Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 26
Текст из файла (страница 26)
Множества W иW устойчивое и неустойчивое многообразия седла.При инверсии времени (такую возможность предоставляют большинствосовременныхматематическихпакетовдлявизуальногорешениядифференциальных уравнений) аттракторы системы становятся репеллерами,репеллеры – аттракторами, а у седел меняются ролями устойчивое инеустойчивое многообразия.Мы знакомы с простейшими предельными множествами динамическойсистемы – состояниями равновесия (лекция 4). Устойчивый узел и устойчивыйфокус являются аттракторами, неустойчивый узел и неустойчивый фокус –репеллерами. Седлами являются простое седло, рассмотренное в лекции 4, иседло-фокус, реализуемый в фазовом пространстве с размерностью N 3 (рис.10.2).Рис.
10.2. Седло-фокусы в пространстве N = 3.a) р1 действительноисопряженные, Re р2,3 > 0; б) р1 действительносопряженные,Re р2,3 < 0отрицательно, р2,3 –иположительно, р2,3 –комплекснокомплексноТочка типа «центр», которую мы рассматривали в простейшейвольтерровской системе «хищник-жертва» (лекция 5) не является ниаттрактором, ни репеллером, ни седлом, так как не существует множества точек,стремящихся к центру в прямом или обратном времени. Это особый случайпредельного множества, для которого V = L. Такая особая точка являетсянегрубой.Предельное множество в виде замкнутой кривой также может бытьаттрактором – устойчивый предельный цикл, репеллером неустойчивый (см.лекция 8). Седловые предельные циклы существуют лишь в фазовомпространстве размерности N 3.Таким же образом подразделяются тороидальные предельные множества,соответствующие квазипериодическим колебаниям с двумя несоизмеримымичастотами.
Седловые торы существуют в пространстве N 4.Все перечисленные предельные множества представляют собой простые вгеометрическом смысле множества точка, кривая, поверхность – целойразмерности (0, 1, 2). Их называют регулярными. Отметим, что с увеличениемразмерности фазового пространства старые типы предельных множеств,присущие пространствам малой размерности, сохраняются, и появляютсяновые.В системах с размерностью фазового пространства N 3 возможныустановившиеся изменения переменных, не являющиеся ни периодическими, никвазипериодическими.Такимхаотическимизменениямпеременныхсоответствуют аттракторы, представляющие собой геометрически сложныемножествадробнойразмерности,названные «хаотическимиаттракторами». Пример одной из классических систем, демонстрирующихдетерминированный хаос, представляет система Ресслера:(10.3)Траектории системы (10.3) напоминают клубок спутанных ниток (рис.10.3).Линейный анализ устойчивости траекторий.Линейный анализ устойчивости траекторий проводится подобно тому, как мыпроводили линейный анализ устойчивости стационарных состояний в лекции 4.Поскольку мы анализируем малое возмущение, можно линеаризовать операторэволюции в окрестности исследуемой траектории и провести линейный анализее устойчивости.Для автономной динамической системыx – вектор переменных,вектор параметров, F – вектор-функциякомпонентами fj.Нас интересует устойчивость решения x0(t)Введем малое возмущение y = x(t) – x0(t).
Для него можно записатьсРаскладывая F(x0 +y) в ряд в окрестности x0 и учитывая малость возмущения,получим линеаризованное уравнение относительно y:(10.4)где А – матрица линеаризации системы с элементамиМатрица А характеризуетсязначениями i:собственнымиAei = iei , i=1,2,…,N.векторами еi исобственными(10.5)Собственные числа являются корнями характеристического уравнения,где Е – единичная матрица.(10.6)Начальное возмущение с течением времени будет меняться в соответствии сэволюцией вектора.(10.7)Будет отклонение уменьшаться или нарастать, определяется значениемдействительной части i.Элементы матрицы А со временем могут меняться. Соответственно меняютсяее собственные вектора и собственные значения, в том числе может менятьсязнак действительной части i.
Необходимо понять, что происходит свозмущением в пределе при t.Для общей характеристики устойчивости траектории по отношению квозмущению вдоль i-го собственного вектора используют величину,называемую характеристическим показателем Ляпунова:(10.8)Для N-мернойзадачиустойчивостьтраекториихарактеризуетсянабором N Ляпуновских характеристических показателей. Они связаны ссобственными значениями матрицы линеаризации соотношением:(10.9)Таким образом, ляпуновский показатель – это усредненное вдольисследуемой траектории значение действительной части собственногозначения i матрицы линеаризации.Устойчивость траектории по Ляпунову означает, что произвольное начальноевозмущение y(t0) в среднем вдоль траектории не возрастает.
Для этогонеобходимо и достаточно, чтобы спектр ляпуновских показателей i несодержал положительных показателей.Диссипативные системы.В физике системы принято подразделять на консервативные и диссипативные.В консервативных системах энергия сохраняется (маятник без затухания). Вдиссипативных системах энергия со временем уменьшается (маятник в вязкойсреде). Для того чтобы диссипативная система поддерживала непрерывноедвижение (например, автоколебания), необходимы источники энергии.Биологические системы по своей природе являются диссипативными.Поэтому их модели принципиально нелинейны.
