Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 20
Текст из файла (страница 20)
(13.3)координата x(t) «-► заряд q(t),масса шиндуктивность L,коэффициент трения в *-* сопротивление R,коэффициент жесткости квеличина I/С, обратная емкостиРешениеx(t) = Ae"^* cos(wt + ф)q(t) = Ae"'^* cos(o)t + ф), (13.4)где коэффициент затухания^ ^ ?!'^ ~ Ш(13.5)круговая частоташ= /COp =^ш= /,*(1¾ = 1/УІсГ,(13.6)(13.7)постоянные А и ф опредалякггся начальными условиями,т.ѳ. выражаются черезх(О), 1.(0)*q(0), 1(0).При не слишком большом затухании (р < ш^) заряд на кондѳнсе’'оре изменяется со временем по закону затухащего колебания (13.4).Используя формулы (11.15), можно показать, что сходным образом ве;'ут себя и все другие переменные электрические величины в контуре:I(t), Ujj(t), U^(t) и U^(t)- Такие электрические колебания в контуре называются свободными, так как они происходят при отсутствии внешних ьоздѳйствий.1(йПрактический интерес обычно представляют контуры с мальм активным сопротивлением, для которых(13.8)В этом случае, пренебрегаяпо сравнению св формуле (13.6)и учитывая (13.7), имеем для круговой частоты колебанийш * (i)(j = 1/ytc”,(13.9)В идеальном контуре (R = 0) коэффициент затухания р обращаетсяв нуль и колебания становятся гармоническими.
Полагая для простотыв решении (13.4) начальную фазу ф равной нулю, найдем по формулам(7.2) и (11.15) силу тока и напряжения:q(t) = ^cos cot,U(,(t) = g = ^cos u)pt,Kt)=U^_(t) = Lcos((dpt + тс/2 ).= (¾, Ц(13.10)cos(u)pt + TC).Напряжения на емкости и индуктивности имеют противоположные фазы(это нам уже известно из теории переменного тока), причем их ампли'тудные значения одинаковы, как следует из (13.10) с учетом (13.9) :Lii)p = Qq L (1/LC) =/с =.Графики и векторная диаграмманапряжений и силы тока для свободных колебаний в идеальном контуреприведены на рис.83.Закон сохранения энергии для колебательного контура имеет вид(12.14), где, поскольку источник отсутствует,’’= 0 :(13.11)Энергия, запасенная в контуре в виде энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки,убывает,переходя в тепловую энергию.В идеальном контуре AQ = О, поскольку R = O, так что Д(Дд + W^) = Ои, следовательно.Рис.83Wg += const.(13.12)Это означает, что энергия в процессе колебаний лишь перераспределяется C O временем между конденсатором и катушкой, сохраняя свое полное значение.104с ростом активного сопротивления R (при тех же значениях С и L ) картина свободных колебаний изменяется:увеличивается затухание колебаний, так как растет коэффициент затухания р = R/2L, иуменьшается их частота___а^=■/(Шр - f ) = /(1/LC AL^).При критическом значении сопротивленияP , определяемомиз условияI/LC = if P /4 L^,частота обращается в нуль ипри больших значениях сопротивления становится мнимой,так что решение в виде затухающих колебаний (13.4) теряетсмысл.
В этом случае, как следует из теории дифференциальных уравнений, решение имеетсущественно апериодический характер. На рис.84 даны графикиq(t) для контуров с одинаковыми значениями Си L, но с различными R №і < ^ <P < R4 )при начальных условиях q( 0 );^0 ,I (O)=O. Похожие графики именггместо для силы тока и напряжений на участках контура.Рис.84Вынужденные электрические колебания.Свободные колебания вконтуре затухают из-за потерь энергии вследствии выделения тепла наактивном сопротивлении. Иначе обстоит дело, если на контур оказывается периодическое внешнее воздействие, например, посредством включения последовательно с элементами контура источника переменногонапряжения с ЭДС, изменяющейся по закону гармонического колебанияе = Ep S l n Cdt (рис.80, ф = 0).
Эта схема представляет собой цепьпеременного тока, исследовавшуюся в §12 методом векторных диаграмм.Сейчас мы рассмотрим эту цепь с иных позиций - с точки зрения вынужденных колебаний в контуре.105Основное дифференциальное уравнение (11.17) в нашем случаеимеет вид2L ^+ R ^^ q = e^sln u)t.(13.13)dtiС тзкт уравнением мы встречались в механике - речь идет об уравнении движения материальной точки массой т, на которую действукгг квазиупруга^: сила-кх, сила жидкого трѳния= -6 ^и периодическая вьшуждающая силаm+ 6 Й + кх=Sln Uit.(13.14)dt°Wbi знаем, что решением уравнения (1 3 .1 4 ),описывающим установившийсяіхроцѳсс, является вынужденное колебание (см.
