Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 19
Текст из файла (страница 19)
Напряжение U(t) на этом участке складывается из напряжений U^,и U^_:(12.10)7 - /W97--rt-¾--¾-U-Рис.79Так как все складываемые напряжения согласно закону Ома длясоответствующих участков представлянгг собой гармонические колебанияодинаковой частоты, то и суммарное напряжение будет гармоническимколебанием той жѳ частоты. Его можно найти при помощи векторной диаграммы, складывая векторы-ашлитуды суммируемых напряжений U^,и(рис.7Э,б).
Сначала удобно сложить векторыи, имеющиепротивоположные направления, в результате чего получается вектор(изображен штриховой стрелкой), направленный в сторону большего изсоадываемых векторов и имеющий модуль Іціші - 1/ыС|. Складывая затем этот вектор с векторомнаходим вектор-амплитудусуммарного напряжения. Как видно из векторной диаграммы, это напряжениеи = UpSln(ii)t + ф) сдвинуто по фазе относительно силы тока на угол ф,тангенс которого определяется выражениемtg ф = ші -T T1/ыСи имеет амплитудуUp =+ (O)L - 1/шС)^(12.11 )(1 2 . 1 2 )Формулы (12.11) и (12.12) вырахакгг закон Ома для участка цепи переменного тока с емкостью, индуктивностью и сопротивлением.
Величина= -/W T(ші - 1/шС)^(12.13)определяет полное сопротивление. Заметим, что это сопротивление неявляется арифметической суммой сопротивлений R, Jj и НС„.Более то>го, при увеличении меньшего из реактивных сопротивленийили R.полное сопротивление уменьшается!Закон Ома (12.11) и (12.12) (с заменойна ) является вместе с тем и законом Ома для замкнутой цепи, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления, емкости, индуктивностии источника переменного напряжения с ЭДС е = 8д8Іп(шѣ + ф) (рис.80)98Энергия и мощность в цепи переменного тока.
Исследуем вопрос опревращениях энергии в цепи переменного тока,изображенной на рис.80.За малый промежуток времени Atработасторонних сил ист'очника расходуется на выделение теплоты AQ на активном сопротивлении, а также на приращение энергии электрического поля конденсатора AW^ и магнитного поля катуш§= <SpSin(tot +ф)ки AW. :+ AWРис.80(12.14)(энергия, излучаемая в виде электромагнитных волн, в рассматриваемом случае пренебрежимо мала). Поделив обе части равенства на At ипереходя к пределу при A t - O , получим слева работу сторонних сил вединицу времени, т.е.
мощность источника тока P^= dA‘'’'/clt. Будемназывать выражения P^ = dQ/dt, P^ = dW^/dt и P^ = dW^/dt, характеризуюшдіе соответственно скорость выделения теплоты, скорость изменения энергии электрического и магнитного полей, мощностями насоответствующих участках цепи. Тогда(12.15)Каждая из этих мощностей равна произведению силы тока на напряжениена соответствующем участке (в случае P^ - на ЭДС). Действительно,используя формулы (10.2), (10.8), (10.5),(4.12) и (11.10), имеемdA'^Р , = сГГP-0ГГ_ dQ _ I^Rdt _ , „,-ГсЕ?тт---- - I(12.16)dW.Pc =/20 = I.d ,,т2ат^(Заметим, что подставляя (12.16) в (12.15) и поделив полученноеуравнение на I, приходим ко второму правилу Кирхгофа, которое, следовательно, является прямым следствием закона сохранения энергии).Полагая I = IgSlnut и учитывая, что напряжения U^,изменяются по законам (12.2), (12.4) и (12.7), находим для мощностей р.
Pc « P b99Рд = Ш д = IjjSln o jt Ujj^slnoot = IS In"' CjJt,Pp = IUp = Ij^slmt Up sln( 0)t - %/ 2 ) = —sln(2ut - %),Pj_ = IU^ = IpSinwtSln 2iatsln(wt + % /г) = -(12.17)(при выводе использована формула slno( slnp = 2 tcos(o(-p)-cos(o(+p)Iи формула приведения косинуса к: синусу). Графики зависимостей мощностей от времени даны на рис.8 I .Исследуем превращения энергии на участках с С и L. Из формулыPp = dW^/at следует, что приращение энергии электрического поля вконденсаторе за малое время dt равно= Ppdt и, следовательно,за период T определится интеграломприращение энергии=J^Pcdt(аналогично выражаются приращения энергии магнитногополя в катушке - с заменой РО.
на P-,).И без вычисления интеграловXiясно, чтои W^, а вместе с ними и средние мощности за периодPp = | / P p d tVи --= 1 X J Pj,dt. равны нулю:ОA^Wg=W^= Pp= Р^_= О(как видно из графиков на рис.8 I ,площади, ограниченные подынтегральньми функциями Pp(t) и P^(t) иосью абсцисс на интервале 0<t<T,с учетом знаков равны нулю). Этоозначает, что на участках с емкостью и индуктивностью энергия нескапливается систематически и невыделяется из цепи: сколько энергии забирается конденсатором изцепи в те доли периода, когдаэлектрическое поле в нем растет(Рр>0), столько X e энергии возвращается конденсатором обратно вцепь в те доли периода, когдаэлектрическое поле убывает (Рр<0),Рис.81и аналогично для энергии магнитного поля катушки.
