Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 21

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 21)

Выведем рядконкретных формул для добротности, предполагая, что выполнено усло­вие (13.8) и, следовательно, Шр^з= Шсвов " % •Во-первых, добротность обратно пропорциональна логарифмическо­му декременту затухания_Q = I.(13.24)Действительно, как известно из курса механики,^ = In ^=InTl+ 7= In е= рт = P 2 U .At/Подставляя сюда р = R/2L и ш =1/-/Ш, получаем формулу (13.24).Во-вторых, добротность обратно пропорциональна относительнойубыли энергии A^WZW контура за период свободных колебаний:Q = 2іс(13.25)Энергия W, запасенная в контуре, определяется выражением W = LI^/2.Действительно, в тот момент, когда сила тока максимальна (Kt)=I^),заряд на конденсаторе равен нулю (см., например, рис.83), так что109вся энергия контура сосредоточена в катушке и определяете^ формулой(11.10).

Убыль энергии A^W за период согласно (12.20) определяетсявыражением= (I^R/2) Т, которое, если учесть, что T = 2%/ш иCO = Шр= I/ A C , принимает вид A^W =R т: -/Ш. Таким образом,2% W/A^W = 1 /R ЛТС = Q.В-третьих, добротность показывает, во сколько раз амплитуданапряжения на конденсаторе при резонансе(CM.рис.85,б) большеамплитуды бр ЭДС источника напряжения:(13.26)Действительно, согласно (12.5)UC= (1/шС) IcОтсюдачто и приводит к формуле (13.26).В-четвертых, добротность обратна относительной ширине резо­ тРезнансной кривой”.Q = ШHo при рѳзонэлсѳ= (e„/R) АТС = e„Q,(13.27)(ВЫВОД этой формулы мы опускаем). Ѵ 2Ширинойрезонанс­нойкривой, или полосойпропускания,называют интервал ча­стот Аш = о;^- u)j , ограниченныйчастотами Uj и» ^a которыхамплитуда враз меньше, чемпр'й резонансе (рис.8 6 ).

ОтношениеАш/шр назьшается относительнойшириной резонансной кривой.Рис. 86Игак, у контуров с большой добротмостью свободные колебани?затухают медленно, как это видно из формул (13.24) и (13.2Р), и от­четливо выражено явление резонанса,что вытѳкаѳт из формул г!3.26) и(13Однако, с точки, зрэгмя ирактического использования не все­гда предпочтительнее контуры с наибольшей добротностью. Например,казалось CSj выгодно увеличить добротность настроечного контура врадиоприемниках,так как при этом сужается резонансная кривая : ста­ло бы легче отстраиваться от передач, ведущихся на соседних часто­тах, и можно (й>іло бы увеличить число рад.иокан.элов, приходіпдихся наединичный диапазон несущих частот. Ho при этом ухудшится ісачествозвучания, так как с уменьшением ширин;і реп)нансной кривой уменіжавтся количество информации, которую Еропускает контур.110Глава VЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕПОЛЕВведение.

В этой главе мы возвращаемся к: изучению полѳй. Ранеей)іли рассмотрены два частных случая: электростатическое поле, соз­даваемое неподвижными зарядами, и постоянное магнитное поле, созда­ваемое постоянными токами. Естественно возникает вопрос о свойствахполя, которое создается в общем случае системой произвольно движу­щихся зарядов, и уравнениях, которыми оно описывается.Проще всего было бы предположить, что уравнения электростати­ческого и постоянного магнитного поля (имеются в виду прежде всеготеоремы о потоке и циркуляции) носят универсальный характер. В са­мом деле, как бы ни двигались заряды, в каждый фиксированный моментвремени они занимают определенное положение в пространстве и обла­дают определенными скоростями. Если бы такие мгновенные распределе­ния зарядов и токов создавали мгновенные поля по законам электро­статического и постоянного магнитного полей, то эти законы остава­лись бы справедливыми в самом общем случае, только входящие в нихвеличины являлись бы функциями времени.На деле все обстоит иначе,и уравнения поля в общем случае ока­зываются сложнее и богаче по физическому содержанию, чем уравненияпостоянных электрического и магнитного полей.

Эти уравнения былиустановлены Максвеллом и носят его имя. Максвелл шел по пути обоб­щения уравнений постоянных электрического и магнитного полей, кото­рое заключается в двух фундаментальных положениях (гипотезах).§ 14.ТЕОРИЯ МАКСВЕЛЛАПервое положение теории Максвелла,Рассмотрим неподвижныйзамкнутый проводник L, находящийся в переменном магнитном поле(рис.87).

По закону электромагнитнойиндукции Фарадея (11.3) в проводникевозникает ЭДС индукции е = - d®/dt,где Ф -поток магнитной индукции черезповерхность S, ограниченную проводни­ком. Распишем более подробно правуючасть этой формулы:-Ш=-dt^K dS)=-JdS=-J(f)„dS.SРис.87Здесь мы воспользовались, во-первых, тем, что контур неподвижен,т.е.

интеграл берется по фиксированной поверхности - это позволяетSS111заменить производную интеграла на интеграл от производной подынтег­ральной функции (внести производную под знак интеграла). Во-вторых,производная проекции вектора на некоторое направление равна проек­ции на это направление производной вектора. Наконец, мы заменилиобычную производную на частную, поскольку производная вектораB(x,y,z,t) по времени берется в фиксированной точке пространства.Чтобы убедиться в законности этих операций, рекомендуем провестиуказанное дифференцирование, записав поток как сумму малых потоковЕсли учесть также выражение ЭДС через напряженность стороннихсил (10.2), то закон Фарадея для нашего случая запишется в видейі = LdS.тS(14.1)^Закон Фарадея носит феноменологический характер: выявляя в качествепричины возникновения ЭДС индукции в рассматриваемом случае измене­ние магнитного поля, он ничего не говорит о физической природе сто­ронних сил, ответственных за эту ЭДС.Максвелл предположил (перваягипотеза),чтовсякое изменяющееся во времени магнитное поле порождает в простран­стве электрическое поде.