левый стшібец тайл.2 ).Заменяя в этом решении величины x(t), ш, в, к исоответственнона q(t), L, R, 1/С и E q , подучим установившееся решение уравнения(13.13) (правый столбец табд.2).Таблица 2Механические колебанияЭлектрические колебанияУравнение+ б §1 + кх = Гд S l n IOtL ^+ R+ iq = Ep еЩ U t .Решениеx(t) = А sln(ii)t + ф)-»q(t) =sln(wt + ф),где(13.15)Ir.А=q O=ш -/{(/ - ь:^)^+ 4f5^(/tg Ф =tg ф =(jf - 0J„Подставляя в формулы (13.15) для q.^ и tg ф значения р к(13.'=^.) к (13.7), получим псг:де несложных преобразований%=/F T(WL - IZujC)^из(13.16)гвФ=Зная, какзависит от времени зарядкочден^этср?, находим сйліинапряжения навсех злѳкѳнтах контург:-!106іокаI = ^= ^[С]д3іп(шѣ + ф)1 =Sln((i)t + ф + % / 2 ) ,и„ = R I = CLOJ R sln(o}t + <р+ 1С/2 ) ,q%~ П ~ С~ sln(wt + ф),= L ^= ЯоЬш^ S l n (u)t + ф + и).Итак, при подоючѳнии в колебательный контур последовательно егоэлементам источника переменного напряжения в контуре происходят вынужденные электрические колебания, при которых все переменные электрические ведичинь! I(t), q(t), U^(t),(t) и U^(t) совершают гармонические колебания, у которых частота равна частоте источника напряжения, а амплитуды и фазы зависят от параметров контура, а такжеот амплитуды и частоты ЭДС источника.Для вынужденных колебаний характерно явление резонанса, которое заключается в возрастании амплитуды вынужденных колебаний приприближении частоты внешнего воздействия (в нашем случае - частотыЭДС источника напряжения ш) к резонансной частоте, зависящей от параметров колебательной системы (в нашем случае -параметров R, С и Lконтура).
Исследуем более подробно резонанс силы тока и напряженияна конденсаторе.Амплитуда силы тока согласно первьм формулам в (13.17) и(13.16) имеет видgIo =■ .--------/ R^ +(OJL - U b 3 C f(13.18)Функция Io (ш) стремится к нулю при ы-Оиш-оо, а при шІ-1/соС=0,т.е. при1 /ѴШ = Шр, достигает максимума^как при этом условии знаменатель минимален. На рис.85,а приведеныграфики зависимостей(ш) - резонансныекривыесилы тока - для трех значений активного сопротивления Rj <Р^ <Rj принеизменных С и L.
Кривые,соответствующие большим значениям R,располагаются нижѳ* так как согласно (13.18) с ростом R сила тока уменьшается. Итак, резонансная частотадля силы тока равна частотесвободных незатухаюш^іх колебаний в контуре и резонанс выражентем отчетливее, чем меньше активное сопротивление контура.Амплитуда напряжения на конденсаторе согласно третьей формулеиз (13.17)= %/С. Подставляя сюда выражение дляиз (13.15),имеем°g°------ ■(13.1Э)° CL A a F107Функция и„ (ш) всюду положительна, Uc^(D)= 8,, a при ш0.оДля нахождения экстремумов функции(ш) следует приравнять нулюее первую производную: dU^ Zdco = О. Заметим, однако, что экстремумыэтой функции совпадакгг с экстремумами подкоренного выражения в знаменателе (когда функция максимальна, знаменатель минимален и наоборот) и поэтому могут быть определены из более простого условия:fil- ] = О.
откуда ш = /шр- 2р^. Из характераповедения функции(ш) следует, что этой частоте соответствуетмаксимум, так что последняя формула определяет резонансную частотуш 13 = //иЧ:- ZrНа рис.85,б даны резонансные кривые(13.20)(ш) для трех контуров с одинаковыми значениями С и L и разными R (R^ <). По мере увеличения R кривые располагаются ниже,так как согласно (13.19) с ростомR растет р и, следовательно,уменьшается.Рис.85Как следует из (13.20), рѳзонансьгія частота д ’ія напряжения наконденсаторе всегда меньше ы,,, в отличие от рѳзогіаисі '>Я чзхтотысияй \'ока, которая, как мы вВД'Длм, равнч (¾.
Для т.'рвдсгаалякщихпрактический интерес контуров с мальпуі затуханием (рш^) членом2р^ в формуле (13.20) можно пренебречь. S таких контуров резонансвсех переменных электрических величин (q, I ,U^,достигается практически одновременно при частоте ЭДС источника напряжения,равной частоте свободных незатухающих колебаний;I108(ГI'Наоборот, у контуров с большим затуханием резонансная частота длянапряжения на конденсаторе может заметно отличаться от. Более,того, еслито выражение (13.20) становится мнимым и резонансная кривая не имеет максимума -резонанс отсутствует (см. кривуюи для сопротивления Rj на рис.85,6).IоРассмотренное явление резонанса при последовательном соединенииисточника переменного напряжения с элементами контура называетсярезонансом напряжений.
Оно широко используется врадиотехнике.Добротность. Из параметров контура R, С и L (как, впрочем, ииз параметров любой другой колебательной системы) можно образоватьбезразмерную величинуQ = Ry/^,(13.22)которая называется добротностью контура и характеризует его поведение.Прежде всего замечаем, что условие (13.8), которое обеспечивает "добротное" во многих отношениях поведение контура (слабое затухание свободных колебаний, остроту резонанса при вынужденных колебаниях и т.п.), эквивалентно условиюQ »1 ,(13.23)которое получается, если подставить в (13.8) выражения (13.5) и(13.7) для P и .Добротность хороших контуров достигает несколькихсотен, не говоря уже о контурах из сверхпроводников.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
