Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 17
Текст из файла (страница 17)
При этом*і ^Рис.69вследствие сонаправленности нормалейс вектором ^ все Ф^ положительные. Пренебрегая краевыми эффектами и считая соленоид заполнѳн-88ным однородным магнетиком с магнитной проницаемостью ц , имеем дляпотока магнитной индукциичерез площадь каждого витка: Ф. = BS == (і BpS = ЦрЦ п і S (здесь мы использовали формулы (Э.ій) и (7.23)).Полный поток через N = nl витков соленоида Ф =I S I.Разделив это выражение на силу тока I, находим окончательноL =S I.( 11.6 )Рассмотрим теперь два контура, по которым текут токи соответственнои I^.
Рассуждая аналогично случаю самоиндукции, найдем,что магнитное поле токав первом контуре создаст поток Ф„ магнитной индукции чѳрѳз поверхность S^, ограниченную вторьм контуром,пропорциональный силе тока(рис.70):=(11.7)Взаимно (на рисунке это нѳ отражено) магнитное поле токавторогоконтура создаст поток магнитной индукциичерез поверхность,ограниченную первым контуром, пропорциональный силе тока Ij:Ф,=(H-B)Можно показать, что коэффициент пропорциональности в формуле (11.8) тотже, что и в формуле (11.7):Он зависит от геометрических свойствконтуров и их взаимного расположения иназывается коэффициентомвзаимнойиндукции, аоконтурах при нѳ равном нулю коэффициенте их взаимной индукции говорят какРис.70OO индуктивно связанных друг с другом.При изменении силы тока в одном из индуктивно связанных друг сдругом контуров в другом возникает ЭДС - это явление называетсявзаимной индукцией.
ЭДС взаимной индукциив первом и е во втором контурах найдем, подставляя выражения для потоков(11.8) и (11.7) в формулу (11.3) (считаем 4 2 = LgJ= const):6= - Lт~(11.9)Явление взаимной индукции широко используется в электротехнике и радиотехнике (трансформатор, генератор, радиоприемник и т.д.).89Энергия магнитного поля. Рассмотри!.', цѳпь, состоящ’ю из источника постоянного тока, сопротивления и катушки индуктивностью L, вкоторой течет ток силой I. Предположим, что в некоторый момент действие сторонних сил источника прекращается, иначе говоря, источниьмгновенно удаляется из цепи, хотя цепь по-прѳжнѳму остается зэмкну^той (на рис.74 на с .
34 это соответствует мгновенному перекидываниіг'ключа К из положения "1" в положение "2"). Вследствие явления самоиндукции ток в цепи исчезнет не сразу, поскольку ЭДС самоиндукции,причиной возникновения которой является убывание силы тока,будет поправилу Ленца препятствовать этому убыванию, т.е. поддерживать убыва:ощ!ій ток. В процессе убывания тока сторонние силы, ответственныеза ЗДС самоиндукции, совершат рабо-^у над носителями тока. Вычислимэту работу.За малый промежуток времени dt, в течение которого значениясилы тока и ЭДС можно гчѵггать практически неизменными, сторонниесилы согласно (10.2) совершат работу dA = s^^^dq, где заряд dq,протекший по цепи за время dt, равен согласно (7.2) dq = Idt, аЭДС сакоиндукции выражается формулой (11.5).
Таким образом, имеемdA = - L dl/dt Idt = - LIdI. Полную работу найдем, суммируя малѵ.іеработы, совершаемые в течение всего процесса исчезновения тока отзначения си,лы тока I до 0: A = (-LIdI) = L r • По закону сохраненияэнергии эта работа определяет энергию W, которой обладает катушкзс током:2W = LI(11 . 10 )Как следует из оощѳй теории элбктрсмэгнѳтизма, эту энергию следует пргаисать магнитному полю соленоида. Считая соленоид достаточно длинным, можно полагать, что поле целиком сосредоточено Енутрисоленоида и однородно.
Магнетная индукция этого поля опред^яетсувыражением (7.23), которое, если соленоид заполнен однородным магнетиком,следует согласно (9.16) умножить на магнитную проницаемостьц магнѳтѵчка: В = ц,^ц.1п. Выражая отсюда силу тока I =иподставляя ее вместе с выражением (11.6) для индуктивности длинногосоленоида в формулу (11.10), пачучимв"(11. 1 1 )где V=IS - объем соленоида. Разделив энергию поля (іі.іі) на обіъем,который оно занимает, найдем энергию единицы объема - п л о т ность энергиимагнитного п>оля. С 'Учетом связи '''15)между магнитной индукцией и наиряженн гью для плотности энергиу*магнитного поля можно получить несколько равноправжх выражений:90I’"и =^= -Ь -BH= -Y--Эта формула, хотя она и получена нами на примере постоянного и однородного паля, определяет плотность энергии магнитного поля в самом общем случае.Основное уравнение цепи квазистационарного тока.
