А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 88
Текст из файла (страница 88)
Между обкладками и 1оскага хапдгпсатара имеются два слал слабо щюводящего материала с удельными проводимосптми 7, и 72 и диэлектрическими проиицасмагтнми в, и вз. Толщины слоев равны соответственна а, и а, (рис. 246). Площади вбкладак кондемсапюра К. Исследовать процесс установления силы тока в цепи, если в момент Г = 0 к обкладкам конденсатора приложена постоянная разность лите»иналов ((в. Рассматргть процессы, возникающие при размывании цепи и при шуитировании источника сторонних з. д.
с, В момечп включения напряжения на границе между слоями нс может мгновенно возникнуть поверхностный заряд. Поэтому в начальное мгновение рассматрнвасмаа система ведет себя так, как будто проводимость вещества между пластинами равна нулю, т. е. как идеальный конденсатор. Поэтому в пространстве между пластинами возникает смещение где Е, н Е, — напряженности злс1сгрнчсского поля в первом и втором слоях соответственно.
В (57.6) учтена непрерывность (у, Так как разность потенциалов между пластинами равна ((с, то щ ) Е ей=а,Е1+а1Е2 = Ио 111 где в качестве пути интегрирования ог первой пластины ко второй взят путь по нормали к пластинам. Из (57.6) и (57.7) следует, что 6 57. Ток смещения 391 где учтено соотношение (57.7). Поскольку проводимость неоднородна, на поверхности раздела между слоями существует заряд с поверхностной плотностью о = Вг„— Вг„-— сгЕг — с,Е, = (сгУг — егтг) Егог(Угаг + Угаг), (57.10) где использовано граничное условие (17.36), так как напряженность электрического поля не зависит от времени.
В переходном режиме, до достижения стационарных значений (57.9) и (57.10), токи проводимости в первом и втором слоях различны, а плотность заряда на границе раздела между слоями возрастает со временем. Одинаковое значение в обоих слоях в переходном режиме имеет сумма объемных плотностей токов проводимости и смещения, называемая полной объемной плотностью тока: д д уо = угйг -1- — (е,Ег) = угЕг + (егЕг) дс огг (5731) Исключив Е, из (57.11), с помощью (57.7) получаем уравнение для Е,: г)Ег Ег уг(!о — + — = бг т сгаг + егаг (57.12) где т =(я,а, +сгаг)((угаг+ угаг).
(57.13) Аналогичное уравнение получается и для Ег. Решение этих уравнений прн начальном условии (57.8) таково: Е, = — —. (1 — е н)+ уг оо ег !то -ч е уга, + у,а, огаг + егаг (57.14) Е уг о (1 е)+ сг о угаг ! !'гаг сгаг + егаг (5735) При г х эти решения, как и должно быть, принимают вид (57.9), Поверхностная плотность заряда межлу слоями изменяется по закону о = с,Е, — в,Е, = --- — — — — (1 — е ') Уо. агуг агут -я угаг + у,аг (57.16) Весь ток в начальный момент является током смещения. Он равен бесконечности, поскольку разность потенциалов включается мгновенно и (! мгновенно возрастает от 0 до значения, опрелеляемого по формуле (57.83 Поверхностная плотность заряда на пластинах также возрастает мгновенно от 0 до аг = -ог=р.
Мгновенные изменения электрического смешения от нуля до конечного значения обусловлены очень большой скоростью возникновения поляризованности вещества под влиянием внешнего поля. Поляризованиость возникает за время, характерное для внутримолекулярных процессов. В последующие моменты времени после включения начинает возрастать сила тока проводимости и по прошествии достаточного времени (г -г сс) устанавливается равновесное значение плотности тока: 1 =УгЕ = Угбг =УгУ 1/огг(Угаг + Угаг), (57.9) 392 9.
Электромагнитные волны При с = 0 поверхностная плотность заряда о = О, а при с -! со она, как и следовало ожидать, стремится к (57.10). Полная плотность тока находится из (57.1!) с учетом (57.14) и (57.15): )в = усЕ! + — (ссЕ!) = "сгЕг+ — (сгЕг) = ~ — + у,— — х дс ' дс уга! + у,аг 8()1 (с ( ' — )- " 1., сга! + егяг уга! + угас I сга! + егаг (57.17) где 6(с) — дельта-функция. Она возникла из-за того, что смещение Р при с = 0 возросло мгновенно от 0 до (57.8). Другими словами, при вычислении производной по времени в (57.!7) имеем д(е Е ) дЕ, асс!(ге (57.18) дс й е а, + а,а а прн вычислении дЕг/дс в (57.18) пользуемся выражением (57.14), справедливым дла всех с > О.
Проведенный анализ показывает, что распределение напряжений по различным участкам цепи в момент включения внешнего напряжения может существенно отличаться от распределения в установившемся режиме. Это обстоятельство необходимо принимать во внимание при расчете цепей. При размыкании цепи У„= 0 и, следовательно, уравнения (57.11) принимают вид: д(а,Е,) д(кгЕг) у,Е, + — „-=О, с,Е, + = О. ос дс (57.19) Поли распадаются независимо. )С установившемся режиме, как это видно из (57,14) и (57.15), Есе =уг(уеДуга! + у!а!), Его =уг(се)(уга + угаг).
