Д.В. Белов - Электромагнетизм и волновая оптика (1115538), страница 18
Текст из файла (страница 18)
Отсюда находим U c (t ) = А вПбстоянная А определяется из начального условия U c ( O ) = е :полагаяt = О, н¾xoдим S = А. Таким образом, окончательно имеем-t/HC92Постоянная R C = г в показателеэкспоненты имеет простой физический смысл:подставляяв(1 1. 1 9) t = т, получим U c ( T ) =U c( O ) Z e ,т.е. аа время г = RCнапряжение на конденсаторе убывает в е « 2 , 7раз. Такимобразом время т характеризуетбыстроту спада напряжения - ононазывается п о с т о я н н о йв р е м е н и . На рис.73 кривыеI и 2 изображает графики зависимости ( 1 1 . 1 9 ) для двух цепейс различньши значениями Ни С,причем цепи с меньшим значениемпостоянной времени T i = Ri Ci соответствует более круто спадающая кривая.2 .
Зарядка конденсатора. В цепь с первоначально незаряженнымконденсатором (Ue(O) = 0) включают в момент времени t = О источникпостоянного напряжения с ЭДС, равной е. Теперь второе правилоКирхгофа имеет вид Ur + Uc = е . Подставляя сюда, как и в прѳдьщушеми деля на RC, имеемслучае, U j, = R C d U g / d tdtеRCRC(11 . 2 0 )Введем вместо Uc (t ) новую неизвестную функциюU(t) = U c (t ) - е .Выраіжая отсюда Uc = U + £ и подставляя в ( 11 .20), получаем для U(t)уравнение (11.18): d U / d t + ( 1 / R O U = 0.
Его решение, как мы видели,■“"t/RC—'t/Reимеет вид U( t) = А е, так что Ue = U + £ = A e+ е . Постоянная А определяется из начального условия U c ( O ) = 0: полагая t = О,имеем U c (0 ) = A + £ = 0 , откуда А = - £ , так что окончательно(I(11.21)-Графики этой зависимости, описывающей процесс зарядки конденсатора,представлены на рис.73 для тех же цепей кривыми I' и 2 ' .Итак, конденсатор заряжается от источника постоянного напряжения и разряжается через сопротивление не мгновенно, а постепенно,причем тем быстрее, чем меньше постоянная времени т = R C .Установление и исчезновение тока в цепи с индуктивностью и сопротивлением. Рассмотрим цепь,состоящую из катушки индуктивностью L,резистора сопротивлением R и источника постоянного напряжения с ЭДСЕ,который можно подключать и удалять из цепиприпомощипереключателя К (рис.74).I.Исчезновение тока.
Пусть в цепи, по которой течет установившийся ток силой Io (переключатель в положении I), в момент времениѣ = О источник отключается - переключатель мгновенно перебрасывается в положение 2.Как мы уже знаем,вследствие явления самоиндукции ток вцепи исчезнет не сразу. Чтобы найти зависимость силы тока от времени, записываем второе правило Кирхгофа, котороедля рассматриваемой цепи начиная с момента t = О имеет вид U l + U r = 0. Заменяя U l и Un их выражениями из (11.15)и деля на L, имеемdt931=0.(11 .22)Это урмнениѳ для силы тока K t ) ииѳет тот же вид, что и уравнение( 11.18) для U c (t ), с той лишь разницей, что при нѳиввестной функциистоит коэффициент B / L вместо I/HG.
Однотипны и начсільныѳ условия:H O ) = Io и U c ( O ) = Е. Поэтому решение уравнения 11 1. 2 2) определится формулой (11.19), в которой следует заменить Uc (t ) на K t ) , I / R Cна R / L и е на Io:K t ) =.(11 .23 )2.Установление тока.
Если в цепь, в которой ток первоначальноотсутствует (переключатель в положении 2), в момент t = О подключить источник, перекидьшая переключатель в положение I , то вследствие явления самоиндукции ток в цепи установится не сразу. Второеправило Кирхгофа с момента включения источника имеет вид Ul+ Ur= е ,или с учетом формул (1 1 .1 5 ) и после деления на Ldt+ R I = ILL-I 11 .24 )Преобразуя правую часть; e / L = ( R / L ) ( s / R i = ( R / D I o , где Io = e / R сила установившегося тока, приходим к уравнению для силы тока I(t)( 11.2 5 )аналогичному уравнению (1 1. 2 0) для напряжения U c (t ), но с иными выражениями для постоянных величин: R/I.
вместо I / R C и Io вместо е .Начальные условия для K t ) и Uc (t ) также одинаковы (КО) = ОиU c ( O ) = 0), поэтому решение у лвнения (1 1. 2 5) определяется формулой(11.21), в которой следует произвести указанные замены постоянных:Kt)= I(I --(н/і. )t).(11 .26 )Формулы (1 1. 2 3) и (11 . 26 ) показывают, что исчезновение и установление тока в цепи с индуктивностью и сопротивлением происходитпо тем же законам, что и ралрядка и зарядка конденсатора через сопротивление , HO с иной постоянной времени т = L/R.