Замкнутый проводник лишь выявляет его силы, действующие со стороны этого электрического поля на носителитока, и являются теми сторонними силами, которые вызывахгг индукци­онный ток в проводнике. Таким образом, напряженность сторонних силв законе Фарадея (14.1) есть напряженность электрического поля, по­рожденного переменным магнитным полем:Е" е Е,и он принимает видав# E^dl = Lт(14.2)dS.(14.3)SЭта формула, представляющая собой математическое выражение первойгипотезы Максвелла, является одним из фундаментальных уравнений тѳгірии Максвелла. В левой части уравнения стоит циркуляция напряжен­ности,так что оно представляет собой обобщение теоремы о циркуляциинапряженности электростатического поля.В электростатическом поле, порождаемом неподвижными зарядами,такая циркуляция всегда равна нулю (см.(3.5)), что означает незави­симость работы по переносу заряда в этом поле от формы пути, позво­ляя ввести потенциал.

Теперь мы видим, что в общем случае, кс^да впространстве имеется переменное магнитное поле W B Z d tО), цирку­ляция напряженности электрического поля, вообще говоря, отлична от112нуля - произвольное элѳктрдачѳскоѳ поле непотенциально. Именно отли­чие от нуля циркуляции напряженности, а следовательно, и работы по­ля по переносу заряда по замкнутому контуру, позволяет этому полювыступать Б роли сторонних сил и вызывать ток, на что не способноэлектростатическое поле, как это было выяснено нами ранее.Иной характер имеет и картина линий напряженности электричес­кого поля общего вида: здесь наряду с линиями, начинающимися и кон­чающимися на зарядах, как это имеет место в электростатике, сущест­вуют и замкнутые линии напряженности. Если, как в рассмотренномпримере, в пространстве имеется переменное магнитное поле, а зарядыотсутствуют, то все линии напряженности электрического поля замкну­тые, т.е.

оно является вихревым (напомним, что вихревымявляется также постоянное магнитное поле). Это поле иногда называютэлектродинамическим в отличие от электростатического, порождаемогонеподвижными зарядами.Второе положение теории Максвелла.В теории постоянного маг­нитного поля одно из основных уравнений дает теорема о циркуляциинапряженности (см.(Э.Э)). Сейчас важно подчеркнуть, что справа сто­ит суммарный ток через любую поверхность S, ограниченную контуромL. В случае постоянного тока независимость этого суммарного тока отформы поверхности гарантируется непрерывностью линий тока, к?к этопроиллюстрировано на рис.88 : две произвольные поверхности и S^,ограниченные контуром L , пронизывает один и тот жѳ ток I.Рис.89Иначе обстоит дело в случае переменных токов, которые могуттечь и в разомкну'^ой цепи, в частности, в цепи с конденсатором.

Таккак линии тока обріваются на оОк.п-эдках конденсатора (через конден­сатор ток не тѳчѳг), то для некоторого к,.-,нтура L (рис.89)наріи'-Уg~ ! 403■'ISс поверхностями, пронизываемыми током (поверхность ), существуютповерхности, через которые ток равен нулю (поверхность S^).Следова­тельно, для переменных токов и порождаемых ими переменных полей те­орема о циркуляции магнитного поля (Э.Э) неверна.Чтобы сделать теорему о циркуляции напря­женности магнитного поля справедливой для об­щего случая переменных полей, Максвелл предпо­ложил, что рассматриваемая цепь переменноготока создает в пространстве такое же магнитноеполе, как если бы ток в цепи был непрерывен иI г I I I Iлинии тока, не заканчиваясь на обкладках кон­t H t t I fденсатора, непрерывно проходили в области меж­ду обкладками (рис.90).

Иными словами, то, чтонаходится внутри конденсатора,порождаетмагнитное поле так жѳ, как его порождал бы ток.Между пластинами конденсатора тока нет, но за­то там существует переменное электрическое поРис.90ле, создаваемое меняющимися со временем заря­дами на обоадках.

Следовательно,переменное электрическое полепорождает магнитное - таково качественное содержание второйгипотезы Максвелла.Чтобы дать математическую формулировку второй гипотезы Макс­велла, сопоставим чисто формально переменному электрическому полютакой TOi^, который порождал бы то же магнитное поле, какое порожда­ется рассматриваемым переменным электрическим полем. Этот ток назы­вают током смещения в отличие от обычного тока в про­водниках, который представляет собой направленное движение зарядови далее будет называться током проводимости. Целе­сообразность введения тока смещения состоит в том, что два разныхпо своей природе источника магнитного поля - ток проводимости и пе­ременное электрическое поле - сводятся хотя и формально к одномуисточнику - полному току.

Плотностьполного тока в каждой точ­ке пространства складывается из плотности T тока проводимости иплотности ^ тока смещения в этой точке:(14.4)Подставляя в теорему о циркуляции напряженности магнитного поля(9.9,а) вместо тока проводимости полный ток,мы учтем через ток сме­щения вклад в магнитное поле,обусловленный переменным электрическимполем:114^ H^cit = J ( / + j ; „ ) ^ d S .L(14.5)SОстается установить связь между током смещения и переменнымэлектрическим полем, которому он сопоставляется.

Характеристики

Список файлов книги