А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 58
Текст из файла (страница 58)
Перепишем формулу (35.9) для объемных токов. Обозначим 5 — поверхность, охвагываемую контуром Е, Как обычно, положительная нормаль к поверхности связана с направлением обхода контура 1. правилом правого винта. Сила полно~о тока 1, протекающего через поверхность, равна 1=~! Ю, (35,10) где ! — объемная плотность тока. Следовательно, закон полного тока (35.9) принимает внд ~в.б)=р,~).
б. (35.1 !) Левую часть равенства (35.11) можно преобразовать по теореме Стокса в интеграл по поверхности: ) В.гй = ! го! В г)Я (35.12) и представить равенство (31.11) в виде ) Е ! В- ре Я. бВ = О. (35.!3) Равенство нулю интеграла (35,!3) должно соблюдаться прн произвольном выборе гюверхности Я. Следовательно, подынтегральное выражение равно нулю: о го! В = ро) Равенство (35.14) является дифференциальной формой закона полного тока.
Оно имеет дифференциальный характер и справедливо в каждой 4 35. Закон полного тока 253 точке. Отсюда следует, что оно справедливо для произвольного поля, хопзя и выведено дяя поля, поролсдоемого током, пьекугиим по прямолинейному бесконечному проводнику. Теперь можно доказать, что закон полного тока (35.9) справедлив для произвольных токов, а не только для прямолинейных.
Для доказательства возьмем произвольные токи и проведем произвольную поверхность 5, ограниченную замкнутым контуром 7. Умножая обе части (35.14) на элемент Ж этой поверхности и интегрируя по с(Ь, находим (гог В бб = )ьрзг )'с(Я. в 5 (35.15) где Е.— контур, совпадающий с осью спирали пояса Роговского.
Для демонстрации закона полного тока (35.9) достаточно расположить пояс Роговского в виде замкнутого контура, совпадающего с контурами Би Б' (см. рис, 137). При включении тока в случае, показанном на рис. 137, а, наблюдается отклонение стрелки гальванометра, по которому можно убедиться, что интеграч равен )ьо(.
В случае, изображенном на рис. 137, б, отброс гальванометра отсутствует, что означает равенство нулю циркуляции вектора В по контуру Г. вывод дифференциальной формы непосредственным дифференцированием формулы Био — Савара. Формула (35,14) получается Левую часть (35.15) преобразуем по теореме Стокса (35.12) в интеграл по контуру, а правую часзь с помощью (35.10) выразим через полный ток 7, пересекающий поверхность.
В результате (35.15) принимает анд (35.9). Это доказывает, что закон (35.9) справедлив для произвольных токов и произвольных контуров. Отметим также, что при вычислении силы полного тока по формуле (35.10) можно выбрать любую поверхность 5, натянутую на контур Е, Отсюда следует, что уравнение (35.14) было получено, исходя из закона Кулона, принципа суперпозицин для напряженности электрического поля, инвариантности заряда и формул теории опюсительности.
Закон Био — Савара в форме (10.10) или (10.11) получается из (35.!4) как решение этого уравнения в случае отсутствия токов на бесконечности [см, (37.11в)). Экспериментальная проверка закона полного тока. Для демонстрации закона полного тока н для его экспериментальной проверки с пе очень большой точностью можно воспользоваться поясом Роговского, Он представляет собой гибкую проволочную спираль, выполненную в виде пояса (рнс. 139), концы которой присоединены к гальванометру, Действие пояса основано на законе электромагнитной индукции Фарадея (см. гл.
8): при изменении магзштного поля а цепи спирали пояса Роговского возникает электрический ток. По показаниям гальваномез ра можно определить )'В. 41 (35.1б) 254 б. Стационарное мвгниыюе поле 139 Пояс Роговского 149 Кояксияльяый кабель В = р)/(2кг). уг = Пгьк(гз — гг)) ° Есл» магнитная прамнцае ность тела балы ив чаи сра. дм, та ано ведет себя как парамагиагмк, если меньша — иак диамагиетик. Циркуляция вектора нндунци» па замкнутому «ан туру вокруг тока мв зависит от аида контура и апрвделявтсн талька силой тока.
