А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 90
Текст из файла (страница 90)
Вследствие аксиальной симметрии задачи и того, что ток течет вдоль кабеля без сопротивления, напряженность этого поля направлена по радиусу, а касательная составляющая Е„ отсутствует. Ось Е цилиндрической системы координат совпадает с осью кабеля. Силовые линии магнитного поля являются концентрическими окружностями с центром на оси кабеля. Напряженность поля отлична от нуля только в пространстве между жилой и оболочкой, а вне кабеля она равна нулю.
Радиальная составляющая вектора Пойнтинга равна нулю. Уравнение Максвелла сйт Р = р для пространства между жилой и оболочкой принимает вид с)зт Е = — — (гЕ,) =О, ! 8 (60.6) г дг где использована запись операции дивергенции в цилиндрических координатах и принято во внимание, что аксиальная и касательная составляющие вектора Е отсутствуют. Из (60.6) получаем Е, = аоlг, (60.7) где ао — постоянная интегрирования, опреде ляемая условиями задачи. Разность потея циалов между жилой и оболочкой равна "з П = ) Е з)г = ао (и (гг/гз), (60.8) Мезэнизм компеисэпии потерь тока иэ выделение джоулезай тепяоты Передача эяектромягпктиой здергии с иамозаью тока по кабелю ю Передовоеная с помощью эпектрмческого тока энергия движется в пвостран стае, окружающем про. водники.
Проводники играют роль направляющюс, вдоль которым движется электронагнитнов энергии Джоулева теплота в проводнике выделе ется за счет электронагннтной энергии, поступающей в проводник через его поверхность мз окружающего простран. ство. О Что такое характеристический иипедаис линки и постояпиая распрастромеиияз Опиюите физические проаессы, приводящие к отражению энергии от нагрузки. При «акоп условии огражеиие отсутствует и зся передаваемая по линии экер гия поглощается погрузкой з 400 9.
Электромагнитные волны которая позволяет найти значение постоянной аь = (//1н(гэ/г,). С учетом э~ого значения формула (60.7) принимает внд (/ 1 Е,= 1и (гэ/г,) г Напряженность магнитного поля в кабеле равна Н, = 1/(2лг), (60,10) (09) как это сразу следует из закона полного тока, с учетом акснальной сгьмметрии поля. Из (60.9) и (60.10) получаем 1 Ш 1 Я, = Е,Н„=— 2л 1п(гз/г2) г' ' Эта величина представляет собой плотносп потока электромагнитной энергии, направленного параллельно осн кабеля в пространстве между жилой н оболочкой.
Вне кабеля, а также в центральной жиле и в оболочке никакого потока энергии нет, поскольку там вообще отсутствует электрическое поле при принятом допущении об отсутствии сопротивления, В 1 с времени через поперечное сечение кабеля проходит электромагнитная энергия 2я "2 Р = 5, бп = — ба — = (Л. а 0 При силе тока 1, протекающего через нагрузку прн разности потенциалов (/, развивается мощность Р„= 11/. (60.13) (60.12) нння передачи для переменного тока. При не очень больших часто- Л тах и достаточно малых расстояниях, когда можно считать выполненными условия квазистационарности, токи в линии полностью описываются методами, изложенными в гд.
8. При несоблюдении условий квазистацнонарности картина усложняется, что очевидно уже из того обстоятельства, что сила тока в один и тот же момент времени Сравнение (60.12) с (60.13) показывает, что вся используемая потребителем энергия движется вдоль кабеля в пространстве между жилой и оболочкой в виде электромагнитной энергии. Ничего не изменяется в принципиальном отношении и для переменного тока не очень высокой частоты. Если ток в кабеле меняет направление на обратное, то составляющие Е„и Н„векторов поля также изменяют направление на обратное, а направление вектора Пойнтинга остается прежним. Поэтому хотя направление тока меняется на обратное, направление движения электромагнитной энергии сохраняется: она все время движется от источника к потребителю.
В других линиях перелачи в принципиальном смысле картина движения энергии не изменяется, лишь усложняется конфигурация полей н пути, по которым движется энергия. 1 60. Лвнженне электромагнитной энергии вдоль линий передач 401 т,— а» д» '! 'э дя Эквивалентная схема линии пе- реиачи переменных токов в различных участках пинии различна. Любой участок проводника имеет определенную индуктивность и емкость, что делает всю линию передачи электрической цепью с непрерывно распределеннымн сопро- тивлениями, емкостями, нндуктивностями.
(60.16) Если Ьх- О, то первое слагаемое в левой части (60.17) стремится к нулю (А1 0). Тогда г)и — = — г,1. (602 8) г)х !4 А. н. матвеев Уравнения лля силы тока и напряжения. Прежде всего необходимо найти закон, по которому сила тока и напряжение между проводниками изменяются вдоль линии. Эквивалентная схема распределения индуктнвности, емкости и сопротивления показана на рис. 250.
Индуктивностгн емкость и сопротивление, приходящиеся на 1 м длины линии, обозначим 1., С, В. Импедансы 7., н х,х также отнесены к 1 м длины. Участок бх линии обладает последовательно включенным нмпедансом, дающим комплексное сопротивление 2:те5х = (Ях + ко1.) с5х, (60,14) и параллельно включенным импедансом»,л, дающим комплексную проводимость ! е»1 хкх = ( — + !гоС хэх. (60.15) г 1,)( Пусть к началу участка линии Ьх приложено напряжение (Г, а сила тока равна 1.
