Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 30
Текст из файла (страница 30)
Если объем культиватора равен V, а скорость притока f, новеличина, называемая разбавлением, определяется как D=f / V и тогда скоростьвымывания микроорганизмов из культиватора=–D(11.2)Без учета вымывания клеток рост биомассы описывается уравнением:(11.3))При неограниченных ресурсах питательных веществ величина µ постоянна, иуравнение (11.2) описывает экспоненциальный рост популяции клеток. Если же какиелибо причины начинают лимитировать рост, величина µ будет уменьшаться.
Длямикробиологических систем обычно величина, лимитирующая рост, это концентрация субстрата. Наиболее распространенная форма записи, учитывающаянасыщение скорости роста культуры по питательному субстрату, предложена Моно:(11.4)Здесь m -максимальная скорость роста микроорганизмов при данныхусловиях; KS - константа, численно равная концентрации субстрата, при которойскорость роста культуры равна половине максимальной. График функции величиныскорости роста от концентрации субстрата приведен на рис. 11.3Рис.
11.3. График зависимостискорости роста от концентрациисубстрата в соответствии сформулой Моно (11.4)Вид уравнения Моно аналогичен формуле Михаэлиса-Ментен из ферментативнойкинетики. И это не только формальное сходство. В основе жизнедеятельности любойклетки лежат ферментативные процессы. Скорость роста биомассы в конечном счетеопределяется скоростью переработки лимитирующего субстрата ферментом узкого местав метаболической сети. Пусть концентрация фермента на единицу биомассыравна E0. Тогда по закону Михаэлиса, скорость переработки субстрата единицей биомассыопределяется формулой:(11.5)Здесь Km - константа Михаэлиса, k - константа скорости реакции.
Вся биомассаконцентрации x обладает количеством фермента E0x, Следовательно, суммарная скоростьубыли субстрата равна(11.6)Предположим, что прирост биомассы пропорционален убыли субстрата:(11.7)Обозначив K0=Km и µm = kE0/ , получим формулу (11.4).В формулах (11.4) и (11.6) имеются важные различия. Формула Михаэлиса-Ментен(11.6) относится к отдельной ферментативной реакции, все входящие в нее константывыражаются через скорости соответствующих биохимических реакций.
В формулеМоно (11.4) константы скоростей KS и µm являются эффективными величинами иопределяются по эмпирической зависимости скорости роста культуры отконцентрации питательного субстрата.При моделировании конкретной культуры микроорганизмов часто нелегковыделить лимитирующий фактор. Здесь может играть роль соотношениекоэффициентов растворимости различных веществ или проницаемости мембранклеток по отношению к этим веществам. Только специально поставленныеэксперименты могут выделить управляющее звено - лимитирующий субстрат,который входит в формулу (11.4)В стационарном состоянии процессы размножения популяции ивымываниядолжныбытьуравновешены.Принепрерывномкультивировании подбором скорости протока можно стабилизироватьскорость роста популяции в любой точке на восходящей ветви кривой ростапопуляции.
Для этого применяются различные способы управленияскоростью протока. Основное их свойство - обратная связь между приростомконцентрации биомассы и удалением части популяции из ферментера. Вразличных культурах применяются разные физико-химические методыподдержания плотности культуры на разном уровне: турбидостатный,основанный на регулировании оптической плотности культуры, рН-статныйдля процессов, в которых имеется связь между приростом биомассы иизменениями рН, оксистатный - для аэробных микроорганизмов. Этиспособы управления дают возможность поддерживать культуру в условияхнелимитированного роста, когда скорость прироста биомассы определяетсялишь собственной генетически обусловленной способностью популяции кразмножению. При этом достигаются очень высокие скорости, которыеособенно важны при изучении микроэволюционных процессов. Например,бактерии могут размножаться в турбидостате со скоростью,соответствующей средней продолжительности поколения - около 5 мин.Для поддержания культуры в области нелимитированного роста требуютсявнешние регуляторы.
В случае лимитирования роста внешним фактором, например,недостатком субстрата, стационарный режим работы культиватора устанавливаетсяпутем саморегуляции. Это имеет место в природных проточных системах и в наиболеераспространенном типе непрерывных культиваторов - хемостате, где задаетсяскорость разбавления культуры, или скорость протока.Наиболее устойчиво работает хемостат в пределах скорости протока, малых посравнению с максимальной удельной скоростью роста культуры. В областисравнимых значений этих величин система становится неустойчивой: малыеколебания скорости протока могут приводить к заметным изменениям концентрациибиомассы и даже к вымыванию культуры из культиватора. Теория хемостата впервыебыла разработана Моно (1950) и Гербертом (1956) и с той поры постоянносовершенствуется.
Однако, основы ее остались незыблемыми. На них мы исосредоточим свое внимание.Модель МоноПри непрерывном перемешивании можно считать весь объем культиватораоднородно заполненным, концентрации субстрата и клеток в каждой точкекультиватора одинаковыми, и описывать поведение этих концентраций вовремени с помощью системы обыкновенных дифференциальных уравнений:(11.8)Здесь S - концентрация субстратаx - концентрация клеток в культиватореS0 -концентрация субстрата, поступившего в культиваторD - скорость протока (разбавления) культуры-1- “экономический коэффициент, показывающий, какая часть поглощенногосубстрата идет на приращение биомассы.Поясним смысл членов, входящих в правые части уравнений.
