Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (2-е издание) (1117248), страница 21
Текст из файла (страница 21)
Для того чтобы представить себе такое преобразование на поверхности, представим себе, что поверх-ЛЕКЦИЯ 6ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХность резиновая, ее можно сжимать и изгибать, но нельзя перекручивать. Притаких преобразованиях все начальные точки будут однозначно переходить в точки деформированной «резиновой» поверхности. Незамкнутые кривые будут переходить в незамкнутые, замкнутые — в замкнутые, связность множеств не будетнарушаться. Такое преобразование происходит с фазовыми кривыми при невырожденном непрерывном преобразовании координат.Недаром говорят, что топология — это «резиновая геометрия».Если фазовые портреты при значениях α > α* и α < α* топологически не эквивалентны, это означает, что при α = α ∗ происходит качественная перестройкасистемы.
Тогда α* — бифуркационное значение параметра.Простейший пример бифуркационного значения параметра — нулевое значение собственной константы скорости роста в уравнении экспоненциальногороста (2.7):(σ = 0 или Δ = 0), а начало координат — бифуркацию коразмерности 2 (σ = 0 и Δ = 0).Бифуркации разделяют на локальные и нелокальные. Всерассмотренные нами ранее бифуркации, а также другие бифуркации смены устойчивости или исчезновения предельного множества в результате слияния с другим предельныммножеством (как мы это увидим при параметрическом переключении триггера в лекции 7) — локальные.
Они диагно- Том Рене Фредерикстируются с помощью линейного анализа ляпуновских пока- (Thom Frederik Rene,— француззателей (характеристических, или собственных, чисел). Нело- 1923–2002)ский математик, авторкальные бифуркации нельзя определить на основе линейного работ в области алгеби диффеанализа окрестности стационарного состояния, здесь требу- раическойренциальной тополоется нелинейный анализ системы.
К нелокальным бифурка- гии, создатель теориициям относятся образование сепаратрисных петель, касание катастроф.аттрактором сепаратрисных кривых или поверхностей.Бифуркации аттракторов принято подразделять на мягкие(внутренние) бифуркации и кризисы (жесткие бифуркации).Внутренние бифуркации приводят к топологическим изменениям самих притягивающих множеств, не затрагивая их бассейнов притяжения — областей, из которых фазовые траектории сходятся к данному аттрактору.Кризисы — бифуркации аттракторов, сопровождающиеся качественной перестройкой границ областей притя- Арнóльд Владимир(1937–жения (бассейнов) аттракторов.
Примером является бифур- Игоревич2010) —советскийкация слияния устойчивого узла с седлом, в результате чего и российский матемаАвтор основополааттрактор исчезает. Подробнее мы рассмотрим эту бифурка- тик.гающих работ в области топологии, теориицию ниже.Часто кроме бифуркационных диаграмм для наглядности дифференциальныхуравнений,теориистроят фазопараметрические диаграммы. В этом случае по особенностей гладкихи теореодним координатным осям откладывают значения парамет- отображенийтической механики.ров, а по другим — динамические переменные или связанныес ними величины.
Получают некоторую гиперповерхность, точки которой соответствуют определенным динамическим режимам, меняющимся с изменениемпараметров. Бифуркации на таких диаграммах могут проявляться в образованиискладок поверхности или в расщеплении ее на несколько частей.Резкие значительные изменения переменных состояния динамической системы, вызванные малыми возмущениями в правых частях уравнений, в частности, малыми изменениями параметров, часто называют катастрофами. Теориякатастроф была развита топологом Рене Томом (Thom, 1972). В основу ее была положена разработанная ранее теория особенностей Уитни.
Показано, чтосуществует небольшое количество элементарных катастроф, с помощью которых можно локально описать поведение системы. С основами теории катастрофможно познакомиться по книге В. И. Арнольда «Теория катастроф».128dx= rx.dtПри r > 0 стационарное значение ⎯x = 0 — неустойчиво, при r < 0 — устойчиво. r* = 0 — бифуркационное значение параметра. Напомним, что биологический смысл величины r — разница коэффициентов рождаемости и смертности.Если рождаемость преобладает — популяция растет, если преобладает смертность — вымирает.
Переход от выживания к вымиранию — качественная перестройка системы.С понятием бифуркации мы также столкнулись в лекции 3, когда рассматривали смену режимов в дискретном уравнении Ферхюльста при увеличении параметра роста. Там режим монотонного роста сменялся режимом двухточечногоцикла, следующее бифуркационное значение параметра приводило к четырехточечному циклу, каждая дальнейшая бифуркация вела к удвоению предельногоцикла и, наконец, наступал хаос.Бифуркационную диаграмму для системы двух линейных автономных уравнений мы рассматривали в лекции 4 (рис. 4.10).
На ней мы видим бифуркационные границы двух типов: линии — оси координат 0 < x < ∞, −∞ < y < ∞, которыеотделяют области с разным типом особой точки или разным типом устойчивости,и точку (0, 0) — начало координат, где соприкасаются несколько различных областей. Отметим, что границы «устойчивый узел – устойчивый фокус» и «неустойчивый фокус – неустойчивый узел» не являются бифуркационными, т. к.
переход «узел ↔ фокус» (без смены устойчивости) приводит к топологически эквивалентному фазовому портрету (его можно получить, «изгибая» плоскость).Для оценки «сложности» бифуркации вводится понятие «коразмерности».Коразмерность k совпадает с числом параметров, при независимой вариации которых эта бифуркация происходит. В системе происходит бифуркация коразмерности k (codim k, dimension — размерность), если в ней выполняются k условийтипа равенств. Значение k = 0 соответствует отсутствию бифуркации в даннойточке. На рис.
