А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 89
Текст из файла (страница 89)
Они неприменимы для этого случая, 1 58, Система уравнений Максвелла 395 Полнота и совместность системы уравнений, С помощью материальных уравнений (58.1б) можно исключить нз полевых уравнений (58.1а) величины Р, Н и 1, в результате чего они становятся уравнениями относительно векторов Е и В, т, е. относительно шести неизвестных независимых компонент этих величин. С другой стороны, число скалярных уравнений в (58.1а) равно восьми.
Получается, что имеется восемь уравнений для шести неизвестных величин, т. е. число уравнений превышает число неизвесптых, что недопустимо, поскольку система уравнений кажется переполненной. Однако в действительности система не переполнена и никаких трудностей не возникает. Это обусловлено тем, что уравнения (1) н (1Ч) и (П) и (Ш) имеют одинаковые дифференциальные следствия и потому связаны между собой, хотя и нельзя сказать, что какие-то из них являются следствиями других.
Для доказательства одинаковости дифференциальных следствий уравнений (П) и (П1) применим к обоим частям уравнения (П) операцию йч, а обе части уравнения (1П) продифференцируем по времени. В обоих случаях получается одно и то же уравнение дйтВ~Л = О. Докажем, что с учетом закона сохранения заряда — +йч)=0 д(т (58.2) дт уравнение (1Ч) можно рассматривать как дифференциальное следствие уравнения ((). Для доказательсгва применим операцию йе к обеим частям уравнения (1): йк1+ д йк Ртбг = О, (58.3) где йе гоС Н = О. Сравнивая (58.3) с (58.2), находим, что должно выполняться равенство йеР=р, (58.4) совпадающее с уравнением (1Ч).
Тем самым доказано, что (1Ч) является дифференциальным следствием уравнения (1) с учетом закона сохранения заряда Наличие двух дифференциальных связей между уравнениями (1 — 1Ч) делает эту систему совместной. Более подробный анализ показывает, что система уравнений является полной, а ее решение однозначно при заданных граничных и начальных условиях. Доказательство единственности решения в общих чертах сводится к следующему. Если имеется два различных решения, то их разность вследствие линейности уравнений Максвелла является также решением, но при нулевых зарядах и токах и нулевых начальных и граничных условиях. Отсюла, пользуясь выражением для энергии электромагнитного поля и законом сохранения энергии, заключаем, что разность решений тождественно равна нулю, т. е. решения одинаковы.
Тем самым единственность решения уравнений Максвелла доказана. 396 9. Электромагнитные волны 8 59. Закон сохранении энергии электромагнитного полн. Поток энергии Дается лсатематическая формулировка закона сохринения энергии и обсуждается понятие потока электромагнитной энергии. Р=)1 Ес(К (59.Ц Для упрощения расчета предполагается, что других превращений энергии в этом объеме нет. Подставляя в (59.1) выражения для 1 из уравнения (58.!а), получаем 8Р Р = Е гос Н с($' — Š— дК дс (59.2) По формуле (П.!5) имеем сйтЕ х Н =госЕ Н вЂ” Е гоГН (59.3) и, следователыю, ) дВ Г дР Р = — ~ — Н <1 $' — ~ Š— с()г — сйт Е х Н с( Е дс )' дс (59.4) бВ 1 д(НВ) ЕдР где гос Е = — бВ/дс.
Учитывая, что Н вЂ” = — и бс 2 дс дс 1 д(Е.Р) — —, н преобразуя последний интеграл в (59.4) по теореме 2 дс Гаусса — Остроградского в интеграл по поверхности и, ограничиваю- щей объем )г окончателыю получаем Р = — — ~ — )'(Е.Р+ В. Н)с()г — ) Е х Н. с(ст. д Г1 бс '(2 (59.5) формулировка. Энергия электрического и магнитного поля определяется формулами (18Л6) и (472б). В 9 19 и 39 были исследованы силы в электрическом и магнитном полях, под действием которых совершается работа. В 8 49 была определена работа переменного тока, в 9 27 изучено тепловое действие тока.
Закон сохранения энергии требует, чтобы все эти процессы были сформулированы в виде закона сохранения н превращения различных форм энергии друг в друга. Поскольку при этом источники производства электромагнитной энергии пространственно отделены от мест ее потребления, возникает представление о движении энергии, характеризуемом ее потоком. Рассмотрим некоторый замкнутый объем К в котором имеются электромагнитное поле и токи (рис. 247). Джоулева ~салата, выделяемая токами в этом объеме, равна 8 59.
Закон сохранения энергии электромагнитного поля. Поток энергии 397 Здесь поверхность обозначена о для того, чтобы букву 5 сохранить для обозначения плотности потока электромагнитной энергии. Поток энергии. Величина Иг= — ) (Е Р+ В Н)й(г 1 (59.6) 2 характеризует электромагнитную энергию, заключенную в объеме Е Величина Б=Е х Н (59.7) является плотностью зютока энергии сквозь поверхность, ограничивающую объем (г и называется вектором Пойнтинга. Она была получена Д. Г.
