ E4 ] − 2k1[ H i ][ E2 ],dtd [ E3 ]= 2k1[ H o ][ E1 ] − k−1[ E3 ] + 2k−1[ E5 ] − k1[ H o ][ E3 ] − k−2 [ E3 ] + k2 [ E4 ], (21.1)dtd [ E4 ]= 2k1[ H i ][ E2 ] − k−1[ E4 ] + 2k−1[ E6 ] − k1[ H i ][ E4 ] + k−2 [ E3 ] − k2 [ E4 ],dtd [ E5 ]= k3 [ E6 ] + k1[ H o ][ E3 ] − 2k−1[ E5 ],dt[ E1 ] + [ E2 ] + [ E3 ] + [ E4 ] + [ E5 ] + [ E6 ] = E0 .где [Н0] — концентрация протонов в среде (моль ⋅ м–3), [Hi] — концентрация протонов в цитоплазме (моль ⋅ м-3). В данной модели [Hi] является параметром, [Е1]–[E6]концентрации фермента в различных конформационных состояниях (моль ⋅ м–3).[Е1] — концентрация фермента в активном состоянии, [Е2] — в неактивном состоянии, [Е3], [Е4] — концентрации фермента в состоянии, когда один из сайтов занятсубстратом, [Е5], [Е6] — концентрации фермента в состоянии, когда два сайта заняты субстратами.
Е0 — полная концентрация фермента.Первое уравнение системы (21.1) описывает изменение концентрации протонов [ H 0 ] снаружи клетки за счет работы АТФазы. Последнее уравнение следуетиз допущения о постоянстве суммарной концентрации фермента во всех состояниях Н+-АТФазы. Остальные пять уравнений описывают изменение концентраций различных форм фермента.Уравнение, описывающее динамику концентрации протоновво внешней средеПредполагается, что изменение концентрации каждой из форм АТФазы происходит намного быстрее, чем изменение концентрации протонов во внешнейсреде. Поэтому состояние фермента в любой из форм можно рассматривать какквазистационарное и свести уравнения, описывающие изменения концентрацийвсех форм фермента, к алгебраическим.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
