Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 5

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 5)

2.1)Пустьзаданыначальныеусловияпри t=0или,иначе,пустьнаплоскости t, x задана точка с координатами. Если для уравнения (2.1) выполненыусловия теоремы Коши, то имеется единственное решение уравнения (2.1),удовлетворяющее этим начальным условиям, и через точкуединственная интегральная кривая x(t).проходит однаИнтегральные кривые уравнения (2.1) не могут пересекаться. Решенияуравнения (2.1) не могут быть периодическими, они монотонны.Поведение интегральных кривых на плоскости t, x можно установить, не решая в явномвиде дифференциального уравнения (2.1), если известен характер движенияизображающей точки на фазовой прямой.Рассмотрим плоскость t, x, причем фазовую прямую совместим с осью x.

Построим наплоскости t, x точку с абсциссой t и с ординатой, равной смещению изображающей точкипо оси x в данный момент времени t. С течением времени в соответствии с уравнением(2.1) изображающая точка будет двигаться по фазовой прямой (рис. 2.2), а наплоскости t, x описывать некую кривую. Это будет интегральная кривая уравнения (2.1).Решения одного автономного дифференциального уравнения либо уходят вбесконечность (чего не бывает в реальных системах), либо асимптотически приближаютсяк стационарному состоянию.Стационарное состояние (точка покоя, особая точка, состояние равновесия)В стационарном состоянии значения переменных в системе не меняются современем. На языке дифференциальных уравнений это означает:(2.2)Если левая часть уравнения равна нулю, значит равна нулю и его правая часть:f(x) = 0.Корни алгебраического уравнения (2.3):(2.3)суть стационарные состояниядифференциального уравнения (2.1).

На плоскости (t, x)прямые– асимптоты, ккоторым приближаются интегральные кривые. На фазовой прямой (рис. 2.2) стационарноесостояние– точка, к которой стремится величина x.Реальные биологические системы испытывают многочисленные флуктуации,переменные при малых отклонениях возвращаются к своим стационарнымзначениям. Поэтому при построении модели важно знать, устойчивы листационарные состояния модели.Устойчивость состояния равновесияКаждый имеет интуитивное представление об устойчивости. На рис. 2.3. в обоихположениях (а и б) шарик находится в равновесии, т.к.

сумма сил, действующих на него,равна нулю.Попытайтесь ответить на вопрос: «Какое из этих состояний равновесия устойчиво?»Скорее всего, Вы дали правильный ответ. Сказать, как Вы догадались? Вы дали шарикумалое отклонение от состояния равновесия. В случае (а) шарик вернулся. В случае (б)покинул состояние равновесия навсегда.Устойчивое состояние равновесия можно определить так: если при достаточно маломотклонении от положения равновесия система никогда не уйдет далеко от особой точки,тоособаяточкабудет устойчивымсостояниемравновесия, чтосоответствует устойчивому режимуфункционирования системы.Строгое математическое определение устойчивости состояния равновесияуравнения dx/dt = f(x) выглядит следующим образом :Состояние равновесия устойчиво по Ляпунову, если задав сколь угодно малоеположительное , всегда можно найти такое , чтодляесли.Иначе говоря, для устойчивого состояния равновесия справедливо утверждение: если вмомент временипоследующийотклонение от состояния равновесия мало (моментвремени), то в любойотклонение решения системыотсостоянияравновесия будет также мало:.Другими словами: cтационарное состояние называется устойчивым, если малыеотклонения не выводят систему слишком далеко из окрестности этого стационарногосостояния.

Пример — шарик в ямке (с трением или без трения).Стационарное состояние называется асимптотически устойчивым, если малыеотклонения от него со временем затухают. Пример — шарик в ямке в вязкой среде.Стационарное состояние называется неустойчивым, если малые отклонения современем увеличиваются. Пример: шарик на горке.Устойчивое стационарное состояние представляет собой простейший типаттрактора.Аттрактором называется множество, к которому стремится изображающая точкасистемы с течением времени (притягивающее множество).В нашем курсе мы рассмотрим следующие типы аттракторов:устойчивая точка покоя;предельный цикл — режим колебаний с постоянными периодом и амплитудой(начиная с размерности системы 2);Области с квазистохастическим поведением траекторий в областиаттрактора, например, «странный аттрактор» (начиная с размерности 3).Аналитический метод исследования устойчивости стационарного состояния (методЛяпунова).

Линеаризация системы в окрестности стационарного состояния.Метод Ляпунова приложим к широкому классу систем различной размерности, точечнымсистемам, которые описываются обыкновенными дифференциальными уравнениями, ираспределенным системам, описываемым уравнениями в частных производных,непрерывным и дискретным.РассмотримметодлинеаризацииЛяпуновадляодногоавтономногодифференциального уравнения первого порядка.