4.10 линии представляют собой бифуркации коразмерности 1129130ЛЕКЦИЯ 6Модельные системыДля описания событий, происходящих вблизи бифуркационной границы,удобно использовать системы самых простых уравнений, обычно — полиномиальных, которые описывают качественные особенности процесса. Такие системыназываются модельными и активно используются в теории бифуркаций и в теории катастроф.
Например, для системы, которая может быть описана одним автономным дифференциальным уравнением, модельная система имеет видdx= ax + Q( x).dtЗдесь Q(x) — нелинейная функция. Условием вырождения (бифуркации) является равенство нулю коэффициента a, то есть отсутствие в правой части линейного члена.В качестве модельной системы, описывающей бифуркацию коразмерности k,обычно выступает полиномиальная система l ≤ k уравнений, зависящая от k малых параметров. При нулевых значениях параметров в системе возникает вырождение, а при вариации параметров происходит бифуркация. В простейшем случаев качестве параметров выступают вещественные части собственных чисел. Размерность модельной системы l совпадает с количеством собственных чисел, вещественные части которых обращаются в нуль при бифуркационном значениипараметра α.Рассмотрим основные бифуркации — катастрофы.Седло-узловая бифуркация (складка)ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ131При α > α* положение равновесия исчезает (рис.
6.5в). Переменная x с течением времени стремится к бесконечности. Поскольку в результате бифуркацииаттрактор (узел) исчезает, границы бассейнов должны качественно перестроиться. Следовательно, данная бифуркация является кризисом (катастрофой). Простейшая модельная система, описывающая данную бифуркацию, имеет вид(6.17)x = α + x 2 , α > 0.Уравнение (6.17) имеет в области действительных чисел два стационарныхсостоянияx1 = −α , x2 = − −αтолько при α < 0. При α > 0 уравнение (6.17) не имеет действительных корней(рис. 6.6а)Линеаризуем уравнение (6.17) в окрестности стационарного состояния. Дляотклонения от стационарного состояния ξ = x − x имеем:dξ= 2 xξ .dtСобственное значение для первого, положительного, корня λ 1= 2 −α .
Собственное значение для второго, отрицательного, корня λ 1= −2 −α .Таким образом, х1 — неустойчивое состояние, ⎯ х2 — устойчивое. При α = 0имеем ⎯ х1 = х2 = 0, и собственное значение в этой точке равно нулю. Бифуркация имеет коразмерность 1, так как выделяется одним условием λ(α) = 0.На рис.
6.6а изображена фазопараметрическая диаграмма системы (6.17).Если бифуркация седло-узел происходит в двупараметрической системе, тов фазопараметрическом пространстве ей соответствует особенность (катастрофа)типа складка вдоль линии l* на плоскости параметров (рис. 6.6б).Пусть в системе при α < α* существуют два состояния равновесия: устойчивый узел Q и седло S (рис. 6.5, а).
При α = α* происходит слияние узла и седла с образованием негрубого состояния равновесия, называемого седло-узел.(рис. 6.5, б).Рис. 6.5. Бифуркация седло-узел.Рис. 6.6. Фазопараметрическая диаграмма бифуркации седло-узел: а — с одним управляющим параметром (при α > 0 в системе нет устойчивых равновесий, при α < 0в системе два равновесия, устойчивое и неустойчивое) б — бифуркации седло-узелс двумя управляющими параметрами (катастрофа типа складка). l* — линия бифуркации на плоскости параметров α1, α2.ЛЕКЦИЯ 6132ПРОБЛЕМА БЫСТРЫХ И МЕДЛЕННЫХ ПЕРЕМЕННЫХ133Поясним, как можно пользоваться образами теории катастроф при изученииматематических моделей на примере модели второго порядка, содержащей переменные x и u: u — это фактически управляющий параметр α, бифуркационномузначению которого α = α* соответствует u = 0.Пусть x — «быстрая» переменная, но исключить ее нельзя, поскольку системане удовлетворяет условиям теоремы Тихонова (см.
выше), так как быстрый процесс не везде устойчив. «Складка» соответствует моделиdu= Q(u , x).dtdx= P(u , x) = −u + x 2.dtτ(6.18)Здесь τ >> 1, характерное время изменения переменной x будем считать порядка единицы. Изоклина P = 0 имеет устойчивую ветвь — аттрактор в форме«складки». При медленном уменьшении u в соответствии с первым уравнением(6.18) при достижении u = 0 произойдет срыв изображающей точки, которая либоуйдет на ∞, либо перескочит на другой устойчивый аттрактор. Заметим, чтов реальных моделях такая устойчивая ветвь всегда присутствует.Катастрофа типа «складка» появляется в моделях, описывающих релаксационные колебания, «ждущие» режимы и триггерные системы (параметрическоепереключение).
Модели, имеющие бифуркации типа «складка», используютсяпри описании автоволновых процессов и диссипативных структур.Рис. 6.7. Трансформации фазового портрета при бифуркации «рождение двух узлови седла между ними из устойчивого узла»: а — фазовый портрет в незаштрихованнойобласти (рис. 6.8 а); б — фазовый портрет на границе l1; в — фазовый портрет на границе l2; г — фазовый портрет в заштрихованной области представлен двумя устойчивымиузлами и седлом между ними.Трехкратное равновесие (сборка)Бифуркация состоит в слиянии трех состояний равновесия — узлов Q1, Q2и седла Q0 между ними (в рождении двух устойчивых узлов и седла между ними — из устойчивого узла), как показано на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
