А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 59
Текст из файла (страница 59)
Н. Матвеев где А — векторный потенциал магнитного поля. яеодиозначность векторного потенциала Поле с заданной индукцней В может быть описано не каким-то одним векторным потенциалом, а многими векторными потенциалами. Чтобы в эз ом убедиться, докажем, что если потенциал А описывает поле с индукцией В, то и другой потенциал А' = А + кгае) т 258 6. Стационарное магнитное поле Калибровка потенциала. Пользуясь неоднозначностью в выборе потенциала, можно наложить на потенциал определенное условие, В магнитостатике чаще всего оно выбирается в виде б!тА = О (37.5) и называется условием калибровки потенциала. Его роль аналогична роли нормировки скалярного потенциала в электростатике.
В частности, произвол в выборе векторного потень)нала показывает, что векторный потенг)ыал имеет лишь вспомогательное значение и не мозкет быть измерен экспериментально. Уравнение для векторного потенпиала. Подставляя (37.2) в (36.5), получаем го!го! А = ро3 Из векторного анализа известно, что гог го! А = 8гадсйк А — чзА и поэтому (37.б) принимает вид (37.8) (37.7) где принята во внимание калибровка (37.5).
Распишем уравнение (37.8) в координатах: 7~А = -Ре)* 7~А = Рь) РзА -Ро)*. (37.9) Таким образом, каждая из компонент векторного потенциала подчиняется уравнению Пуассона (см. з !5). В частности, если все токи сосредоточены в конечной области пространства, то по аналогии с функцией (14.35), являющейся решением (15.14), можно написать решение уравнений (37.9) в виде: ро ~Ь~~ 1 ~~о 1зпи 1 ро (37АО) илн в векторной форме (37.1! а) Для линейного тока (37.11б) где Ег — контуры токов.
В каждом из них сила тока 1„вообще говоря, различна. Прн интегрировании по замкнутому контуру конкретного тока Тв силу тока 1, можно вынести за знак интеграла, как это обозначено в сумме (37.11б). Найдя векторный потенциал, можно по формуле (37.2) определить соответствующую ему индукцию магнитного поля. й 37. Векторный потенциал 259 ~ акоп Био — Савара.
Из (37.11а) по формуле (37.2) получаем следующее выражение для индукции магнитного поля: В(х, у, х) = — (го!1 == ' - .:= — г(х'ду'г(г', Г !(х',у', 7 4х ) ~ (/( .)э+(у,)э+(т )г где в явном виде выписаны координаты точки наблюдения, в которой вычнаистся ротор, и текущие координаты (х', у', х') точки интегриро- вания. Операция ротор включает в себя вычисление частных произ- водных по (х, у, х). Учитывая формулу векторного анализа го!(~рА)= = сргогА+ ягаг)~р х А, получаем 1 .
1 . !хг го! — = — го!1+ йгад — х 1 = —, г г г где го! ! = О, поскольку ) не зависит от переменных, по которым вычисляется ротор, и дгаг((!(г) = — г~г~. Следовательно, получаем фор- мулу з Рс 11хг „з (37.11В) А(г) = ~ 1 — 61+ — Л+ — й! + — д! ь ! ь ро ! 1~ 1г 1з = — 1~ — + — — + — + — . 4к г, гэ гз гч / (37.13) выражающую закон Бно — Савара Тем самым завершается вывод основных законов магннтостатнческого поля из законов электростатического поля с помощью теории относительности. Яоле элементарного тока. Вычислим векторный потенциал н индукцию уоля элементарного замкнутого тока, т.
е, линейного тока, обтекающего поверхность с бесконечно малыми линейными размерами в физическом смысле. Контур, по которому течет линейный ток 1, выберем в виде параллелограмма со сторонами 1„1н 1з, 1к (рнс. 142). Начало координат поместим в точку 0 поверхности, обтекаемой током. Выбор точки 0 не имеет значения, поскольку контур и поверхность бесконечно малые. Потенциал вычисляется в точке, характеризуемой радиус-вектором г. По формуле (373!б) получаем А(г)= о) Ро (37,12) 4х ~ г' ьььь где произведен переход к линейным токам ()61'- 1Щ.
Поскольку длины сторон параллелограмма бесконечно малы, прн интегрировании в (37Л2) по каждой нз его сторон значение г может счнтазъся постоянным н равным, например, расстоянию от точки, в которой определяется поле до середины стороны. Поэтому [см. (37.12)3 260 6. Стационарное магнитное иоле ходим: 4- !з — + — =!1 гз г,— г, =1, Г1Гг — 12 г) 1, (12 г) ,.3 „з 12 14 — — + — =1 2 "2 142 Элементарный ток г4 — У2 12 (11 Г) 2 .
) 3 1214 (37.14) — (г,г) 14 гг~ (37.21) ыз Вычисление разности рассточннй от лаут точек 144 К расчету нотенцнала от ко. ленного участка лрлмалинейного тока Учитывая, что 1, = — 1, и 1, = — 1„, на- где принято во внимание, что при вычислениях можно пренебречь бесконечно малыми высших порядков. Например, на рис. 143 показаны геометрические построении, использованные при вычислениях второй серии равенств (37,14)1 ге=1,+г,, (37.15) откуда Г4 = (1 + гз + 211 . гз (37.1б) и, следовательно, г4 1 2 (г4 — Г2) (У4 + У2) = (1 + 2!! Г2 (37.17) Тогда 21 г +(2 (37.