сразу, если взять операцию гог от обеих частей формулы (10.11), выражающей закон Био — Савара. В правой части операция го1 применяется только к подынтегральпому выражению, поскольку объем )г интегрирования пс зависит от переменных, по которым выполняется операция. От этих переменных ) в подыитегральном выражении не зависит, а зависит лишь г и г, Вычислив го1 и проведя интегрирование, получим формулу (35.14). Эз.и вычисления можно провести в качестве упражнения. Пример 35.1. С помощью закона полного тока найти индукцию магнитного поля в коаксиольнаи кабеле, который используется для передачи постоянного тснса (рнс.
140). Ток течет ио центральной жиле радиусом г, и возвращается по оболочке, внутренний и внешггий радиусы которой равны гг и гз. Пространство между жилой и оболгзчкой заполнено диэлектриком. Учитывая осевую симметрию магнитного пола, по закону полного тока получаем и ) В= - — — ', 2к г' где 0 — сила тока, охватываемого круговым контуром радиусом г. Плотность тока в жиле 1, = = )/(кггг). Поэтому прн 0 < г < г, имеем = ггкг' = )гг)гг н, следовательно, В = ртг!(2кгЬ При г, < г < гг имеем ), =! = сопзг н, следовательно, Прн гг < г < г, контур охватывает встречный ток, плотность которого Тогда сила тока, охватываемого контуром п(зи г г ( г ( гз и игглткпиЯ магнитпОГО пОЗЯ равны: гг „г — Гг 'з — гг г' Вне кабеля нидукпня поля Обращается в нуль.
1 36. Уравнение Максвелла для стационарного магнитного поля 255 й 36. Уравнения Максвелла лля стационарного магнитного поля Дается формулировка уравнений Максвелла для частного случая гтаиионарнаго магнитного ноля и обсуэюдаюнюя тины решаемых задач. ~гравнение для й» В. Вычислим й»В, исходя из формулы Био — Савара (10.11): й» В = — ~ й» (1 х — э-( г(У, 4 ~ ( гэ( (36.
1) где операция й» введена под знак интеграла на том основании, что пределы интегрирования (объем У) не зависят от переменных, по которым производится дифференцирование прн вычислении й». Для дальнейших преобразований формул целесообразно выписать в явном виде переменные в уравнении (36.1). Пусть  — индукция поля в точке (х, у, г), т. е. В = В (ж у, г). Вычисление йъ сводится к дифференцированиям по х, у, г. Текущие координаты точек интегрированна в польгнтегральиом выражении (36.1) обозначим х', у', г'.
Тогда 1 = 1(х', у', г'), г = г„ (х' — х) + г„(у' — у) + 1,(г' — г), г = 1,/(х' — х)г + (у' — у)г + ( ' — г)г я У = г(х' дуг г(г'. (36.2) По формуле (П.15) имеем г1 г, . г йъ 1 х — ~ = — гогу — 1 гог — = О, гэ /~ „э ' ' гэ (36.3) (36.4) поскольку первый член в правой части равен нулю иэ-за независимости 1 от координат (х, у, г), по которым выполняется дифференцирование при вычислении го1. Равенство второго члена нулю доказывается прямым вычислением гог(г/гэ) =О. Равенство нулю го1(г/г') является следствием центральной симметрии поля вектора г/г'. Нетрудно показать, что любое центрально-симметричное поле потенциально.
Рекомендуется это проделать в качестве упражнения. Таким образом, подынтегральное выражение в (363) тождественно равно нулю и, следовательно, р й»В= О. Из равенства (36.4) заключаем (см. 6 13), что линии В не имеют источников. Это означает, что нет магнитных зарядов, конюрые создавали бы магнитное поле, как электричгюниг заряды создают электрическое поле. Линии В не имеют ни начала, ни конца. Они являются либо замкнутыми линиями, либо уходят на бесконечность. Отсутствие начал и концов у таких линий очевидно.
