Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 22
Текст из файла (страница 22)
Эту связь, вытекающую из постулата Максвелла о непрерывности полного тока, легконайти на том же примере цепи с конденсатором. Внутри проводникаимеется по существу только ток проводимости (током смещения здесьможно пренебречь, так как электрическое поле в хороших проводникахдостаточно слабое), в то время как между обкладками - только токсмещения. Поэтому условие непрерывности полного тока означает, чтоток проводимости на внутренних сторонах пластин конденсатора непрерывно переходит в ток смещения (см.рис.90,на котором линии тока проводимости изображены сплошными, а линии тока смещения - штриховымилиниями):Выразим плотность тока проводимости через электрическое смещение в" поля в конденсаторе, считая, что он заполнен однородным диэлектриком с диэлектрической проницаемостью е. ОбозначаяS площадь пластины конденсатора, а o=q/S поверхностную плотностьзаряда на ней, имеем j = I/S = (1/S) dq/dt = d(q/S)/dt = do/dt.Bсвою очередь o=D.
Действительно, напряженность E электрического поля в конденсаторе, заполненном диэлектриком, равна согласно (4.Б) ис учетом (6.9) Е=о/е^^е и, следовательно, согласно (6 .8 ) D=EgEE =о.Таким образом,J = da/dt -= dD/dt. Легко убедиться, что этаформула справедлива в векторной форме:(14.6)Замена производной по времени на частную производную означает, чтосправа стоит скорость изменения вектора D(x,y,z,t) в фиксированнойточке пространства.Итак, переменное электрическое поле поіюждает такое жэ магнитное поле, какое порождал бы ток, плотность которого в каждой точкепространства равна скорости изменения вектора смещения в этой точке.Подставляя выражение для плсгности іока смещения (14.6) в формулу(14.5), получим#H^dZ = ILSdS +SJ [ifdS.(14.V)Эта обобщенная теорема о циркуляции напряженности магнитного поля,справедливая в общем случае произвольно меняющихся во времени токови полей, представляет собой второе фундаментальное уравнение теорі-іиМаксвелла.Система уравнений электромагнитного поля (уравнения Максвелла).Совокупность четырех уравнений - оОоОщѳнные теоремы о циркуляциях (14.3) и (14.7) итеоремы о потоках (6.5,а) и (7.21) (две последние не нуждакггся в обобщении и остаются справедливыми в общемслучае переменных полей), называют уравнениями Максвелла.
Дополняя их соотношениями (6.8) и (9.13),а также закономОма (10.13), имеемSB 'Iт J,§-8DCfTdS,LI D^dS = I pdV,ф B^dS = О,SSD = E^eE.V(14.8)В=Эта система уравнений описывает все классические (т.ѳ. неквантовые)электромагнитные явления, хотя напрактике уравнения Максвелла записываются не в интегральной, как в (14.8), а в дифференциальнойформе подобно тому, как это было проделано стеоремой Гаусса в §2(CM. уравнения (2.16) и (2.16,а)).Следует особо оговорить три последние уравнения,где задействованы свойства вещества.
Первые два справедливыстрого говоря толькодля статических полей итолько для веществ с линейной зависимостьювекторов поляризации и намагниченности от поля (см. (5.8) и (Э.Ю)).Поэтому при решении динамических задач или в присутствии магнито- иэлектроупорядочѳнных сред эти уравнения нуждаісггся в соответствующеймодификации. Надлежащей замены требует итретье изэтих уравнений,если проводящая среда не подчиняется закону Ома.Как и всякая новая теория, претендующая на обобщение старой,теория Максвелла должна удовлетворять принципусоответствия, т.ѳ.
старая теория должна быть заключена в новойкак еѳ частный случай. Легко убедиться, что для статических полей,когда 3E/8t = дЬ/дХ = дЪ/дХ = дЕ/дХ = О, уравнения Максвелла переходят в уравнения электростатического и постоянного магнитного полей, т.е. в уравнения старой теории.Далее, поскольку обобщения, сделанные Максвеллом, базируютсянадвух отнюдь нѳ самоочевидных положениях, носящих характер гипотез, то заранее нѳ была очевидной и справедливость самих уравненийМаксвелла. Верность новой теории должна быть подтверждена экспериментальной проверкой вытекающих из нее новых следствий.
Максвеллпоказал,что прямым следствием его уравнений является волновое урав116нѳниѳ для векторов E и Н,что свидетельствует о существовании в природе электромагнитных волн. Вскоре этот вывод был Сллестяще подтвержден экспериментально Герцем, которому удалось в лабораторных условиях осуществить излучение и прием электромагнитных волн. Вплоть донастоящего времени все электромагнитные явления непротиворечивообъясняются в рамках теории Максвелла, если, конечно, речь не идетоб электромагнитных явлениях в области микромира, для описания которых уравнения Максвелла нуждаются в соответствующей процедуреквантования.Подчеркнем, наконец, что уравнения Максвелла выявляют неразрывную связь между электрическим и магнитным полями, которые взаимнопорождакгг друг друга (см. уравнения Максвелла с циркуляциями).О взаимозависимости электрического и магнитного полей свидетельствует и такой факт. Одно и то же поле проявляет себя по разному относительно различных инерциальных систем отсчета: напряженности E иH этого поля в системе отсчета К отличны от напряженностей E' и H'этого"— же поля в системе отсчета К', движущейся^относительноК.
