А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 60
Текст из файла (страница 60)
—. ( г — 1= — —,- (О < г «г,), ° 4 (х бг,) Рзлг = О (г, <г<гг), 1 Д ( ЙА41 рву у'Аз = — г — = з г ('г «" гз) г дг й х(гз — гд РгА4=0 (гз < г < со), гдв (» -1((лгг),(г = О, (, =1([гз — гз)], 14 = О. Решение уравнений (37,32) таково: А, = — + С, 1п г + Сг (О < г < г ), рв)г 4нг', Аг = Сз 1и г + С4 (»з <» <»г) т 37. Векторный потенциал 2б3 Аз= о +Сз(пгЧ-Го (гз<г<гз).
Ро(гз 4я (гз — гз) Ад -- Ст !в г+ Со (гз < г < ю). ро1 " ро1 ро1 Аз= — — 1п — — —, Вз= —, 2я г, 4я ' 2яг (37.37) Ипдукция в оболочке кабеля (гз < г <гз) равна В ВАз ра(г Сз з— Вг 2я (г, — г',) Г граничных условий В,(гз) = Вз(г,) и Аз(гз) = Аз(гз) находим: ро(гз 2Я (го з— гзз! ро(гз ро1" 3 ра1 гз г з + 1п гз — — 1п —, 4 (4 — гзз) 2 (гзз !) 2 Из Сз Со откуда Ро1 Г гзз — гз 2гз зг гз Аз = — — ! + — !п — +21п — ~, 4я ! гз — гз гз гз гз ) з з з з гз ра1(гз —" ) Вз = 2кг О з згг) ' (37.38) Пользуясь граничными условиями,.при г = г, находим для векторного потенциала и индукции магнитного пода для гз < г < со выражения ра1 Г гз гз гз1 А, = — — — 1и — + !п — = сопи, 2 з (37.39) В =О. Индукцию магнитного поля находим по формуле В = го! А, которая в данном случае сводится к выражению В, = -ОА/дг.
Поскольку  — единственная, отличная от нуля, проекция магнитной индукции, индекс р в дальнейшем не будем выписывать. Индекс обозначает область, к которой относится значение В. Тогда (37.34) 2ягз Из конечности В, при г = 0 заключаем, что С, = О. Выберем в качестве условия нормировки А,(0] = О. Это дает С, = 0 и позтому выражения для Аз и Вз принимают вид: А, = -ро1г*/(4яг',), В, = ро!гаага) (37.35) Для области г, < г < гз получаем (37.36) Пользуясь граничными условиями для В и учитывая, что р = ро, пояучаем Вз(гз) = В, (г,) = -Сз/г, = роЦ2ягз). Следовательно, Сз = — ро1/(2я).
Запишем условие непрерывности векторного потенциала при г = г, в виде Сз (п г, ч- Со = — ро1/(4я), что приводит к равенству Со — — — ро1/(4я) ч+ [!зоЦ2я)31п г,. Поэтому выражения для векторного потенциала и магнитной иид)кции пРи г, < г < гз пРинимают вид 264 6. Стационарное магнитное поле $ 38. Магнитное поле прн наличии магнегиков Рассматриваются влияние магнетика на магнитное иоле и различныв механизмы намагничиванию Выводится соси|ношение между объемной и поверхностной плотностями молекулярных токов и намагниченностью.
Обсуждаюгнсл явления на границе между магнетиками и из.иерение индукции магнитного палл в .иагнетике. Выясняется сущ>икть магнитнои экранировки. Определение. Магнетикгьии называются веьцества, которые при внесении ва внешнее ноле изменяются так, что сами становятся источниками дополнительного магнитного ноля, При этом полная индукцня магнитного поля равна сумме индукций внешнего магнитного поля и магнитного поля, порождаемого магнетиком.
Изменение состояния магнетика под влиянием внешнего магнитного поля, в ршультате чего сам магнетик становится источником магнитного поля, называется намагничиванием магнетика. Это явление для широкого класса веществ было открыто экспериментально Фарадеем в 1845 г.
Им же бььчо установлено существование диа- и парамагннтных тел, для которых он ввел зти термины. .ь в еханизмы намагничивания. Существую~ различные механизмы наьть магничивания. В соответствии с ними магнетики подразделяют иа диа-, пара-, ферри- и ферримагнетики. Антиферромагнетики также относят к магнетикам, хотя ани и пв создают магнитного паля в окрулсаюьце.и их прасгнрангтве (см.
гл. 7). Количественно интенсивность намагничивания во всех случаях характеризуется одинаково, а именно, под действием магнитного поля все элементы объема приобретают магнитный момент. Это может быть обусловлено следующими механизмами: 1. При внесении во внешнее магнитное поле в молекулах и атомах движение электронов изменяется так, что образуется'определенным образом ориентированный суммарный круговой ток, который характеризуется магнитным моментом ) см.
(37.24)]. Можно сказать, что люлекулы нри внесении в магнитное поле приобретают индуцированный магнитный момент. Благодаря этому они становятся источниками дополнительного поля, нндукция которо~о определяется формулой (3726), т.е. вещество намагничивается. Такие вещества называются дяамагнетикамн. 2. Движение электронов в молекулах может быть таково, что молекулы будут обладать магнитным моментом и при отсутствии магнитного поля, т.е, молекулы обладают постоянным льагнитным моментом.
