А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 92
Текст из файла (страница 92)
е. необходимо использовать опережающие потенциалы. На эта ни в какой степени не означает нарушения при»Чипа причинности, как это непосредственно видно из проведенного выше рассуждения. С физической точки зрения это есть просто ответ на вопрос о том, что должно было произойти в прошлом, чтобы настоящее являлось таким, каким оно есгь при известных законах развития.
Р ибратор Герца. Это электрический диполь, момент которого изменяется со временем. Реальным прототипом вибратора Герца может служить совокупность двух металлических шариков (рис. 252), соепиненных проводником. Если шарикам сообщить равные, но противоположные по знаку, заряды и предоставить систему самой себе, то будет происходить колебательный процесс перезаряцки шариков. Колебания тока будут затухающими. Если сопротивление проводников мало и потери на излучение за один период невелики, то в течение достаточно большого числа периодов затуханием можно пренебречь.
Тогда на расстояниях, много больших 1, система может рассматриваться как диполь, момент которого изменяется со временем. Таким вибратором пользовался Герц, впервые экспериментально получивший электромагнитные волны. Поэтому он называется вибратором Герца. Скалярный потенциаз лнполя, изменяюпьегося со временем. Г1отенциал пиполя определяется формулой (61.17), которую улобно переписать в виде 1 ! р(с,г — г7с) <р(г, 1) = — ~ — ', д)'и 4пео л где предполагается, что диполь расположен в вакууме (е = ео, р = ро).
При вычислении (6!.18) начало координат целесообразно поместить 410 9. Электромагнитные волны р(д, с — и'/с) рД, с — г/с) г ~ д ~ р(~, с — г/с) г' г г дг( г (61.21) Подставляя (61.21) в (61.18), находим г д Г ср = — — ~ рд)гс — — — ° — ~ 9рдУв 4яке 4лее г дг ~ (6! .22) где принято во внимание, что и является при интегрировании постоянной величиной. Вследствие электрической нейтральности системы первый интеграл в правой части (61.22) равен нулю, а второй представляет собой момент диполя 1см.
(17.2)3 ) Гр(С вЂ” и/с) с((гг = р(с — и/с), (61.23) Поэтому окончательно потенциал диполя, изменяющегося со врелтенем, определяется формулой 1 г д Гр(с — и/с)1 9 (г,с) = — — —.— ~ (61.24) 4лео и дг ~ и Пользуясь выражением для дивергенции в сферических координатах, формулу (61.24) можно представить в виде ср(г, с) = — — Йч 1 . р(с — и/с) (61.25) 4кео г риекторный потенциал. Он вычисляется разложением подыитегрального выражения (61.16) в ряд вида (61.21): ро д Гр(с — и/с) ! А(г, с) = — — ~ 4я дс~ (61.26) в области распределения заряда; местоположение начала в пределах области распределения заряда несущественно, потому что размеры диполя предполагаются сколь угодно малыми по сравнению с расстояниями до точек, в которых рассматривается его поле.
Положение точки, в которой вычисляется потенциал поля, характеризуется радиус- вектором г; ~ — радиус-вектор элемента объема с()'в а г' — есть расстояние между элементом объема с))г~ и точкой наблюдения (рис. 253). Рассмотрим потенциал на больших расстояниях от диполя (Ц/и ~ 1). Учитывая, что г' = г — ~, г' =1/гз — 2г.~+ д', (61.19) можно выражение для г' разложить в ряд по Цг и ограничиться линейным членом разложения гс, «тсп г9 1 — 2 — — — ) =и — — +... 2 гт /) (61.20) Пользуясь этой формулой, разложим подынтегральное выражение в (61.18) в ряд Тэйлора в точке г: й 61. Излучение электромагнитных волн 411 '.)лектрическое и магнитное поля.
Для упрощения написания последующих формул введем обозначение П= р (г — г/с) = роФ (г, г), г (61,27) где ре — постоянный вектор, характеризующий направление колебаний диполя. Исходя из (61.25) и (61.26), получаем: В = гоГ А = — гог — = — — гог П, ре дП ре д (61.28) 4>г дг 4к дг дл 1 . р дп Е = — 8га6 >р — — = — йга6 гй» П вЂ” — е— дг 4пао 4п дг> 1 / . 1 д>П»> 1 = — ( 8га6 61» П вЂ” — — ) = — гог гог П, 4пко ~, дгэ ) (61.29) где принято во внимание, что реке = 1/с', учтена формула (П.10), а вектор П удовлетворяют волновому уравнению 1 д>П з/ П вЂ” — — =О.
с' дг' (61.30) Значение гог П вычисляется по формуле (П.16): 1 дФ го1 П = гогреФ = 8га6Ф х рв = — г х р,. (61.31) г Дальнейшие вычисления удобнее провести в сферической системе координат. Направим полярную ось У вдоль вектора рв, поместив начало координат в центре диполя. Полярный н азимутальный углы обозначим соответственно В и п (рис. 254), Очевидно, (г х ре)„= (г х рв)в = О, (г х ре), = — греейп В, (61.32) поэтому дП гог, П = го1» П = О, гог, П = -з>п  —. дг Отсюда на основании (61.28) получаем: р д рв д>П В„= В,> —— О, В„= — е — гоС„П = — — з(п Π—. 4л дг * 4к дедг (61.33) (61.34) Проекции вектора Е вычисляются с помощью формулы для ротора в сферической системе координат: 1 ! д 1 созО дП Е, = — .