Пойитингом (1852 — 1914) в 1884 г. Однако на десять лет раньше, в 1874 г. Н. А. Умовым (1846 — 191з1 было проведено общее исследование движения энергии в телах, которое характеризовалось соответствующим потоком энергии. Поэтому вектор (59.7) называется также вектором Умова-Пойнтинга. Равенство (59.4) удобнее переписать в виде (59.8) т. е. изменение энергии электромагнитного поля в обьеме происходит за счет работы токов проводимости в этом обьелзе и потока энергии сквозь поверхность, ограничивающую обьем. Если энергия электрического поля ие изменяется д(у/дг = О, то 1см. (59.8)1 Р = — ) Я ° дгг. (59.9) с Следовательно, вся производимая в замкнутом обьеме работа совершается за счет потока электромагнитной энергии сквозь поверхность, ограничивающую обьвм.
Равенство (59,8) выражает закон сохранепия энергии электромагнитного поля. Следует подчеркпутгч что (59.8) является именно выражением закона сохранения энергии, а не его доказательством. 247 К формуянрозсс зясояя салря- нснмя змсргнн й~ Замам саярапвммя энаргнм мам всаабщмй закон нрмроды предполагается данныи прм пастраанни сварам эламтрмчасэва м нагнатмзна. Исвадя нз закона саярамвммя знвргмн мам всеобщего закона нежна лайэм маганатмчвсвав выражамна дпя абьсмнай платмастн эмяргмн злямтрмчясмага н нагммтмага полей м плотности энаргмм эпаятрмчяснага н иагнмгнага палей и плагмастн потоКа элямграмагммтнай энаргин.
а также устала. вмть связь наяду минн, выражающую идею двнжання элвмтранагмнтнай энаргнм. В фармулв (59я) фмзмчвсмая величина Р учи ты вивт вазнажмасть азам напрявращанмя разлмчмыя фарм элвисам друг в друга. 398 9. Электромагнитные волны й 60. Движение электромагнитной энергви вдоль лший передач Обсуждаюпи я физическая картина движения энергии вдоль линий передач и основные характеристики линий передач. Механизм компенсации потерь энергии на джоулеву теплоту.
Рассмотрим участок проводника круглого сечения радиусом г, вдоль которого течет постоянный ток с объемной плотностью 1 (рис. 248). По закону Ома в дифференциальной форме напряженность электрического поля, параллельная оси проводника, равна Е = 1!У. (60.1) Вследствие граничного условия непрерывности тангенциальных составляющих напряженности электрического поля точно такое же поле существует вне проводника около его поверхности.
Вычислим по формуле (59.9) поток электромагнитной энергии сквозь замкнутую поверхность цилиндра, боковая поверхность которого совпадает с поверхносп,ю проводника длиной 1, а основаниями являются круглые сечения проводника. Напряженность магнитного поля на поверхности проводника направлена по касательной к поверхности в плоскости, перпендикулярной оси проводника (и вектору 1) (рис. 248), и равна Н = 1ягз((2яг) = 1У(2г). (60.2) Таким образом, вектор Пойнтинга (59П) направлен по радиусу к оси проводника и равен Я = бН =12г/(2у).
(60.3) Это означает, что электромагнитная энергия втекает в проводник из окружающего прагтрангтви через вга боковую поверхность. Поток энергии через основания цилиндра отсутствует. На участке проводника длиной 1 за 1 с в проводник втекает энергия Р = Я 2яг( =(уз/т)яг'1. (60.4) По закону Джоуля — Ленца на дпине 1 проводника в 1 с выделяется количество теплоты Р ((зУ „„з) (60.5) Сравнение (60.4) с (60.зз показывает, что вся выделяемая в проводнике при прохождении электрического тока в виде теплоты энергия поступает нз окружающего пространства через боковую поверхность проводника.
Следовательно, передаваемая с помощью электрического токи энергия движется в окружиющем проводник прастринстве. Провода играют роль направляющих, вдаль которых движется электромагнитная энергия, причем плотность потока энергии в любой точке пространства определяется вектором Пойнтинга. 9 60. Движение электромагнитной энергии вдоль линий передач 399 движение энергии вдоль кабеля. По центральному проводу ток движется в одном направлении, а по оболочке кабеля — в противоположном (рис. 249).
Между центральной жилой и оболочкой находится диэлектрик. Для упрощения расчетов предположим, что сопротивление проводов кабеля ничтожно мало и им можно пренебречь, т. е. можно считать, что энергия передается без потерь. Тогда потенциал вдоль центральной жилы и оболочки постоянен, а изменение потенциала между ними происходит на потребителе энергии и на источнике (сторонняя э. д. с.). Пусть падение потенциала на потребителе энергии равно (/. Это означает, что разность потенциалов между жилой и оболочкой равна (/. Следовательно, между ними существует электрическое поле.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