Благодаря этому каждая молекула является источником 1 38. Магнитное поле при наличии магнетнков 265 магнитного поля. Если внешнего поля нет, то магнитные моменты различных молекул ориентированы совершенно беспорядочно, благодаря чему суммарная индукция поля, создаваемого нмн, равна нулю, т.е. физически бесконечно малые элементы тела не являются источниками магнитного поля и тело не намагничено.
При внесении такого лзагнетика во внешнее ноле поспюянные магнитные моменты отдельных молекул переориенпшруттся в направлении индукции паля, в результате чего образуется вреимуизеспзвенное направление ориентации магнитных люментов. При этом бесконечно малые физические объемы приобретают магнитный момент, равный сумме магнитных моментов молекул, заключенных в объеме, и становятся источниками магнитного поля — магнетик намагничивается.
Такие вещества называются парамагпетнками. 3. Намагничивание ферромагиетиков и ферримагнетиков связано с тем, что электроны обладают магнитным моментом, находящимся в определенном соотношении с их механическим моментом — спинам. Намагничивание такого класса лзагнетикав связало с определенной ариенпшривкай епинав и поэтому називаеп1ся спинавыль Объяснение спинового магнетизма выходит за рамки классической теории электричества и магнетизма н возможно лишь в рамках квантовой теории. Поэтому в данной кинге описаны лишь наиболее важные свойства этого класса магнетиков без количественной теории. Вся излагаемая ниже теория магнитного поля в присутствии магнегиков относится лишь к диа- и парамагнетикам, если только не оговорено противное.
Намагниченность. Эта величина определяется отношением магнитного момента элементарного физического обьема к объему: (38.1) где Л1' — элементарный объем; р; — моменты молекул; суммирование распространяется на все молекулы в обьеме Ле'. Другими словами, определение (38.!) для намагниченности макет быть сформулировано так; наиагниченпость еспзь абаемная плотность магнитного момента магнетика.
Из (38.1) следует, что магнитный момент злемезгга объема й(' равен с)р„= 3 ЛК (38.2) Векторный потенциал при наличии магнетнков. Он равен сумлзе потенциала Аы создаваемого токами проводимости, и потенциала Ат создаваемого магнетиком в результате намагничивания: А=Ао+А (38.3) причем на основании (37,11), (37.25) и (38.2) можно написать: Ао = — — л1', (а) (ьо 4кд г (38.4) гз 266 6. Стапиоиариос магнитное поле М, ( Л ° с)! го!„Л= !пп —" = !пп — "=7'„ м и ЬЯ м с Ь8 (38.86) Величина Ь(„ Л„„= !пп вв с Ь5 (38.9) Объемная плотность молекулярных токов.
Как было сказано, возникновение магнитных моментов связано с наличием круговых токов. Токи в элементарных объемах, приводящие к возникновению магнитного момента требуемой величины, получили название молекулярных Однако не следует придавать этому выражению слишком буквальный смысл. Молекулярные токи в строгом смысле слова могут течь только внутри молекул. При определении намагниченности н других величин подразумеваются усредненные величины, благодаря чему магнитные моменты молекул представляются как бы непрерывно размазанными по всему обьему, а молекулярные токи — текуагами по обаему магнетика, как в непрерывной среде.
Тем не менее за ними сохранилось название молекулярных. Рассмотрим бесконечно малый замкнутый контур 1., ограничивающий Ь5 (рис. 145), и вычислим циркуляцию намагниченности по контуру: )Л с(! =)Л,с)1, (38.5) где Л, — тангенциальная составляющая Л вдоль контура интегрирования. Она создается за счет токов, текущих по замкнутым контурам вокруг линии, вдоль которой производится интегрирование (38.5) (рис.
145; 85 — п.ющадь, обтекаемая током в плоскости, перпендикулярной линии интегрирования). Умножив числитель и знаменатель в (38.5) на Ы, проведем следующие преобразования: ) с)!Ы ) ЛЙК ) йр, (38,6) 65 „( 65 ~ 65 ' ь где принята во внимание формуяа (38,2).
По определению магнитного момента, имеем бр, = И65 (И вЂ” сила тока, обтекающего площадку бЯ на длине Ж, причем И пересекает Ь5 по нормали). Поэтому ) ЫБЯ (38. 7) ь ь ь где Ь)„— нормальная составляющая силы тока, пересекающего плошадку Ь5. Таким образом, (38.5) с учетом (38.6) и (38,7) принимает вид ) Л с)! = Ь)„. (38.8а) Найдем составляющую го! Л в направлении нормали к площадке Ь5. Воспользовавшись определением (14.6) для ротора и равенством (38.8а), находим ЗЗ. Магнитное поле при наличии магнетиков 267 является„очевидно, нормалыюй составляющей плотности молекулярных токов, поскольку именно зги токи ответственны за возникновение намагниченности.
Равенство (38.8б) справедливо при произвольной ориентировке площадки Л5, т. е. для любых компонент го12 и )„. Позтому имеет место векторное равенство 1 =гост. (38.10) Эта формула дает выражение объемной плотности молекулярных токов, порождающих намагниченность Л, Поверхностные молекулярные токи. Молекулярные токи могут течь также н по поверхности раздела между магнетиками или по поверхности раздела между магнетиком и вакуумом. Ни рис. 146 обозначена поверхность раздела между магнетиками 1 и 2.
Все величины, относящиеся к магнетику 1, обозначим с индексом 1, а к магнетику 2— с индексом 2. Проведем в плоскости, перпендикулярной поверхности раздела, контур Е.. Параллельные поверхности раздела части контура равны 1, а перпендикулярные очень малы и стремятся к нулю.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