При^f' в системе К' зависит не только от Е, но и от H в системе К(аналогично H' зависит от H и Е). Так, например, поле точечного заряда q является чисто электростатическим в той системе отсчета, относительно которой этот заряд покоится (Е = (1/Дие^)(q/r^)г, а H=O,так как тока нет), но это же поле в системе отсчета, относительнокоторой заряд движется, проявляет себя как совокупность электрического и магнитного полей (в этой системе отсчета HО, так как движущ^ійся заряд представляет собой электрический ток).
Итак, в природе существует единое электромагнитное поле, оЛ.единяющѳе в качествесвоих компонент электрическое и магнитное поля.§ 15.ЭЛЕКТРШАІЖГНЫЕ ВОЛШПлоская электромагнитная волна.He останавливаясь на выводеволнового уравнения из уравнений Максвелла в общем случае, рассмотрим частный случай плоской монохроматической электромагнитной волны.Пусть налряженности электрического и магнитного полей перпендикулярны друг другу во всем пространстве, будучи направлены соответственно вдоль осей у и z: E = е"^, н”= H^, и изменяются со временем по зак;ону гармонического колебания.
Можно показать (вывод неприводим ввиду громоздкости), что в однородной нейтральной диэлектрической среде уравнения Максвелла приводят к волновому уравнениюдля векторов f и н:д^Е- W .д^Е=0.д^Е117б^Н(15.1)причем эти векторы не зависят от координат у и г, т.е.ЭЕЭЕЭН__K = -J/ = __5ЭудгЭуЭНdz= О.(15.2)Как известно из курса механики, решением уравнений (15.1) являетсяволна, распространяющаяся в направлении оси х со скоростьюIV =(15.3)(напомним, что коэффициент при второй производной по времени в волновом уравнении равен І/у^).
В вакууме (е = ц = 1 ) скорость распространения электромагнитной волны оказывается равнойс=I= 2,99792458-10®М/с.(15.4)Из формул (15.3) и (15.4) следует, что скорость электромагнитнойволны в вакууме больше, чем в диэлектрической среде в ^ = -ЛЩ раз.Величинап= ^ =(15.5)называется абсолютным показателM преломления среды.Перпендикулярность векторов E и H направлению распространенияволны указывает на поперечность электромагнитной волныэто общее свойство электромагнитных волн.
Независимость полей откоординат у іл Z (формула (15.2)) означает, что для любой плоскости,перпендикулярной оси х, поле одинаково во всех ее точках. Следовательно, эти плоскости представляют собой волновые поверхности, такчто рассматриваемая волна -плоская. Наконец, то обстоятельство, что векторы E и H распространяются, оставаясь в определенныхплоскостях (Е в плоскости х у , Я в плоскости XZ) , означает, что рассматриваемая волна линейно , или плоскополяризована.Волновое уравнение (15.1) с постоянными значениями е и jx справедливо только для монохроматической волны, представляющей собой распространение гармонических колебаний.
Как известно, формула плоской монохроматической волны, распространяющейся внаправлении оси х, имеет вид |(x,t) = А slnu)(t - х/ѵ). Если внестиш в скобки и учесть известные формулы ш = 2%/Т, А. = иТ и к = 2%/Х,где А. - длина волны и к - волновое число, то формула запишется вболее компактной форме: £(x,t) = А sln(ut - кх).В случае электромагнитной волны роль распространяющейся величины £ играют векторы E и Н. Можно показать (доказательство снова118опускаем),что колебания векторов E и H в монохроматической волне неявляются независимыми, а именно, они имеют одинаковые частотьі, волновые числа и фазы:= EpSln((ot - кх),причем эмплѵггудыи= HpSln((i)t - кх),(15.6)связаны друг с другом соотношениемН„-(15.7)Мгновенный "профиль" такой волны, т.ѳ. распределение векторов E и Hвдоль оси X в фиксированный момент времени, изображен на рис.91.Рис.91Относительное расположение векторов Е, H и и в каждой точке пространства соответствует правому винту: при вращении головки винта отE к H по кратчайшему углу он движется поступательно в направлении ѵ.Вследствие независимости полей от координат у и z такая же картинаимеет место вдмь любой прямой, параллельной оси х.
Этот профильволны перемещается в направлении оси х со скоростью (15.3).Рассмотренная в качестве примера линейно поляризованная монохроматическая плоская волна - частный случай элекл'ромагнитной волны.Вид волны непосредственно зависит' от характера движения зарядов визлучающей системе.
Можно утверждать, что электромагнитные волныиспускаются тіолько ускоренно движущимися зарядами или, что то жесамое, пѳрйменчыми токами. Интенсивность излучения зависит не только от ускорений зарядов, но и от конфигурации сист'-мы. Так, например, закрытый колебательный контур, рассмотренный в § 13, излучаетслабо, поскольку в процессе колебаний электрическое и магнитное поля практически сосредоточены внутри конденсатора и катушки.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
