А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 91
Текст из файла (страница 91)
Если такого согласования нет, то часть энергии отражоетсл от нагрузки и движетсл но линии навстречу первоначальному потоку энергию Рассмотрим в качестве примера закороченную на конце линию передачи, т. е. когда (/„= О. Уравнения (60.23) н (60.25) принимают вид: 0 = Ае нл + Вен', /ч = Ае '"/р — Ве'"/р, (60. 39) (60.40) где для упрощения написания формул введены обозначения; () = оз')/ЬС, р = 1/Ь/С, Разрешая зти уравнения относительно А и В, получаем А = 1„рен"/2, В = — /„ре иа/2, (60.41) Поэтому выражения (60.23) и (60,25) лля напряжения и силы тока вдоль линии передачи записываются следующим образом: и = /о Р [е '"'" "— е'"'" н1 (60.42) 2 / = — [е 'еи л+ е'в'" в1.
ло (60.43) 2 Поскольку зависимость величин от времени характеризуется множителем ехр((озг), можно заключить, что первые слагаемые в правой части этих формул описывают волну, распространяющуюся в положительном направлении оси Х, а вторые — в отрицательном (т. е. описывают отраженную от закороченного конца линии волну). Отсюда можно заключить, что не только невозможность полностью передать энергию в нагрузку при отсутствии согласования с линией диктует желательность согласования.
Если сигналы передаются в виде импульсов, то последовательные отражения от нагрузки, а затем снова от ахала, настолько искажают сигнал, приходящий в нагрузку, что с ним становится трудно работать. 1 61. Излучение электромагнитных волн 405 8 61. Излучение электромагнитных волн Дается решение задачи об излучении линей- ного осциллятора, Полученное решение обоб- ьцаетсл иа случай лро«звальиа ускоренного иерелявшвистского электрона. Обсуэидается реакция излучения. Уравнение для векторного потенциала. Индукции и напряженность переменных полей выражаются формулами (46.8) и (46.12) через векторный и скалярный потенциалы, для нахождения которых необходимо иметь уравнения.
Исходим из уравнения Максвелла (58.1, 1), которое удобно записать в виде (6!.3) д(р )', дэу ! = »В» А+ рс — + (Ч~Х вЂ” рс — ). дг д! ) дЕ го! В = р1 + ца —, (61,1) дг где для упрощения предполагается, что р и с не зависят от координат. Подставляя (46.8) и (46.12) в (61Л), получаем д / дА э гог го! А = р1 + ра — 1 — 8гад эр — ). дг 1, дг ) (612) Принимая во внимание, что го!го! А = 8гаг( Й» А — Ч А, преобразуем (61.2) к виду дэА, /, дчэ ь Ч'А — рс, = — р1 + 8гад 41» А + ре — . дгг д) Пользуясь неоднозначностью потенциалов, определенных с точностью до калибровочного преобразования (46.13), можно на них наложить некоторое условие. Для максимального упрощения уравнения (61.3) зто условие выбирается в виде равенства 61» А + рс — = О, дср (61.4) дг называемого условием Лоренца.
В результате (см. (6!.3)3 получаем дэА Ч'А — ер =э= Р1 (61.5) дгэ — уравнение Даламбера. Выбор калибровочной функции )(. При наложении на потенциалы условия Лоренца (6!.4) функция у., с помощью которой осуществляется калибровочное преобразование потенциалов (46.13), не может быть выбрана произвольно; необходимо, чтобы условие Лоренца (61.4) сохранялось при калибровочных преобразованиях.
Имеем дчэ' д й!» А'+ рс —.= гй»(А+ 8гад 2) + Ре (цэ дХ/дг) = сг дг 406 9. Электромагнизные волны Таким образом, условие Лоренца инвариантно лить при калибровочных преобразованиях с функцией т, удовлетворяющей уравнению д Х Ч'Х вЂ” ре — = 0. д<* Уравнение такого вида называется волновым уравнением или олнородныл< уравнением Далал<бера. (61,8) где вместо Ф можно подставить А„, А„, А„ц<, а вместо / соответственно р/„, р/,„ь</„р/е. Выясним смысл ер = 1/сз. вяз<ешенне волнового уравнения.