В цепях переременного тока мы сталкиваемся с двумя специфическими явлениями.Во-первых, переменный ток в отличие от постоянного может течь внезамкнутой цепи, в частности, в цепи с конденсатором. Во-вторых, вцепи переменного тока возникает ЭДС самоиндукции (11.5), которая,будучи пропорциональной скорости изменения силы тока, в цепях постоянного тока отсутствует.
Чтобы ЭДС самоиндукции была достаточнобольшой, в цепь можно включить катушку.Итак, рассмотрим неразветвленную цепь простейшего вида, состоящую из последовательно соединенных источника переменного напряжения с зависящей от времени ЭДС e(t), резистора сопротивлением R,конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью L (рис.7 I ).Предполагая вьшолнѳнным условие квазистационарности, мы вправе записать длямгновѳнньіх значений силы тока,напряжений:и ЭДС закон Ома. Поскольку рассматриваемая цепь разомкнута (ее концами являкггсяобкладки конденсатора), то речь идет о■ 0законе Ома (Ю.Э) для участка цепи с ЭДСIR =+ I е^,(11.13)ІЖ .7)где Фг ~ Фі =~ разность потенциалов между обоадками конденсатора. Так как при протекании переменного тока в катушкѳ возникаетЭДС самоиндукции, то суммарная ЭДС в законе (11.13) складывается из ЭДС источника и ЭДС самоиндукции: ^+ e(t).КОбычно ЭДС самоиндукции переносят с обратным знаком в левую часть ивыражениетрактуюгг как напряжение на индуктивности.Обозначая также напряжение IR на резисторе U^, получимОд ++ U j, = 8(t).(11.14)Таким образом, в цепи квазистационарного тока, как и в цепи постояного тока, сумма напряжений на всех участках контура равна действующей в этом контуре ЭДС (второе правило Кирхгофа).
Однако в отличие от постоянного тока напряжения на участках цепи, кроме участка с резистором, не пропорциональны силе тока;91= RI(11.15)и.= -Поэтому второе правило Кирхгофа приводит здесь не к алгеОраическомусоотношению между силой тока и ЭДС (как в (10.10) в случае постоянного тока), а к дифференциальному уравнению. Действительно, подставляя в формулу (11.14) выражения (11.15) для напряжений, имеем(11.16)^ + ^ Q = E(^)Iили, учитывая, w oI = dq/dt, и, следовательно,LR ^dt‘dtdl/dt = d ^ q /dt^,++ I± q = e (t).C(11.17)Назовем (11.17)основнымдиф ф е ренциальнымуравнениемдля цепи к в а з и с т а ц и о н а р ного тока с сосредоточенными сопротивлением R, емкостью С ииндуктивностью L. Решая его,можно получить полную информацию о процессах, происходящх в цепи.
Это общее положение иллюстрируется далее конкретными примерами типичных квазистационарных процессов.Процесс заряда и разряда конденсатора через сопротивление.Рассмотрим схему, состоящую из источника постоянного напряжения сЭДС £ , конденсатора емкостью С, резистора сопротивлением R и переключателя К (рис.72). Зарядка конденсатора происходит при подключении источника, т.е, при установке переключателя в положение I.Приперѳбрасьшании переключателя из положения I в положение 2 источникотключается и происходит разряд конденсатора через сопротивление R.I . Разрядка конденсатора.До начала процесса напряжение наконденсатор© равно ЭДС источника. Разрядка начнется в момент t = Оперекидьшания переключателя из положения I вположение 2 .
В дальнейшем источник в цепи отсутствует (£ = О), и второе правило Кирхгофа( 11 . 1 4 ) дает U rUc = 0. Преобразуем Ub г а к ,чтобы получить уравнение для искомого напряжения на конденсаторе: U p = RlоткудаR аі ■«° ч=си^.= с d U ^ / d t , так что Uj, = R C dO^^/dt иуравнение после деления на R C принимает видdUdtIc0.( 11.18)Рис.72Это уравнение легко проинтегрировать, разделяя переменные, т.ѳ.перѳьося в одну часть равенства величины, зависящие только от функции Uj,, а в другую - только от аргумента t;dU(,/U^ = _(і/ог \ л+Беря интеграл от обеих частей равенства:JdUgZUg= - ^Jdt , имеем- ^ ѣ + In А, где постоянная интегрирования представлена вRCt/RCвиде логарифма другой постоянной А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