Существование аттрактора вдиссипативной системе связано со свойством сжатия элемента фазового объемапод действием оператора эволюции. Рассмотрим множество точек,заполняющих элемент объема V, и множество фазовых траекторий,стартующих из этих точек в момент времени t0 (рис. 10.4).Рис. 10.4. Сжатие элемента фазового объема в разные типы аттракторовС течением времени объем V меняется по закону:,где F(x(t)) – поле фазовых скоростей (поток) динамической системы. Чертасверху означает усреднение вдоль фазовой траектории. Если в среднемдивергенция потока отрицательна, а это всегда выполняется для систем спотерями, то элемент фазового объема V в пределе приt, стремится кнулю.
Это означает, что рассматриваемое множество фазовых траекторий,которые берут свое начало в V, стремится попасть на некоторое предельноемножество,размерностькоторогоменьшеразмерности N фазовогопространства системы.На рис. 4.10 нарисованы различные типы аттракторов, в которые можетперейти элемент фазового пространства размерности 3. Это – точка покоя (1),предельный цикл (2), двумерная поверхность, диффеоморфная поверхноститора (3), и, наконец, хаотический аттрактор (4).Средняя вдоль траектории дивергенция потока и, следовательно, эволюцияэлемента фазового объема, определяется суммой ляпуновских показателей(10.10)Для фазовых траекторий на аттракторе должно иметь место сжатие элементафазового объема.
Соответственно, дивергенция потока вдоль траекторииотрицательна, а значит, ляпуновские показатели удовлетворяют неравенству(10.11)Хаотические аттракторы имеют по крайней мере один положительныйляпуновский показатель. Если траектории на аттракторе имеют более, чем однонаправление неустойчивости, хаос называется гиперхаосом.Устойчивость хаотических решений.Фазовые траектории, принадлежащие регулярным предельным множествам –аттракторам устойчивы по Ляпунову, а принадлежащие репеллерам и седлам– неустойчивы. Для хаотических траекторий это не так.
Хаотическая траекторияобязательно неустойчива хотя бы по одному направлению. Значит, в спектрехарактеристических показателей Ляпунова обязательно присутствуютположительныевеличины.Неустойчивость фазовых траекторий ипритягивающий характер предельного множества не противоречат друг другу,так как фазовые траектории, стартующие из близких точек бассейнапритяжения, стремятся к аттрактору, но на аттракторе разбегаются. Траекториина хаотическом аттракторе неустойчивы по Ляпунову, но устойчивы поПуассону. Такое поведение возможно лишь на множествах, обладающихсложной геометрической структурой.Представление о том, как формируется структура хаотического аттрактора,дает рассмотрение предельного множества, возникающего вотображенииподковы (отображении Смейла) (рис.
10.5).Рис. 10.5. Возникновение странного аттракторав отображении подковы (Смейла)Единичный квадрат сжимается по одному направлению и растягивается подругому, причем площадь при этом уменьшается. Затем получившаяся полоскаизгибается в форме подковы и вкладывается обратно в исходный квадрат. Этапроцедура повторяется много раз.
В пределе образуется множество с нулевойплощадью, которое имеет в поперечном сечении канторову структуру (см.ПРИЛОЖЕНИЕ 10.1)Отметим, что сложность геометрической структуры аттрактора может и несопровождаться неустойчивостью траекторий на нем.Перемешивание.Непредсказуемость поведения системы в области динамического хаоса связанас неустойчивостью системы по отношению к малым отклонениям начальногосостояния. Это означает, что мы должны анализировать эволюцию во временине начальной точки, а начального объема вокруг этой точки.Рассмотрим малую сферу радиуса > 0, окружающую начальноесостояние x0. Любая точка внутри сферы характеризует малое отклонение отначального состояния. Применим оператор эволюции и посмотрим затрансформацией этого малого объема во времени.
Если система устойчива,любое малое отклонение со временем будет затухать, шарик радиуса будетуменьшаться со временем, и в пределе при t его радиус уменьшится до нуля.Такая трансформация объема фазового пространства изображена на рис. 10.4 вслучаях устойчивых режимов – регулярных аттракторов 1, 2, 3. На рис. 10.6представленопоследовательноесжатиепервоначальнойобластинеопределенности фазового объема радиуса в случае, когда устойчивоепредельное множество представляет собой предельный циклДля неустойчивых режимов дело происходит сложнее.
Неустойчивость режимаведет к росту возмущений. Но если система диссипативна, независимо от того,устойчива или неустойчива система, происходит уменьшение элементафазового объема во времени, что связано с потерями энергии. Это значит, чтоэлемент фазового пространства по одним направлениям растягивается (чтосоответствует положительным показателям Ляпунова), а по другим –сжимается. Причем степень сжатия превалирует над степенью расширения.Пример такой трансформации для системы, описывающей радиотехническогоустройство (модифицированный генератор с инерционной нелинейностью)представили В.С.
Анищенко с соавторами в книге «Нелинейная динамикахаотических и стохастических систем». Модель генератора описываетсясистемой уравнений:(10.12)Приопределенныхзначенияхпараметровсистемадемонстрируетквазистохастическое поведение (рис. 10.7).Рассмотрим, как будет себя вести малый фазовый объем радиуса ,окружающий начальную точку, для такой квазистохастической системы.Результаты компьютерного моделирования представлены на рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