(57.20) Решение уравнений (57.19) при начальнмх условиях (57.Ю) имеет вид: уг(ге -г! ! ус(ге -Ч г ! е, Е,= е уга! + угаг уга! + угас где т, = с!/уь тг = ег(уг. Разность потенциалов между разомкнутыми клеммами изменяется так: (57.21) (се — гс г (С = а,Е, + агЕг —— (угаге + у!аге уга! + у!с!с (57.22) Поверхностная плотность заряда на границе между слоями в конденсаторе определяется формулой (се -а., о=с,Е,— а,Е, = (агу!с ' — а!усе ' ], уга, + у,аг (57.23) (57.24) а,Е, + агЕг О, с)Е! Е! — + — =О, с)с (57.25) При шунтировании источника сторонних э. д.
с. (Се = О и уравнения (57.7) и (57.12] принимают вид: где т — определяется выражением (57.13). Начальное условие нрн ! = О нахслвтся вз (57.10) с учетом (57,24): с2Е22 — о!Е12 = ( — + е1) Е1о = — — (7о. еоа! г27! — 2172 (57.26) аз тза, + т,аз Решение уравнения (57.25) с начальным значением Е,о нз (57.26) таково: (о27! е172) а21' о -ч Е! = — Езаз/а! =— с (е,а, + е,а,)(тза, + т!а2) (57.27) Сила тока в контуре н поверхностная плотность заряда между слоями равны: (,1, 2 ( т!ез тое! ) ае2217о -ч, е!22(О~ 8() )5 '1 с!аз + еза1/ (тоа! + 7!а!) е!аз + еоа1 (57.28) о= сот! е172 (7 — н ое т,а, е о, " (57.29) Член с 8-функцней в (57.28) появился нз-за того, что в момент шунтирования источника сторонних э.
д. с, вектор смешения 77 скачком изменился от значения, соответствующею формуле (57.9) для установившегося режима, к значению, соответствующему начальным условиям прн ! = О по формуле (57.26). й %. Система уравнений Максвелла Обсуждаются физический смысл, условия применимости, полнота и совместность системы уравнений Максвелла. Система уравнений Максвелла.
Полученные в предыдущих параграфах в результате обобщения экспериментальных фактов уравнения (57.5), (46.5), (36,4), (17.30) составляют систему уравнений Максвелла: с)1УВ = О, (111) Й)ч Р = р. (1У) (58.1а) Эти уравнения, называемые палевыми, применимы для описания всех макроскопических электромагнитных явлений. При рассмотрении конкретной ситуации необходимо учесть электромагнитные свойства материальных сред. Во многих случаях это достигается соотношениями (17.31), (38.24), (16.Я: Р=еЕ, В=рн, )=уЕ (У), (58.1б) называемыми обычно материальными уравнениями. Однако существует много явлений, когда материальные уравнения имеют другой вид (например, нелинейные явления) и их установление составлвет самостоя- тельную научную заддчу.
го1Н =1+ д(у/дс, (() гог Е = — оВ/дс, (11) 1 58. Система уравнений Максвелла 393 394 9. Электромагнитные волны физический смысл уравнений, Уравнение (1) выражает закон, по которому магнитное поле порождается токами проводимости и смешения, являющимися двумя возможными источниками магнитного поля. Уравнение (П) выражает закон электромагнитной индукции и указывает на изменяющееся магнитное поле как на один из возможных источников, порождающих электрическое поле. Вторым источником электрического поля являются электрические заряды, порождение поля которыми описывается уравнением (1Ч), выражающим закон Кулона.
Физический смысл уравнения (П1) подробно обсуждается в связи с (36.4). Материальные уравнения (Ч) являются соотношениями между векторами поля и токами, учитывающими свойства материальной среды. Учет диэлектрических свойств, фепоменологически описываемых поляризованностью, содержится в диэлектрической проницаемости е; учет магнитных свойств, феноменологически описываемых намагниченностью, содержится в магнитной проницаемости р; учет проводящих свойств среды содержится в удельной проводимости у. Уравнения поля являются линейными, учитывающими принцип суперпозиции, который является независимым экспериментальным фактом, условия применимости уравнений.
По ходу обоснования уравнения (58.)) видно, что они справедливы при следующих условиях: 1) материальные тела в поле неподвижны; 2) материальные константы а, р, т могут зависеть от координат, но не должны зависеть от времени и векторов поля; 3) в поле отсутствуют постоянные магниты н ферромагнитные тела. Для того чтобы учесть движение среды, проще всего поступить так. Наличие среды для электрических и магнитных явлений сводится в конечном счете к наличию зарядов среды и их движениям. Поэтому можно исходить из уравнений Максвелла для вакуума (е = ао, р = )го), а среду учесть точно так же, как это делалось в 8 17 и 38, но приняв во внимание движение зарядов, В результате получается, что уравнения поля (58.1) сохраняю~ без изменения свой вид, а весь учет движения среды сводится к модификации материальных уравнений (58Лб), которые становятся зависимыми от скорости среды и значительно усложняются.
При этом они перестают быть соотношениями между двумя величинами (например, между Р и Е и т.д.), а «зацепляются» друг за друга. Например, плотность тока проводимости начинает зависеть от инлукции магнитного поля, а не только от напряженности электрического поля и т, д. Поле вне посгоянных магнитов и ферромагнетиков в предположении, что известна их намагниченность, можно описать с помощью уравнений Максвелла. Однако решить задачу при наличии ферромагнетиков в пространстве, когда, например, заданы токи, с помощью уравнений Максвелла нельзя.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