Прежде всего рассмотрим решения уравнения (6!9) при /' = О, т. е. однородного уравнения, Возьмем одномерный случай Ф = Ф(х). Уравнение (61.9) имеет вид д<ф 1 дгф — — — = 0. (61.10) дх с д<< Непосредственной проаеркой убеждаемся, что решением (61.!О) является любая функция ф от аргумента с — х/с или < + «/с. Проверим зто, например, для функции Ф(< — х/с): дф, д<Ф „дф 1 д<Ф 1 д< ' дг! ' дх с ' сх< из где Ф' — производная по аргументу функции. Из (61.11) следует, что произвольная функция Ф(< — х/е) действительно удовлетворяет уравнению (61.10). Аналогично доказывается, что и функция Ф(г+ х/е) также удовлетворяет этому уравнению. Смысл этих решений очень прост.
Функция Ф(< — х/с) представляет собой волну, д'вижущуюся в направлении положительяых зиачсяий оси Х со скоростью е. Действительно, < — х/и = г + А< — (х + Ьх)/с (6!.12) (6141) при Ах/А< = т Это означает, что если в момент времени г функция Ч'(< — х/е) представляется некоторой кривой (рис. 251), то в момент $гравнение для векторного потенциала. Подставляя (46.12) в уравнение Максвелла (58.1,1Ч), находим дА< р Йт — бга<) ср — — — /1 = —. (6! Л) д<( е' Исключая отсюда <1!ч А, с помощью (61.4) окончательно получаем следующее уравнение для скалярного потенциала: д'<р р д<' е' Таким образом, для декартовых проекций векторного потенциала (61.5) и для скалярного потенциала получается одно и то же уравнение в<ша 1 д<ф Ч<Ф вЂ” — ' .
= †/'(г, <), (61.9) < д < 61. Излучение электромагвнзных волн 407 времени ь + Аг опа изображается той же кривой, но сдвинутой в направлении положительных значений оси Х на о Аг, т, е. это волна, движущаяся в направлении положительных значений оси Х со скоростью е. Вот почему было введено обозначение ер = 1/ез. Аналогично показывается, что функция Ф (г + х/о) предспиыляет собой волну, распространяющук~ся ео скоростью е в направлении отрицательных значений оси Х. Рассмотрим решение волнового уравнения в сферически симметричном случае, т.
е. считая, что в (6!.9) / = О, а Ф = Ф (г), где г — расстояние от начала координат до рассматриваемой точки. В этом случае Ф от углов не зависит и оператор Лапласа имеет вид з 1 д /здФхь д'Ф 2 дФ 1 дз з + = з("Ф) (61.13) гз дг ( дг / дг' г дг г дг' Поэтому волновое уравнение для Ф записывается в виде — — (гФ) — — = О. дз 1 дх (гФ) (61.14) дл ьз дьх Решением этого уравнения для гФ, как и в прель|душем случае, являются произвольные функции от аргументов à — г/о и г -Ь «/е, т, е. общее выражение для Ф таково; Ф, 1) Ч' ( — /е) Ч' ('+ г/е) (61.15) Функция Ч', (1 — г/е) представляет волну, движущуюся в радиальном направлении от начала координат со скоростью е. Форма волны при этом не изменяется, а амплитуда уменьшается как 1/г. Эта волна называется расходящейся.
Функция Ч', (г + г/е) представляет сходящуюся к началу координат волну. Возврашаясь к (61.5) н (61.В), видим, что потенциалы поля, а следовательно, и сами поля распространяются в свободном пространстве (р = О) со скоростью о = 1/)/ер. В вакууме р= ра в= еь поэтому скорость распространения полей равна скорости света с = 1/)/варь. Таким образом электромагнитные волны и всякие изменения электрического и магнитного поля распространяются в вакууме ео скоростью света.