Однако могут су- Лбб 6. Стационарное магнитное поле (36.5) (36.6) го1 В = Ро) сйт В = О. 141 Прк крряцноняльнож отношении ляииц окружности тора к шаГу слиряяи силовая линия нс зямк- нугз ф Уравнение Ь)т В =В показыиает, что линни вектора ме имеют ни начала, ни конца: онн либо занинуты, либо укодкт в бесконечность, либо сосредоточены в конечной области пространство, но на чало н конца не млеют. Это означает, что нет нагнмтным зарядов, которые создают магнитное поле так, «ак электрические заряды создают электрическое поле. Для определения трем проекций вектора нагнитной индукцмм нненэтся четы ре скалярным уравнения (ькк) н (М.б). Однако это не делает снстену уравнений переполненной (сн. б и)). О Можете ли зы привести при.
мер линии, которая вся помолится э конечной областм пространство, мо не кисет ни начала кн конца> шествовать незамкнутые ливии, заключенные в конечной области пространства и тем не менее не имеющие ни начала, ни конца. Рассмотрим, например гор (рис. 141), на поверхность которого наматывается спираль. Если отношение длины большой окружности тора к шагу спирали является иррациональным числом, то линия никогда не замкнется и будет бесконечное число раз обвивать тор. Такая линия является примером незамкнутой линии без начала и конца, заключенной в конечной области пространства. Линии В такого типа нетрудно реализовать на опыте.
Для этого перпендикулярно плоскости тора по его оси необходимо пропустить ток 11, а по большой окружности, совпадающей с осью спирали тора, ток 11. При определенных соотношениях между 1, и 1з будут реализованы указанные выше условия незамкнутости линии В. у равнения Максвелла. Уравнения (35.14) и (36.4) составляют систему уравнений Максвелла для магнитного гюля, порожденного постоянными токами в вакууме: Решение этих уравнений позволяет найти В, если известна ь Число неизвестных скалярных величин в этих уравнениях равно трем (В„, В„, В,), а общее число скалярных уравнений для их определения равно четырем [три скалярных уравнения, получающихся из первого векторного уравнения и еще идно скалярное уравнение (36.6)]. Таким образом, число уравнений больше, чем число неизвестных, однако это не делает систему переполненной (см.
б 58). '$'ип решаемых задач, С помощью уравнений (36.5) и (36.6) можно решить две задачи: 1. Зная индукцию магнитно~о поля, найти объемную плотность токов. Для этого надо вычислить го( В по уравнению (36.5). й 37. Векюриый потенциал 257 2. Зная плотность токов, найти индукцию магнитного поля, которое они порождают. Для этого надо решить эти уравнения при неизвестных ).Методы решения уравнения будут рассмотрены позднее, а сейчас заметим, что для случая, когда все токи сосредоточены в конечной области пространства, решение дается формулой Био — Савара (10.1Ц: в= — ~ — а. рь ( 3нг 4к~ гэ (3б.7) Из-за сложной структуры подынгегрального выражения и его векторного характера вычисления нолучшотся довольно громоздкими.
Для их упрощения целесообразно ввести века.орный потенциал. 5 37. Векторный потенциал Обгуэюдаютгя свойства векторного потенциала и его калибровка. Вычисляется индукция поля элементарного така. аозможность введения векторного потенциала Известное из векторного анализа тождество гйчго! = — 0 показывает, что решение урав- нения ебчВ = О может быть представлено в вндс В = го! А, (37.1) (37.2) (37.3) при произвольной функции у описывает то жс самое поле В. Для доказательства вычислим индукцию поля В', описываемого потенциа- лом А'.
В' = го! А' = го! А+ го!В!а!( т = го! А = В, (37.4) поскольку го! ягаг) т О. Неоднозначность векторного потенциала аналогична неоднозначности скалярного потенциала в теории электростатического поля, только таи потенциал был определен с точностью до прсиэвольлой постоянной, а здесь — с точностью до нроиэвсльнои Яуннции определенного класса. 9 А.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
