Г.Ю. Ризниченко - Лекции по математическим моделям в биологии (1117241), страница 31
Текст из файла (страница 31)
Пусть требуется изучитьмикроэволюционный процесс в популяции, протекающий в течение 100 генераций,например, проследить последствия повышения фона радиации. В популяцииоднолетних организмов (например, сельскохозяйственных культур) для проведениятакого исследования не хватит всей жизни одного исследователя.
Для человеческойпопуляции на сто поколений приходится период времени более 2000 лет. А длямикробной популяции с временем генерации g=20 мин. наблюдение 100 генерацийзаймет около полутора суток.Рассмотрим процесс восстановления популяции после воздействиянеблагоприятного фактора. Пусть процесс происходит в условияхнепрерывного культивирования.
Предположим, что в микробной популяциив результате воздействия неблагоприятного внешнего воздействия погибаетзначительная часть клеток. После снятия неблагоприятного фактора впопуляции будет происходить процесс восстановления. В результатедействия протока количество мертвых клеток будет уменьшаться, аколичество живых будет определяться двумя процессами - вымыванием иразмножением. Со временем доля живых клеток увеличивается, и популяциявозвращается к активному состоянию.Рассмотрим простейшую модель такой системы (Н.С.Печуркин).
Разделим всеклетки на два типа. Первый тип - потерявшие способность к размножению врезультате воздействия неблагоприятного фактора неживые клетки. Второй тип- сохранившие способность к размножению клетки. Динамика живых и неживыхклеток может быть описана системой уравнений.(11.24)Здесь xж -концентрация живых клеток,xн -- концентрация неживых клетокx - общая концентрация клеток в популяцииS - концентрация лимитирующего субстрата.Функция (S), характеризующая зависимость скорости роста живых клеток отконцентрации лимитирующего субстрата может быть представлена в форме Моно,или в виде более сложной функции.Если воздействие неблагоприятного фактора было сильным, и погиблазначительная часть популяции, потребление субстрата в начальные моменты процессавосстановления будет незначительным. Концентрация субстрата в среде значительноповысится за счет его постоянного поступления.
При этом можно считать,что = max=const.Тогда уравнение для субстрата можно исключить из рассмотрения. Анализкинетики восстановления сведется к рассмотрению простой системы первых двухуравнений и алгебраического соотношения для количества клеток. Решив системууравнений, получим соотношение, определяющее долю живых клеток в популяции влюбой момент времени t(11.25)где a0 - отношение количества живых и неживых клеток в начальный момент времени.Можно оценить время, которое необходимо популяции для устранения последствийнеблагоприятного фактора.
Будем считать процесс восстановления законченным, еслив популяции на сто живых осталась одна неживая клетка. Пусть в результатенеблагоприятного воздействия в популяции отношение живых клеток к неживымсоставляло 1:100. Оценки (Печуркин, 1978) показывают, что для изменениясоотношения числа живых и неживых клеток в 104 раз необходимо примернотринадцать с половиной поколений культуры. Даже при очень сильномнеблагоприятном воздействии, например при a0 = 10 -7, время восстановления до 90%уровня живых клеток составляет 27 генераций.
Это объясняется логарифмическойзависимостью времени восстановления от отношения живых и неживых клеток.На сходных моделях можно анализировать конкуренцию мутантных формв микробных культурах. Несмотря на то, что частота мутаций, приводящих кулучшению некоторого признака чрезвычайно низка, именно такие мутантывытесняют исходную форму за счет действия естественного отбора. Анализэкспериментального материала на основе таких моделей позволил сделатьопределенные выводы о совместном действии мутаций и отбора. А именно,преимущества имеют следующие мутанты.Мутанты, способные более полно утилизировать имеющийся субстрат, то естьимеющие отличную от исходной форму зависимость =f(S).“Экономичные” мутанты, способные более полно использовать субстрат.Более “резистентные” мутанты, менее чувствительные к воздействию внешнегофактора.Мутанты с пониженными скоростями отмирания.Менее “мутабельные” мутанты.Быстро растущие и быстро отмирающие мутантыМутанты с увеличенной максимальной скоростью ростаМутанты, выделяющиеся в неоднородных средах, например, способныепротивостоять вымыванию из ферментера: прилипать к стенкам или слипаться вкомки и выпадать на дно.Оценка времени замены исходной формы мутантной при воздействиинеблагоприятного фактора (например, антибиотика), показывает, как быстрораспространяются нечувствительные к ингибиторам мутанты в открытых системах.Возрастные раcпределения микроорганизмовОднородность клеток в микробной популяции всегда относительна.
Большую роль впроцессах роста микробной популяции играет возрастная структура. Делиться, т.е.увеличивать численность популяции, способны только клетки, достигшиеопределенного возраста (или определенного размера). Возрастная гетерогенностьпопуляции может служить причиной сложной немонотонной динамики еечисленности.Рассмотрим простейшую двухвозрастную модель клеточной популяции (Степанова,1985).