Пусть — стационарное решениеуравнения:(2.1)Пусть система, первоначально находившаяся в стационарном состоянии, отклониласьот него и перешла в близкую точку с координатой:, причем.Перейдем в уравнении (2.1) от переменной x к переменнойбудет отклонение системы от стационарного состояния., т.е. новой переменнойПолучим:.Учтем, чтопо определению стационарного состояния.Правую часть разложим в ряд Тейлора в точке :илигдеОтбросим члены порядка 2 и выше. Останется линейное уравнение:(2.4)которое носит название линеаризованного уравнения или уравнения первого приближения.Интеграл этого уравнения длянаходится сразу:,где(2.5), с — произвольная постоянная.Если0, то прии, следовательно, первоначальное отклонение отсостояния равновесия со временем затухает.

Это означает, по определению, что состояниеравновесия устойчиво.Если же 0, то при, и исходное состояние равновесия неустойчиво.Если =0, то уравнение первого приближения не может дать ответа на вопрос обустойчивости состояния равновесия системы. Необходимо рассматривать члены болеевысокого порядка в разложении в ряд Тейлора.

Такие случаи мы рассмотрим в лекции 6.Аналогичные рассуждения проводятся при рассмотрении устойчивостистационарных состояний более сложных динамических систем.Итак, устойчивость стационарного состоянияуравнения dx/dt=f(x) определяетсязнаком производной правой части в стационарной точке.В случае одного уравнения вопрос об устойчивости состояния равновесия нетруднорешить, рассматривая график функции f(x).По определению в стационарной точке правая часть уравнения (2.1) функция f(x) обращается в нуль.Здесь возможны три случая (рис.

2.4 а, б, в).1. Вблизи состояния равновесия функция f(x) меняет знак с плюса на минус привозрастании x (рис.2.4 а).Отклоним изображающую точку системы в сторону. В этой области скоростьизменения x dx/dt = f(x) положительна. Следовательно, xувеличивается, т.е. возвращаетсяк .Прискоростьизменениявеличины x уменьшается,т.к. функция f(x) 0. Следовательно, здесь xуменьшается и опять стремится к .

Такимобразом, отклонения от стационарного состояния в обе стороны затухают. Стационарноесостояние устойчиво.Рис. 2.4. Определение устойчивости стационарного состояния по графику функции f(x)a – стационарное состояние устойчиво;б, в - стационарное состояниенеустойчиво2. Вблизи состояния равновесия функция f(x) меняет знак с минуса на плюс привозрастании x (рис. 2.4 б).Проведите рассуждения, аналогичные случаю 1.

Поместите изображающую точку вобласть. Теперь в область.В обоих случаях изображающая точка удаляется от состояния равновесия.Стационарное состояние неустойчиво.3. Вблизи состояния равновесия функции f(x) не меняет знак (рис 2.4 в).Поскольку, это означает, что изображающая точка, помещенная достаточноблизко к состоянию равновесия с одной стороны, будет приближаться к нему,помещенная с другой стороны – удаляться.Вопрос. Является ли состояние равновесия в случае 3 устойчивым?Ответ. Нет.

По определению устойчивости.Примеры1. Рост колонии микроорганизмовЗа времяt прирост численности равен:x=R–S,где R – число родившихся и S – число умерших за времяэтому промежутку времени:t особей пропорциональныеВ дискретной форме:.Разделив наt и переходя к пределу при t0, получим дифференциальное уравнение.(2.6)В простейшем случае, когда рождаемость и смертность пропорциональнычисленности:,(2.7)Разделим переменные и проинтегрируем:Переходя от логарифмов к значениям переменной x и определяя произвольнуюпостоянную С из начальных условий, получим экспоненциальную форму динамики роста.(2.8)График функции (2.8) при положительных (размножение) и отрицательных(вымирание) значениях константы скорости роста представлен на рис.

2.5. Рольэтой модели в развитии математической биологии и экологии мы обсудим вЛекции 3.2. Вещество переходит в растворПусть количество вещества, переходящего в раствор, пропорционально интервалувремени и разности между максимально возможной концентрацией Р и концентрацией x вданный момент времени:.В форме дифференциального уравнения этот закон выглядит вследующем виде:.Разделим в этом уравнении переменные, и проинтегрируем:(2.9)(2.10)Здесь C1 — произвольная постоянная.

Если x (0) = 0,График этой функции представлен на рис. 2.6. – он представляет собойкривую с насыщением.Какие дифференциальные уравнения можно решать аналитически?Лишь для ограниченных классов дифференциальных уравненийразработаны аналитические методы решения. Подробно они изучаются в курсахдифференциальных уравнений. Отметим основные из них/1. Уравнения с разделяющимися переменными решаются в интегралах. К ним относятсяоба приведенные выше примера.2.

Характеристики

Список файлов лекций