В первомуравнении: (S)x - прирост биомассы за счет поглощения субстрата, -Dx - оттокбиомассы из культиватора.Во втором уравнении :- (S)x - количество субстрата, поглощенного клеткамикультуры, DS0 - приток субстрата в культиватор, -DS - отток неиспользованногосубстрата из культиватора.Скорость роста биомассы предполагается зависящей только от концентрациисубстрата в соответствии с формулой Моно (третье уравнение).Исследуем тип стационарных режимов и переходных процессов в культиваторе,используя методы, изученные в лекциях (3-5).Введем безразмерные концентрации, время и скорость протокаШтрихи у новых переменных опустим. В новых переменных системаимеет вид:(11.9)Найдем стационарные концентрации биомассы и субстрата. Приравняемправые части уравнений нулю(11.10)Система алгебраических уравнений (11.10) имеет два решения,следовательно, система дифференциальных уравнений (11.9) имеет двастационарных состояния(11.11)(11.12)Примем во внимание, что безразмерная концентрация клеток x имеет смыслтолько при значениях x>0, а безразмерная концентрация субстрата y ограниченасверху значением y0=S0/K - концентрацией притекающего субстрата.
Легко видеть, чтоненулевое стационарное значение биомассы (11.12) имеет смысл только в случае,когда безразмерная скорость протока D меньше определенной величины(11.13)Граничное значение скорости протока называется скоростью вымывания.
Вразмерном виде его величина равна:(11.14)При скоростях протока, больших Dв, прирост биомассы не может компенсировать ееотток, и культура полностью вымывается из культиватора.Определим характер устойчивости стационарных состояний системы,используя метод линеаризации системы в окрестности стационарногосостояния, рассмотренный в лекции 4.Характеристический определитель системы (11.9) имеет вид..Исследуем характер устойчивости режимакоординатами (11.11). В этом случае(11.15)вымывания.-особойточкис(11.16)и характеристический определитель принимает вид(11.17)Корни характеристического уравнения (11.17)(11.18)действительны и имеют различные знаки при D<DВ , то есть при скоростяхразбавления, меньших скоростей вымывания.
При этом точка (0,y0) неустойчива седло.Если же D>DВ - оба корня отрицательны, и особая точка (11.11) является устойчивымузлом. Этот режим называется режимом вымывания.Концентрация субстрата в культиваторе равна при этом концентрации поступающегосубстрата S0, а концентрация биомассы равна нулю. Если в такой культиваторзаложить “затравку”, мироорганизмы будут вымыты из культиватора, не успевразмножиться.Для второй особой точки с координатами (11.12) корни характеристическогоуравнения равны(11.19)Напомним, что это ненулевое по биомассе состояние равновесия существует вположительном квадранте фазовой плоскости лишь при значениях скоростиразбавления D<DВ.
Так как,то все три сомножителя, входящие в выражение для 2 в (11.19) положительны.Следовательно, 2<0, и точка (11.12) - устойчивый узел. Это и есть рабочее состояниепроточного культиватора.Фазовыепортретысистемыдлядвухзначенийскоростейпротока D<DВ и D>DВ приведены на рис.11.4 (а,б)Рис. 11.4. Фазовые портреты системы 11.9.а – стационарный режим работы, б – режим вымывания.Пояснения в текстеУравнение изоклины горизонтальных касательных получим, приравнявправую часть второго уравнения (11.9) нулю(9.20)Изоклины вертикальных касательных на рисунках 11.4: ось x=0 и прямая(11.21)В случае, когда D<DВ главные изоклины (11.20) и (11.21) пересекаются вположительном квадранте, и точка их пересечения является устойчивым узлом, аточка пересечения кривой (9.20) с осью x = 0 – седлом (рис.11.4 а)В случае D>DВ главные изоклины (11.20) и (11.21) пересекаются внеположительного квадранта, и устойчивым узлом будет особая точка (11.11),соответствующая режиму вымывания (рис.11.4б).Рассмотренная модель является упрощенной и для описания реальныхпроцессов требует дополнений.
Например, при больших концентрацияхсубстрат может оказывать ингибирующее действие, и тогда формулу дляскорости роста следует записывать в виде:(11.22)В системе, где существует такая зависимость скорости роста от субстрата,возможны триггерные режимы - наличие двух устойчивых стационарныхсостояний и зависимость стационарных значений концентраций субстрата ибиомассы от начальных условий (от величины затравки и начальнойконцентрации биомассы).На скорость роста биомассы может оказывать влияние концентрацияпродуктов метаболизма в среде, окружающей клетку. Тогда к двумуравнениям, описывающим динамику концентрации биомассы и субстрата внепрерывном процессе культивирования, следует добавить третьеуравнение, выражающее динамику концентрации продуктов метаболизма.При этом скорость роста биомассы будет зависеть как от концентрациисубстрата.
Так и от концентрации продукта. Наиболее известную формулутакой зависимости предложил Иерусалимский:(11.23)Формула (11.23) известна как формула Моно-Иерусалимского.Исследование модели, учитывающей ингибирующее действие продуктапоказывает, что значение скорости вымывания в такой системе совпадает свеличиной DВ, полученной выше для модели Моно. В то же время ингибирующеевлияние продукта ведет к значительному уменьшению стационарных концентрацийбиомассы.Микроэволюционные процессы в микробных популяцияхБыстрота смены поколений делает микробные популяции чрезвычайно удобнымобъектом для изучения процессов микроэволюции.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