По этой причинемош^іости PcP^ «и P^, а вместе с ними и соответствующие сопротивленияPb’R-G и It называются реактивными.100Иначе обстоит дело на участке с сопротивление»! R. Найдем количество теплоты A^Q, выделяющееся здесь за период, а также среднююмощность Р„:=JIP^dt =°Sln^ut dt =^■T I V 'PIn-Т.(12.18)•Таким образом, на данном участке цепи непрерывно выделяется энергияв среднем/2 в секунду.
По этой причине модность P^, а вместес ней и сопротивление R называются активными.Воспользовавшись законом Ома (12.3) и формулой U ^ = UpCos<p,вытекающей из векторной диаграммы на рис.79,б, запишал среднюю активную мощность в нескольких формах:-_ IoRIo U o COS Ф= — 2------ 7 - - ---- 2---- ■(12.19)Согласно второму из этих выражений за период выделяется теплотаA j Q = РдТ =Т.(12.20)По закону Джоуля-Ленца (10.8) такое же количество теплста выделилось (¾ на том же сопротивлении за то же время T при протекании постоянного тока силойI, =.(12.21)Действительно, Q =R T = (1^/2) R T .
Значение силы постоянноготока, который выделяет на активном сопротивлении такое же количество теплоты, что и рассматривааиый пераленный ток за то же время(период), называется действующим, или эффективным, значением силы переменного тока. Действующее значение силы тока впаз меньше его амплитуды.
Аналогично этому величины/ч^и= Ep/т^ называют действующими значениями напряжения и ЭДС. Всезаконы Ома для переменного тока, св^ізывающиѳ амплетуды сшы тока ин,'ішряжений, вѳрнь: также и для действующих значений, так как одинаковые множители -fi в обеих частях равенств сокращаѵ/Гі я.Формула (12.19) запиоѳтся через действующие значения силы тока-I напряжений следующим образом:Pr =V= 4R = IaВходящий в эту формулу косинус сдвига фаз между полным напряжѳниеки током назывэш- коэффициентом мощности,/ѴОІНа практике важно при заданной ЭДС источника получить на данном активном сопротивлении максимально возможную мощность.
Из второго выражения в (12.19) видно, чтомаксимальна,когда максимальна алшдитуда силы тока, а это имѳег место,как следует из закона Ома(12.12),при вьшолнении условия wL - 1/шС = О (полное сопротивлениеминимально). Из векторной диаграммы на рис.79,б видно, что в этомслучае= о, так что U = U^, т.ѳ. все приложенное напряжение, равное ЭДС источника, приходится на участок с активным сопротивлением.
При этом ф = О, так чтоCOSф= I.(12.23)Часто в цепях переменного тока с неизбежностью присутствуютзначительные емкость и индуктивность, и для увеличения потребляемоймощности целесообразно дополнительно ввести в цепь емкость или индуктивность с таким расчетом, чтобы выполнялось условие (12.23).§ 13.ЭЛЕКТРИЧЕСЖИЕ КОЛЕБАНИЯВ этом параграфе речь снова пойдет о цепи, состоящей из последовательно соединенных активного сопротивления, конденсатора и катушки.
Однако теперь мы изучим явления, происходящие в этой цепи, врамках общего метода,основывающегося на решении основного дифференциального уравнения, даваемого вторым правилом Кирхгофа. Такой подход показывает, что рассматриваемая цепь представляет собой типичную колебательную систему с сосредоточенными параметрами,вследствиечего ее называют колебательным контуром.Свободные электрические колебания. Пусть в колебательном контуре, изображенном на рис.82, в начальный момент времени t = О осуществлено некоторое возмущение: либо конденсатору сообщен заряд4 (0 ) Ф О, либо в контуре возбужден ток^^I(O) Ф О, либо имеет место и то,и другоеодновременно, после чего контур предоставлен самому себе.
Чтобы выяснить, какие процессы будут происходить в колебательном контуре, запишем для него основное дифференциальное уравнение (11.17):Рис.82Iй!аq = О(13.1)dt^(е = О, так как источник отсутствует). С таким уравнением мы ужевстречались в курсе механики - это уравнение движения материальнойточки массой т, находящейся под действием квазиупругой силы IJ= -кх_Hv®и силы жидкого трения Г/ = - 6 dxат102т ^+б ІІ+к хdt^= 0.(13.2)Поскольку уравнения (13.1) и (13.2) математически эквивалентны, аотличакггся лишь физическим смыслом неизвестной функции и коэффициентов, то,вспоминая решение уравнения (13.2) (левый столбец табл.I )и заменяя стоящие в нем величины на соответствующие им в уравнении(13.1), получим решение уравнения (13.1) (правый столбец табл.1).Таблица IМеханические колебанияIЭлектрические колебанияУравнение+ в ет +° -L ^+ R я? ^ с q = о.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