А это означает, что электромшнитные взаимодействия распространяются со скоростью света. Например, если два точечных заряда покоятся на расстоянии г друг от друга и один из зарядов в некоторый момент сдвинут со своего места, то другой заряд «почувствуеть этот сдвиг лишь спустя время т = г/с. "~ апаздываюШис и опережающие потенциалы. Учитывая свойства решений волнового уравнения, следует ожидать, что решение уравнений (615) и (61.8) для потенциалов переменных полей отличается от решений уравнений (37.1!а) и (14.35) для потенциалов постоянных полей только тем, что надо учесть конечную скорость распространения электромагнитных взаимодействий. Другими словами, двилеущийся 408 9, Злектромигинтные волны ! г+з5г Х 2Ы ИзменениЕ са временем регпеиия одномерного вадпового урввнени» 252 Модель вибрвтарв г' 253 К вычисззенииз потеннивлн Пи паля зарлд и элемент переменного тока создают в колодой елочке окрулсающего пространства такой же потеггз1згал, как если бы заряд был неподвижным, а ток постоянным, но с тем различием.
что такой потенциал в каждой точке создаепкя не в тот же момент времени, а позднее на время запаздывания, т.е. на время, необходимое электромагнитному полю длл распространения от источника до точки наблюдения. Поэтому для зарядов и токов, находящихся в конечной области пространства, получаем вместо формул ;37.11а) и (!4.35) следующие формулы: Р Г1(г',! — ! г — г' (ггп) А(г, Г) = — ~ — ' —, г))г', (61.16) 4к ~ (г — г'! 1 Г р(г', г — ! г — г' (с'и) гр(г, с) = — — ~ ' — —, с)1", (61.!7) 4ке ) ! г — г'( где и = !()уер; ) г — 2'( — расстояние между точкой, в которой вычисляется потенциал, и элементом б)г' объема интегрирования.
В данный люмент времени в данной точке нотеициал обусловлен не положением и величиной зарядов и спл токов в данный лгомент времени, а пх пололсеннлмп и величинами в предспеспгвующие моменты времени, определяемыми с учетом скорости распространения электромагнитного поля. Например, пусть некоторый электрический заряд быстро приближаешься к какой-то точке. Скалярный потенциал, созданный зарядом в точке, определяется не расстоянием от заряда до точки в данный момент времени, а расстоянием в некоторый предшествующий момент времени, т. е, большим расстоянием. При скорости заряда, близкой к скорости света, различие в расстояниях моисею быть весьма значительным.
Здесь не приводится формальная проверка того, что формулы (63.16) и (61.17) удовлетворяют уравнениям (61.5) и (61.8). В принципе это делается так же, как и для решений (14.35) и (37.! (а). Потенциалы вида (6!.16) и (61.17) называются запаздываюшими, потому что они описывают потенциалы в более поздний момент З61. Излучение электромагнитных волн 409 времени г по сравнению с моментом времени 1 — ! г — г' !7о дзя зарялов и токов, которые этот потенциал создали. Формально решениями уравнений (61.5) и (618) являются также решения, аналогичные (61.16) и (6!.17), но с заменой временных аргументов г — ! г— — з'(/о на г+ (г — г'(7о, что соответствует двум возможным знакам в аргументах решений (61.15) волнового уравнения.
Решение со знаком «+» в аргументе пе имеет ясного физического смысла, поскольку оно формально соответствует ситуации, в которой сначала создается потенциал, а потом появляются соответствующие ему заряды и токи, т, е.,потенциал опережает заряды и токи. Поэтому он называется опережающим.
Для получения решений задач с граничными условиями опереэзсающим потенниалом приходится пользоваться наряду с запаздываюшим. Это можно понять из следующего. Пусть надо найти электромагнитное поле, удовлетворяющее некоторым условиям на границе. Ясно, что в точках внутри объема поле лолжно быть таким, чтобы, достигнув в более поздний момент времени границы, иметь значения, предписанные граничными условиями. Ясно, что при решении таких задач необходимо руководствоваться не только прошедшим, но и принимать во внимание, что должно произойти в будущем, т.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