Графики зависимости I(t) имеют тот же вид, что и кривые U e (t ), изображенные нарис.73, причем кривые типа I и 2 соответствуют процессу исчезновения тока, а кривые типа I' и 2' - процессу установления тока привключении источника.§ 12.СЖНУСОЙДАЛЬНЫИ ТОКФундаментальную роль в теории и на практике играет ток, силакоторого изменяется со временем по закону гармонического колеоанияI = ІуЯІХі(шг + ф).(I?..I)В дальнейшем под пѳреьѳкньім гоком мы, ісш прав'лпо, оудем подразумевать именно такой синусоидальный ток.При изучении цѳпѳй с электрическим током бішно установить связьмежду силой тока и напряжением. В цепи постоянного тока, состоящейиз проводников первого рода, эта свяйп выражается закономсогласно которому сила тока аропорциональна напряжению, или ЭДС tслучае замкнутой цепи (см.
формулы (10.5),(10,9) и (10.10)). С '-раняя терминологию, будем называть законом (Змэ связь между силой тока94и напряжением также и в случае цепи с синусоидальным перемѳйным током, хотя здесь, как мы увидим далее, сила тока, вооощѳ говоря, непропорциональна напряжению. Начнем с установления связи между силойтока и напряжением для отдельных участков цепи.Закон Ома для участка цепи с сопротивлением R. Пусть на участке цепи с сопротивлением R и пренебрежимо мальми емкостью и индуктивностью (участок с резистором, рис.75,а) течет переменный ток силой I = IgSln cot. Для мгновенных значений силы тока I(t) и напряжения Ug(t) на этом участке верен закон Ома (10.5):U^(t) = RI (t) = HIpSln шг .(12.2)Следовательно, напряжениесовершает гармоническое колебание стеми же частотой и фазой, что и сила тока, а амплитудные значениясилы тока Ip и напряжениясвязаны соотношением(12.3)Зависимость силы тока и напряжения от времени дана на рис.75,б.бвРис.75В курсе механики было показано, что каждому гармоническому колебанию y(t) = А S I n (Wt + ф) можно сопоставить вектор А (вектор амплитуду), который равномерно вращается в плоскости ху с угловой скоростью ши в начальный момент t=0 образует уголФ с осью х; рассматриваемое колебаниеявляется проекцией вектора-амплитуды Ана ось у.
Вектор-амплитуду изображают вмомент t=0 (векторная диаграмма колебания, рис.76). В нашем случае колебаниясилы тока и напряжения изобразятся сонаправленными векторами - амплитудами(ф = 0) с модулями Ip и(рис.75,в).Рис.7695Закон Ома для участка цепи с емкостью. Рассмотрим участок цѳпѵ'емкость которого С, а сопротивление и индуктивность пренебрежимомалы (участок с конденсатором, рис.77,а), по которому течет ток силой I = IPSlnuit.Чтобы найти искомую связь между силой тока и напряхениемна конденсаторе, достаточно в формуле= q/C выразить заряд q(t) через силу тока. Из определения силы тока I = dq/dtимеем для мзілого заряда dq, протекшего за время dt: dq = Idt.
Зарядq, проте.аііий за конечное время t, найдем, взяв интеграл от dq:q =Idt = Jl^ S l r n o t d t = -COSCOt =s ln (u t-к /г)(постоянную иі-ггегрирования полагаем равной нулю, так как нас интересует лишь заряд конденсатора, обусловленный переменным током).Таким образом, напряжение на конденсаторе имеет видU c (t ) =slrUujt -%/2 )(12.4)т.е. оно совершает гармоническое колебание с той же круговой частотой ш, HO отстает по фазе от силы тока на %/2 (по времени - на четверть периода), причем амшіитудньіѳ значенияитока и напряжения связаны соотношением°(12.5)\Сравнивая этот закон с обычным законом Ома U = R I , замечаем,выражениеIчто( 12.6 )играет роль сопротивления - оно называется емкостным соп р о т в л ѳн и ѳм .
Графики и векторнью диагрзшы для участкацепи с «лкостыо представлены на рис.77,б и. в.а ---.—б.1 ¾ -56Закон Ома для участка цеди с индуктивностью. Рассмотрим Участок цеди с индуктивностью L и пренебрежимо малыми сопротинлѳниѳм ием.си"тью (участок с соленоидом с малым сопротивлением проводов R,ряс.73,а),по которому течет ток силой I = IgSlnajt. Согласно (11.15)= L ^= L ^(I^slnut) = ші IpCOSUJt = (I)L I(jgln(ut + %/ 2 )Таким образом, напряжение на индуктивностиU^(t) = ШІ IpSln((i)t + 1С/2)(12.7)также совершает гармоническое колебание с круговой частотой ш, ноопережает по фазе силу тока на %/2 (по времени - на четверть периода), причем амплитудные значенияи и^_ силы тока и напряжениясвязаны соотношением°(1 2 .8 )Величина(12.9)играет роль сопротивления и называется индуктивным сопротивлением.
Емкостное и индуктивное сопротивления называют реактивными, а обычное сопротивление R проводникаактивным (смысл такой терминологии станет ясным позднее, см.с.100-102). Графики и векторные диаграммы для участка цепи с индуктивностью представлены на рис.78,О и в.а ——б-¾-Рис.78Закон Ома для всей цепи. Рассмотрим теперь участок цепи, состоящий из последовательно соединенных резистора с активным сопротивлением R,конденсатора емкостью С и катушки индуктивностью L с пренебрежимо малым сопротивлением проводов (рис.79,а), по которому течет ток силы I = IPSlIKiJt.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
