Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 32
Текст из файла (страница 32)
Активно разрабатываютсяметоды микроизмерений, позволяющие определить и другие параметры отдельныхклеток (например, фотосинтетическую активность, содержание хлорофилла вводорослях, внутриклеточное рН и др.)Всебольшоераспространениеполучаютметодыпроточноймикрофлуорометрии,позволяющиерегистрироватьспектральныехарактеристики сотен и тысяч микроорганизмов и строить соответствующиераспределения признаков отдельных особей.
Информация об эволюции этихраспределений дает новые возможности оценки состояния популяциймикроорганизмов, например, состояний популяций планктона в морях,почвенных микроорганизмов, клеток крови. Здесь предстоит большая работапо решению как математических так и методических вопросов.ЛЕКЦИЯ 12МОДЕЛЬ ВОЗДЕЙСТВИЯ СЛАБОГО ЭЛЕКТРИЧЕСКОГО ПОЛЯНЕЛИНЕЙНУЮ СИСТЕМУ ТРАНСМЕМБРАННОГО ПЕРЕНОСА ИОНОВНАВлияние слабых электромагнитных полей на биологические системы.
Понятие резонанса.Нелинейная модель антипорта ионов с участием переносчика. Периодическоевоздействие на систему со стационарным состоянием типа устойчивый фокус.Мультистационарная модель. Автоколебательная модель. Динамический хаос. Частотавоздействия как управляющий параметр. Стохастический резонанс.В процессе эволюции сформировалась такая пространственно-временная организациябиологических систем, которая делает их чрезвычайно чувствительными к внешнимвоздействиям. При этом, как правило, отклик системы на воздействие является“нелинейным”.
Под термином “нелинейный” обычно понимают несколько обстоятельств:непропорциональность ответа системы внешнему воздействию,“пороговый характер” отклика“резонансный характер” отклика системы.Здесь в качестве примера мы рассмотрим нелинейную систему трансмембранногопереноса ионов и ее отклик на периодическое воздействие электрического поля, которое втерминах кинетической модели может быть выражено как периодическое изменениепараметров системы.
Приведенные результаты основаны на работах Т.Ю. Плюсниной,Г.Ю. Ризниченко с соавт. (1993-1997). На этой системе мы увидим, как изученные впредыдущих лекциях понятия и методы теории динамических систем «работают» приисследовании моделей конкретных биологических процессов.
Задача имеет важноезначение для понимания механизмов воздействия слабых электромагнитных полей низкойчастоты на биологические объекты.В течение последних десятилетий большое внимание уделяется наблюдениюкорреляций между космофизическими электромагнитными воздействиями и состояниемживых систем. При изменении электромагнитной обстановки во время магнитных бурь,гроз, землетрясений меняется состояние живых организмов, нарушается пролиферацияклеток, меняется биолюминисцентная активность бактерий. Имеются экспериментальныедоказательства изменений мембранных процессов под действием слабых каквысокочастотных, так и низкочастотных полей.Несомненное воздействие на биологические процессы оказывают используемыечеловеком электрические приборы. На рис.
12.1. изображены технические устройства,излучающие электромагнитные волны, и показан диапазон длин волн и частот ихизлучения. Видно, что наиболее распространенные в быту частоты, излучаемыеэлектропоездами, телефонами, другими бытовыми приборами, относятся к областидесятых долей – сотен герц. Чрезвычайно важно понять, каким образом этинизкочастотные поля низкой интенсивности влияют на биологические объекты, в томчисле на здоровье человека.Рис. 12.1.
Технические устройства, излучающие электромагнитные волны.Указаны шкалы длин волн, частот и диапазонов излучения.Изучая взаимодействие электромагнитных полей с любой системой, мы всегда имеемдело с резонансом. Под резонансом в широком смысле слова будем пониматькомплиментарность воспринимающей системы и поступающего сигнала, котораяобеспечивается особой организацией этой системы. В зависимости от частоты сигнала“воспринимающее устройство” системы может иметь разную природу, различныепространственные и временные масштабы. Сигнал электромагнитного излучения (ЭМИ)может восприниматься на уровне макромолекул (видимый свет) или на уровнесубклеточных систем, например, клеточных мембран (низкие частоты). Механизмы такоговосприятия совершенно различны.Физика взаимодействия видимого света с фотосинтетическими и зрительнымисистемами довольно хорошо изучена.
О моделях этих процессов мы будем говорить во 2томе лекций. При фотосинтезе кванты света высокой энергии переводят молекулыхлорофилла в возбужденное состояние, затем эта энергия стабилизируется иутилизируется в виде энергии химических связей. Имеет место “энергетическийрезонанс”.
При зрительном восприятии возбужденное состояние молекулы родопсинатрансформируется в энергию нервных импульсов и через многоступенчатую системурегуляции и усиления вызывает сложные реакции организма.H.Коnig (Electromagnetic Bio-Information, 1989) приводит классический пример лошади,берущей препятствие в сумерках. Энергии всего нескольких фотонов “хватает” лошадидля того, чтобы совершить прыжок через барьер благодаря мобилизации внутреннейэнергии животного с участием сложной системы нервной и гуморальной регуляции. Здесьможно говорить об «информационном» резонансе ЭМИ с воспринимающей живойсистемой и последующем многократном усилении сигнала.Когда речь идет о воздействии ЭМИ низких частот возникает вопрос о том, что энергияпадающих квантов слишком мала, чтобы вызвать изменения в структуре энергетическихуровней воспринимающей молекулярной системы.Однако можно подойти к проблеме с другой, «не энергетической» точки зрения, ирассматривать воспринимающую систему как нелинейную макросистему, обладающуюразличными типами поведения в зависимости от величины внутренних параметров.