Популяция разбита на две группы клеток: молодые и старые.Понятие “молодые” и “старые” применительно к разным видам микрорганизмовможно трактовать по-разному. В клетках эукариотов молодыми можно считать клеткиG1, в которой синтезируется белок, а старыми - все остальные, начиная с S-фазысинтеза ДНК. Именно на этих поздних стадиях существуют ингибирующие кейлоны,угнетающе действующие на скорость деления.Будем считать, что клетки первой группы интенсивно растут, но не достиглифизиологической зрелости и неспособны делиться. Члены второй группы способны кделению.
Процесс деления может быть задержан при помощи различных ингибиторов.Уравнения для численностей молодых (N1) и старых (N2) клеток имеют вид:(11.27)Здесь Т1 - среднее время созревания молодой клетки,Т2 - среднее время пребывания старой клетки в репродуктивном периоде, D - скоростьпротока. Удельная скорость деления клеток =Т2-1. Множитель 2 в первом уравненииотражает тот факт, что старая клетка делится на две молодые.При отсутствии лимитирования субстратом продолжительность первойфазы Т1 постоянна, продолжительность второй фазы Т2 зависит от взаимного влиянияклеток, которое осуществляется с помощью метаболитов (кейлонов), выделяемыхклетками в среду. Если скорость выделения и распада кейлонов много большескорости протока и скорости деления клеток, концентрация кейлоновпропорциональна числу клеток, их выделяющих.Обозначим концентрацию ингибирующего метаболита I.
Его влияние на удельнуюскорость деления клеток можно записать в виде:Здесь n - порядок ингибирования, k1 -константа ингибирования.Были рассмотрены три ситуации: 1) ингибиторы выделяются только молодымиклетками, 2) ингибиторы выделяются только старыми клетками, 3) независимо отвозраста. Исследование модели показало, что только предположение о выделенииингибиторов старыми клетками позволяет описать колебательные режимы в системе.В рамках модели это означает, что скорость деления зависит от N2:Введем безразмерные переменные:В безразмерных переменных система имеет вид:(11.28)Штрих у времени опущен.Кроме тривиальной особой точки система (11.28) имеет еще одну особуюточку:,тип которой может быть различным в зависимости от параметров. Ширина областинеустойчивости в пространстве параметров зависит от порядка ингибирования: чембольше n., тем она шире.
Области неустойчивости на плоскости параметров ( , ) длявторого и третьего порядка ингибирования изображены на рис. 11.5.Рис.11.5. Параметрическиеобластинеустойчивостистационарногоненулевогорешенияпри n=2(двойнаяштриховка) и n=3 (простаяштриховка)Фазовый портрет системыпредельный цикл (рис. 11.6).вобластинеустойчивостиРис. 11.6.
Фазовый портретсистемы (11.28) в областинеустойчивости ненулевогостационарного решения. Жирнаялиния – предельный циклДинамика переменных изображена на рис. 11.7.Рис.11.7Динамикапеременных в модели 11.28содержитНепрерывные модели возрастной структуры микроорганизмов.Такие модели оперируют не с численностями отдельных групп, а с непрерывнойфункцией распределения организмов по возрастам. Уравнение для плотности функциираспределения было впервые получено Мак-Кендриком в 1926 г., а затем“переоткрыто” фон Ферстером в 1959 г. и носит его имя.Это уравнение представляет собой дифференциальную форму закона сохранениячисла особей. В уравнении две независимые переменные - время t и возраст , которыйотсчитывается с момента рождения особи.n(t, )d - количество особей, имеющих возраст в интервале [ ,, +d ].Общее число особей всех возрастов в момент времени t определяется интеграломУравнение Ферстера имеет вид:(11.29)с начальным условиемn(0, )=g( )(11.30)В уравнении (11.29) слева стоит полная производная dn/dt, при этом учтено,что d /dt=1.
В правой части - члены, которые описывают процессы, приводящие кизменению числа клеток данного возраста. Убыль клеток может быть вызванаразными причинами - смертностью, миграцией. Для проточной культуры всемиэтими процессами можно пренебречь по сравнению с протоком клеток черезкультиватор. Скорость протока D(t) не зависит от возраста клеток, но может зависетьот времени.Член - (t, )u(t, ) описывает убыль клеток из данного интервала возрастов приделении на дочерние со скоростью . Прирост численности в результатеразмножения происходит в нулевой возраст и войдет в граничное условие при =0.(11.31)Здесь k - число потомков в одном акте размножения, W(t, ‘)d ‘ - вероятностьразмножения родителя в возрастном интервале [ ‘, ‘+d ‘],равная удельной скоростиразмножения;(11.32)Если родители остаются в популяции после размножения (дрожжи),то W(t, ) - плотность безусловной вероятности деления в возрасте (функцияраспределения возрастов деления).
Если же клетки выбывают из своей возрастнойгруппы после деления (водоросли, бактерии), то W(t, ) - плотность условнойвероятности разделиться в возрасте , если клетка дожила до этого возраста, неразделившись.Существуют модели, описывающие распределение клеток по размерам имассам. Их легче сопоставлять с экспериментальными данными, так как имеютсяэкспериментальные методы определения размеров клеток.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