В конце участка эти величины равны соответственно (7+ о11, 1+ гх1. Утечки через изоляцию здесь и в последующем не учитываются. Применим правило Кирхгофа для внешнего коеггура всего участка, взяв в качестве положительного направления обход против часовой стрелки: Лх ох -К вЂ” (1+ Л1) — К вЂ” 1= и+ Ли — и. 2 ! Разделив (60.16) па Ьх, получим — 2',61/2 — Ут1 = 6(1/бх. (60.17) 402 9. Электрсма~ нитные волны (60.19) (60.21) Л арактернстнческнй импеданс и постоянная распространения. Общее решение уравнений линии передачи имеет вид (напрнмер, для (т): 11= Ае + Ве, (60.23) причем для и, называемой постоянной распространения, после подстановки (60.23) в (60.21) находим выражение; и =)/27х' (60.24) Аналогичный вид имеет также н решение уравнения (60.22): 1=А,е +В,е (60.25) Подставляя решения (60.23) и (60.25) в (60.18) и (60.20), находим связь между постоянными А, В, А„В,: А = А(Е„В~ = — В/с„, (60.26) где К.
=)1~Х вЂ” характеристический нмпеданс линии. Чтобы выяснить его смысл, предположим, что линия длиной 1 оканчивается нагрузкой, импеданс которой равен характеристическому (рис. 250). На основании равенств (60.23) — (60,27) для напряжения на выходе линии, т, е. на нагрузке 7.„ можно написать: (60.27) (60.28) или Ае "+Ве =х,„[ — е ' — — е" ~. 1 А н В "(г, г„ (60.29) Аналогично, правило Кирхгофа, применяемое к левому контуру, включающему импеданс Хт1Ьх, дает — о1 — са — 1 = — ст, ~2 Ьх 2 откуда при Лх — 0 получаем т)1 1 — = — — и. (60.20) <1~ са Дифференцируя обе части (60,18) по х н выражая с)1/т)х с помощью (60.20), находим следующее уравнение для 11: дт(1 Ут 1 11 дх са Аналогично, дифференцирование (60.20) по х и использование (60.18) приводит к уравнению для силы тока: т)'1 х,т — = — '1.
(60.22) бха г, Уравнения (60.21) н (60.22) называются уравнениями линии передачи. 1 60. Движение электромагнитной энергии вдоль линий передач 403 Отаода следует, что В = О, А = У,„, где У,„— напряжение на входе в линию при х = О. Таким образом, напряжение и сила тока в линии определяются выражениями; У = 1 м е, 1 = У,„е /7.„. (60.30) Следовательно, входной импедацс линии равен характеристическому: Л,„= У,„/Е„= г,х. (60.31) Это означает, что если линия оканчивается нагрузкой с характеристическим импедансом, то ее входной импеданс равен характеристическому, независимо от длины, т. е. в этом случае ток передается по линии без изменения отношения напрямсения к силе тока. характеристическое сопротивление.
В большинстве практически важных случаев омические сопротивления элементов линии значительно меньше соответствующих индуктивных и емкостных сопротивлений (К, с оэ(., 1/Кз ~ озС) и ими можно пренебречь. При этом условии характеристический импеданс — ()' В, 1 Е ~)'1. является действительной величиной, т. е. сопротивлением, и называется характеристическим сопротивлением.
Характеристическое сопротивление зависит от формы и размеров проводников, от расстояния между ними и других факторов, от которых зависят емкость и индуктивность участков линии. Например, характеристическое сопротивление параллельных цилиндрических проводников радиусом а, расстояние между осями которых 11, равно У„= 276 1ой (11/а). (60.33) Принимается, что проволники расположены в среде, относительная диэлектрическая проницаемость которой близка к единице (вакуум, воздух и т.
д.). Скорость распространения. Выше было рассмотрено распределение силы тока и напряжения вдоль линии передач в некоторый момент времени. Если на входе сила тока и напряжение периодически изменяются с частотой еэ, то и во всех участках линии они изменяются с той же частотой. При тех условиях, когда характеристический импеданс является вещественной величиной (60.32), постоянная а 1см. (60.24)1 является чисто мнимой: а = но(/с,С. (60.34) Поэтому, взяв зависимость величин от времени в виде ехр 1еэ1, можно на основании (60.30) написать: У(х, г) = Уоехр(1(гог — го фС х)1, 1 (х, г)' = (17е))уЦС) ехр [1 (озг — оэ ')ул.С х)~.
(60.35) 14* 404 9. Электромагнитные волны Формула (60.35) описывает волну с частотой в, распространяющуюся вдоль оси Х со скоростью о = 1/)/ЬС. (60.36) Напомним, что в этой формуле Ь и С являются емкостью и индуктивностью линии передачи, отнесенными к 1 м длины. Для двух тонких цилиндрических проводников радиусами а, находящихся в вакууме на расстоянии В один от другого, емкости и индуктивности 1 м длины линии равны; С = во/[21пЯ/аЯ, Ь= 2ро1п(13/а) (60.37) и поэтому скорость распространения волны раппа о = Ч/ЬС = 1/)/е.р, = ', (60.38) тражение. Если сопротивление нагрузки равно характеристическому, О то вся передаваемая по линии энергия поглощается нагрузкой. Говорят, что нагрузка и линия передачи согласованы межлу собой.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