18) * Г4 + Г2 Здесь сохранены лишь члены первого порядка малости по 1,. С помощью равенств вида (37.18) получаются формулы (37.14). С учетом (37Л4) выражение для потенциала (37.13) принимает вид А = - -з-(12(1 г) — 11 ((2. Г)]. (37.19) ро 4п гз Из векторной алгебры известно разложение двойного векторного произведения: А х (В х С) = В(А С) — С(А В), (37.20) которое показывает, что выражение в квадратных скобках в (37.19) можно представить в виде 12 (11 Г) — 11 (12 ' Г) г Х (!2 Х 11) = = (1, х 12) х г. з 37. Векторный потенциал 261 Принимая во внимание, что 11Х!2=8 (37.22) — вектор элемента поверхности, обтекаемой током, перепишем (37 19) с учетом (37.21) и (37.22): з (37.23) 4я гз Величина ТВ=р„ (37.24) играет чрезвычайно важную роль в магнетизме н называется магнитным моментом элементарного тока.
Он по модулю равен произведению силы тока в контуре па площадь, охватываемую контуром. По направлению он совпадает с направлением положительной нормали к поверхности. Предсгавим векторный потенциал элементарного тока в виде )го р 4к гз (37.25) откуда (37.2б) Имеется в виду, что ланиый участок составляет часть замкнутой цепи. По принципу супсрпозицин этот потенциал иойлет слагаемым в полный потенциал от тока по замкнутой цепи и поэтому его вычисление имеет физический смысл, хотя незамкнутого постоянного тока не существует. Поместим начало коорлинат в середине рассматриваемого участка проводника, направив ось 2 влоль проводника (рис.
144). Поскольку магнитное поле прямолинейного тока акснально симметрично, достаточно вычислить индукцию в точках плоскости УУ. Координаты точки и этой плоскости будем характеризовать расстояннсм г от оси 7 и коорлинатой г. Из формулы (37.11б) следует, что отличной от нуля являетси только компонента А„ поскольку ток течет в направлении оси 2. Тогда Рву ~ дг' ре1 ~ — г -1- Ц2-~- ~(г — 7/2)'+ г"-3'и А,= —— — — 1и ((г г)з.» ге~не 4к ( — (в+ унг2) + ((к+ а)г + ге~из ~ (37.27) Формула (37.26) показывает, что индукцил поля магнитного молмнта убывает обратно пропорционально трепгьей степени расстояния, в то время как иидукция тмя элемента люка убывает обратно ирогюрциональио квадрагпу расстояний.
Это обусловлено тем, что иидукция поля ма~нитного момента слагается из ипдукций полей элементов тока, текущих в противоположных направлениях на очень малых расстояниях друг от друга. Пример 37.1. Пойти векпгор-потенциал и индукцию поля, создаваемого прлмолинейним участком лннеггного проводника денная Ь, по копюрому протекает ток 1. 2б2 б. Стационарное магнитное поле Индукция вьзчнсляется по формуле В=ГО1А, которую надо расписать в цилиндрических координатах.
Единственной отличной от нуля проекцией индукции В является В, где лр— аксиальный угол цилиндрической системы координат, причем В, = — дА„(дг, (37.28) На рисунке в точках плоскости е. У В является компонентой, направленной перпендикулярно этой плоскости в ст орону отрица- тельных значений оси Х. По формуле (37.28) с помошью (37.27) полу- чаем р 1 à — г + 1./2 г + 1 (2 в "= 4го, ~ [гг + (г г(2)г]г,з + [гг 1 (г"+ 1(2)г]ггг . (3729) Для бесконечного прямолинейного проводника из (37.27) и (37.29) находим: А,(1.- со) = — — 1пг+ сопз1, )го1 2к В (Е.-4 со) = ро1 2кг' (37.31) (37.32) (3733) Пример 37.2 Найва векторный нотенциал и нндукчию, создаваемые маколь текущин но коаксиалмюиу кобейн» (рис.
140). Материал проводников и нростран- с»»»во .мемеду ними немагнитны. Потенциал подчиняется уравнению (37.8). Из-за аксиальной симмесрии задачи удобно пользоваться цилиндрической системой координат, ось 2 кото- рой совпадает с осью кабеля. Очевидно, что от г и акснального угла »р потенциал не зависит, т.е. А = А(г). кроме того, если от нуля отлична лишь компонента В плотности тока, то отличной от нуля будет компонента А, векторного потенциала, которую необходимо найти. Обозначим эту компонен- ту А. Индекс показывает область, к которой эта компонента относится. Таким обрюом, Аь Аь Аз, Ав — векторные потенциалы соответственно в об- ластях (О, »,), (гн гг), (гг, гз), (гз, ос). Тогда [см. (37.8)] Р А, = — —.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