—.(з>п Вгог, П) = — — — —, 4псо г ып О дО 2лсв г дг ' 1 1 д з(пО д / оП) Ев = — — — — (г го1„П) = — — —.1г — ), (61.35) 4лсв г дг " 4ясе «дг ~, дг )' Формулы (61.34) и (61.35) показывают, что вектор иалряже>тости электрического коля лежит в меридиоиальиь>х ялоскотпчх. а вектор 412 9. Электромагнитные волны индукции магнитного поля перпендикулярен меридианальной плоскости, проведенной через соответствующую точку, причелз магнитные силовые линии совпадают с параллелями рассматриваемой сферической системы координат. Веюноры электрического и магнитного нолей в каждой точке взаимно перпендикулярны.
Формулы (61.34) и (61.35) справедливы цри произвольной зависимости функции Ф(О г) в (61.27) от времени. Считая, что момент диполя изменяется по гармоническому закону р = рос™, получаем е- !> П=ро Выполняя соответствующие дифференцирования в формулах (61.34) и (61.35), находим выражения для отличных от нуля проекций: ро . з ! !и з 1 / 1 1и ) В, = — !то ебп О ~ — + — П, Е„= — соз О ~ —, + — П, 4к с ( ' " 2кео 1,»' стг) 1 / 1 зго азз') Еь= — ыпО з + — — з П, 'ь 4яао (, гз сг сз ( (61.38) Поле в непосредственной близости к осциллятору на расстояниях, меньших длины волны Х = сТ = 2нс/ю, одинаково с полем статического дилоля и тока.
На расстояниях, много больших длины волны, поле осцнллятора принципиально отличается от поля постоянного днполя и тока. Соответствующая область называется волновой зоной. (61.40) В этих формулах в качестве П можно взять либо действительную, либо мнимую часть выражения (61.37), например: П= ро соа оз (г — г/с) г (61.42) Поэтому окончательно напряженность и индукцня электромагнитного поля в волновой зоне вибратора могут быть представлены Поле внбратора а волновой зоне.
Расстояние г до точек волновой зоны удовлетворяет, по определению, следующему неравенству: 1 го (61.39) с Поэтому в формулах (61.38) можно пренебречь !/г и 1/гз по сравнению с ю/с и юз/сз. В результате получаем следующие выражения для проекций векторов поля: ро В„= — — — Пз!пО, В„=В,=О; 4к с 2 Ее — — — — — зПыпО, Е, = Е„= О. (6 !.41) 4ксо с й 61 Изчученне электромагнитных волн 413 следующим образом: Еа = сВ, = 1 го 51пВ / Ро СО5 ОЗ 4лео с' г 1, с )' (61.43) Эти формулы показывают, что в волновой зоне электрический и магнитный векторы перпендикулярны друг другу и радиус- вектору г. Векторы Е, В, г составляют правовиптовую тройку векторов в каждой точке.
Напряжснтгоспгь паля убыеаеп~ обратно пропорциональна первой степени расспюяния. Представляемая формулами (61.43) волна называется сферической. Она распространяется в направлении радиус-вектора. Поверхности постоянной фазы этой волны являются сферами. Скорость волны (фазовая) равна скорости света. Поскольку Е, = = сВ малые участки поверхности сферической волны могут рассматриваться как плоские электромагнитные волны. мощность, излучаемая вибратором. Плотность потока электромагнитной энергии характеризуется вектором Пойнтннга (59.7).
Поэтому поток электромагнитной энергии Р сквозь поверхность 5 сферы радиусом г, окружающую вибратор, равен 255 Рамка с гаком Р= Ех И ДЯ= Еен„е)5= Ч 2 соа вз г — — згп Обй х 16я'ео сз с)) о 2 охро 2 1 х с)и = — соз оз11 — — ). (61.44) бквс с с) о Это есть мощность потока, т. е. энергия излучения вибратора в 1 с. Средняя за период излучения мощность излучения равна 25б ьз Ро (Р) = — ~ Рг)г = Т ~ 12яво сз о (61 45) Е =Ее=0 В =Во=О' Выбор сферической системы коорлинат ири вычислении ноля линоля Соотношение менлу смещением электрических зарядов. созлающих напольный э1ек~рячмкнй монин, и током в рамке, сознаю~ням магнитный момент 414 9. Электромагнитные волны Эта формула показывает, что мощность излучения виброторп очень сильно зависит от частоты и пропорциональна ее четвертой степени.
Это означает, чта для увеличения мощности излучения целесообразно переходить к более коротким длинам волн. Так как вектор Пойнтинга убывает обратно пропорционально квадрату расстояния, а плаШадь поверхности сферы растет прямо пропорционально квадрату расстояния, то полный поток энергии, пересекающий поверхность сферы, не изменяется с расстоянием, следовательно, энергия без потерь переносится от вибратара в отдаленные участки пространства в виде электромагнитных волн.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