Поддействием слабого периодического воздействия поведение такой системы можетсущественно трансформироваться, в особенности, когда такое воздействие испытываетсистема, находящаяся вблизи бифуркационной границы своих параметров. Частотавоздействия может не соответствовать разности энергетических уровней молекулярныхструктур, а быть «резонансной» для более крупномасштабных субклеточных систем,которым соответствуют гораздо более низкие характерные частоты.Модель трансмембранного переноса ионовРассмотрим систему переноса ионов К+ и Н+ через клеточную мембрану с участиемпереносчика Т-. Примером является система К+—Н+антипорта с участием нигерицина, укоторого имеются места связывания как для протона, так и для калия.При построении модели используются следующие предположения:Приток и отток ионов в систему происходит в примембранных слоях, VH и VK —скорости притока ионов в сферу реакции.Отрицательно заряженный переносчик Т- может переносить протон или ион черезмембрану в форме нейтральных комплексов ТН и ТК или в форме заряженногокомплекса ТНК+.Константа связывания для комплекса ТНК+ значительно больше, чем для ТКкомплекса, ион К+ не может вытеснить ион Н+ из ТН комплекса, поэтому его переносчерез мембрану происходит в форме ТНК+.В соответствии с этими предположениями кинетическая схема процессов может бытьпредставлена в виде:Здесь индексы 1 и 2 при концентрациях ионов соответствуют примембранному слою внеи внутри мембраны, k 1,3– константы ассоциации и диссоциации комплексов, k2,4–эффективные константы трансмембранного переноса комплекса и его диссоциации.Система уравнений, описывающая эти процессы, имеет вид:(12.1)Здесь Т0 – общая концентрация переносчика в свободной и связанной в комплексы форме.Для исследования системы перейдем к безразмерным переменным:(12.2)Введем также безразмерные параметры:(12.3)Пусть концентрация переносчика значительно меньше, чем концентрации ионов в сферереакции.
При этом выполняется неравенство:T0<< Km, которое позволяет сделатьзаключение о существовании иерархии времен и провести редукцию системы. А именно,при0 третье и четвертое уравнения системы (12.1) можно заменить алгебраическими.Система уравнений в безразмерных концентрациях протонов (x) и ионов калия (y)примет вид (штрихи при координате времени t и константах скоростей притока ионов всферу реакции VH, VK опускаем):(12.4)Система имеет единственное устойчивое стационарное состояние – узел или фокус.Стационарные значения переменных:(12.5)Линеаризуя систему в окрестности стационарного состояния и решая характеристическоеуравнение, получим условие, при котором особая точка представляет собой фокус:(12.6)При выполнении этого условия в системе имеют место затухающие колебания. Фазовыйпортрет системы и кинетика переменных изображены на рис.
12.2 и 12.3, а, б, кривые 1.Рис. 12.2. Фазовый портретсистемы (12.4) при выполненииусловия (12.6) VH=1, VK=0.96,a=30Наложение низкочастотного периодического поля на рассматриваемую системуприводит к изменению скоростей реакции в системе. В предположении постоянстваградиента электрического потенциала в примембранном слое, это влияние можно ввести вуравнения в виде периодических множителей при константах скоростей притока ионов всферу реакции, так как величина этих коэффициентов в примембранной областиопределяется интенсивностью процессов электродиффузии.
Приложенное поле слабовлияет на процессы переноса в самой мембране, поскольку напряженность поля намембране значительно превосходит напряженность приложенного внешнего поля.Уравнения с периодически меняющимися коэффициентами имеют вид.(12.8)Здесь – безразмерная частота воздействия, А – безразмерная амплитуда, показывающая,какую долю напряженности собственного электрического поля в примембранной областисоставляет напряженность внешнего электрического поля.Рис. 12.3. Изменения безразмерных концентраций (а)- протонов (x) и (б)- ионов K+ (y) во времени.Кривые 1 – в соответствии с системой уравнений (12.4), кривые 2 – в соответствии с системойуравнений (12.7) при периодическом воздействии.
VH=1, VK=0.96, a=30, A=0.0005, =0.064Периодическое воздействие на систему приводит к незатухающим колебаниямпеременных, амплитуда которых зависит от частоты внешнего воздействия. На рис. 12.3представлены кинетические кривые изменения переменных во времени для системы безвнешнего воздействия – это затухающие колебания (кривые 1) и при внешнемвоздействии на «резонансной» частоте (кривые 2) – это незатухающие колебанияТаким образом, рассматриваемая система может работать как усилитель. Поддействием слабого низкочастотного поля концентрации ионов начинают менятьсяпериодически. Проведенные оценки показывают, что на резонансной частоте амплитудаэтих колебаний может достигать десятых долей (до единицы) pH. Резонансная частота приэтом составляет по разным оценкам от десятых долей до единиц и десятков герц.Бистабильная модельБолее детальный учет процессов, происходящих в мембране в процессе K-H антипорта,приводит к бистабильной модели.
Слабое периодическое воздействие может оказыватьсущественное влияние на такую систему, причем в качестве управляющего параметравыступает частота воздействия.Учтем в схеме (12.1) возможность образования неактивного комплекса переносчика сдвумя ионами водорода TH+Н+ (ТН2)+. Схема химических превращений имеет вид:Схема 12.2 Обозначения те же, что и на схеме 1.Записывая аналогичную систему кинетических уравнений и произведя редукциюсистемы в соответствии с иерархией времен, получим систему уравнений длябезразмерных концентраций протонов и ионов К+:(12.8)Безразмерные переменные вводятся по формулам (12.2), и безразмерные параметры - поформулам (12.3). Кроме того, в системе появляются еще два безразмерных параметра:,(12.9)Стационарное решение может быть получено из уравнений:(12.10)Рис.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
