А.Н. Матвеев - Электричество и магнетизм (1115536), страница 57
Текст из файла (страница 57)
Учитывая, что фф=(фз)72, Ц~~=г()Ур); запишем (34.19) так: (Ф')'= 4 (р'хр): (34.2П Теперь можно проинтегрировать обе части (34,21) по х в пределах от 0 до 1-ого значения х, при котором потенциал равен ср. Тогда — — — =х !'т, 0!42) где учтено, что ср(0) = О. Производная (асср!4(х)о характеризует напряженность электрического поля у катода, ц — пропорциональна 1 Поэтому объемная плотность тока / достигает максимума при (т(срУт(х)о — — 0 н тогда (см. (34.22)3 2 )/ рн4 (34,23) с(х части (34.24) в пределах х = с(, ср = (у, получаем Ь 34.
Электрический ток в вакууме 247 Возводя обе части (34.25) в квадрат н учитывая, что и = (//!/ео) 1/т,/(2 / е!), получаем 0) = ()(/"' где (34.26) (34.27) (34.28) Расчет аналогичной задачи для коаксиальных цилиндрических элекзродов, для концентрических сферических электродов приводит к такому же виду зависимости объемной плотности тока от разности потенциалов в степени три вторых. Впрочем, такую зависимость можно было бы ожидать и без расчетов с помощью анализа размерностей. Коэффициент () во всех случаях имеет одинаковую размерность, как это следует из уравнения Пуассона, записанного в различных системах координат.
При отсутствии объемного заряда между катодом и анодом изменение потенциала происходит по линейному закону (рис. 135; прямая 1). Объемный заряд изменяет этот ход. Ясно, что вблизи катода объемный заряд уменьшает силы, действующие на электроны при отсутствии объемного заряда, а вблизи анода увеличивает. Поэтому изменение потенциала между электродами с учетом объемного заряда характеризуется кривой 2. Вывод формулы (34.27) приведен в предположении, что электроны покидают катод с нулевой скоростью.
Однако они могут покидать катод с конечной скоростью эмиссии. В этом случае ток будет существовать даже в том ыучае, если вблизи катода имеется небольшое обратное поле. Следовательно, объемная плотность заряда может измениться ло таких значений, при которых потенциал вблизи катода уменьшится до отрицательных значений. В результате этого ход потенциала вблизи катода будет характеризоваться пунктирной кривой С. Прн достаточно большой разности потенциалов наблюдается отклонение от закона трех вторых. Оно наступает тогда, когда обьемная плотность заряда уменьшаетсл настолько, ч>по поддержание нулевого электрического ноля у поверхности катода оказывается невозлюжным и, следовательно, будет невыполнимым условие (с(>р/с(х)ь = О, при котором был введен закон трех вторых.
При дальнейшем увеличении напряженности объемная плотность тока становится независимой от разности потенциалов (ток насыщения). Закон трех вторых здесь рассмотрен в качестве примера нелинейного соотношения между силой тока и напряженнем. Он не имеет универсального характера и даже в приведенном случае справедлив лишь в сравнительно узком интервале напряжений и токов. Нелинейность вольтамперной характеристики является наиболее важной особенностью многих элементов радио- и электротехнических схем, включая элементы твердотельной электроники.
248 5. Электропроводность Задачи 5Л. и, = 00?36 см/с. $2. )Д'+Ч =, (Д' ') = —. 53. 34 мг. Ь' '1Д! Ь'ю~Д! Ь' ' + Ы ' ' Ь' 1+ Ьгм 5.4. 360 Дж. 5.5. 10 В, 5.6. В 2 .10' с 1 см-з 5.1. Концентрация электронов проводимости в меди равна ля —— = 8,5 10м см '. Определить среднюю скорость дрейфа электронов проводимости при плотности тока 5 = 10 А/мм'. 5.2.
Через электролит прошло ~Д ~ кулонов электричесп1а. Подвижности ионов равны Ьгм и Ь' '. Какое количество электричества перенесено положительными и отрицательными ионами? 5.3. Две электролитические ванны с растворами АВХОз и СпБОз соединены последовательно. Определить массу серебра, выделившегося за то время, в течение которого выделилось 10 мг меди? 5.4, Электролиз Аа?ЦОз проводится при разности потенциалов 4 В, Какая электрическая энергия рас- ходуется для выделения 100 мг серебра? 5.5. Проводящая металлическая лента толщиной и = 0,1 мм н шириной 4 = 5 см помещена в олнородное магнитное поле с индукцией В = = 1 Тл, направленной перпендикулярно поверхности ленты.
По ленте течет ток силой 1 = 1,6 А. Найти холловскую разность потенциалов. 5.6. В газоразрядиой трубке между электродами с площадью поперечного сечения 1 см', расположенными на расстоянии 3 см друг от друга, сила тока насыщения равна 1к = 10 т А. Разряд несамостоятельный. Какое число элементарных зарядов каждого из знаков возникает ежесекундно в 1 см' объема трубки. В 35 Закон полного тока 3 36 Уравнения Макавелла Лля етаняонарнага магнитного паля Стационарное магнитное поле 37 Векторный потенциал т 35 Магнитное пале при наличии магнетнкоа в 39 Сгглы в магнитном поле Стационарное магнитное поле обусловлено электрическими токами.
Его нельзя осуществить движением отдельного заряда, поскольку в этом случае магнитное поле неизбежно переменно. Тем не менее с помощью принципа суперпозиции делается заключение о создании поля отдельным движущимся зарядом. 258 6. Стационарное магнитное пале 8 35. Закон полного тока Дается вывод дифферснннальной формы закона полного токо. Обсуждается экспериментальная проверка закона полного тока. 4В 81 по некоторому замкнутому вокруг тока 1 контуру Л (рис. 136). Поскольку линии В лежат в плоскостях, перпендикулярных линии тока 1, контур 1. следует выбрать лежащим в одной из плоскостей.
Используя при вычислении интеграла (35.1) обозначения, показанные на рнс. 137, а, получаем В д( = В д) сов (В, д!) = В с(1э. (352) (35.1) По определению, с)п = д!, /г. Принимая во внимание формулу (!0,3), перепишем (35.2) в виде ра 1 Ь 2п г ' 2п Тогда )~~~о = Ра). Ра а' (35.4) Постцновка задачи. Так же как и в электростатике, нам необходимо получить дифференциальную формулировку законов магнитного поля. В электростатике это было сделано, исходя из закона Кулона и принципа суперпознции как экспериментальных положений. Их интегральная формулировка дается теоремой Гаусса, из которой следует дифференциальное уравнение (13.20).
В случае магнитного поля можно, в принципе, поступить аналогично, а именно, можно исходить из закона Био — Савара (10.10) или (10.11) и принципа суперпозиции для магнитного поля как экспериментальных факторов. Их интегральная формулировка называется законом полного тока (в данной главе для случая стационарных полей), нз которых получается соответствующее диффсренпиальное уравнение. Однако можно поступить по-другому н продолжить теоретический вывод законов магнитного поля из законов электрического поля с помощью теории относительности (см.
8 8, 9). Поэтому исходим нз формулы (9.28) для индукции магнитного поля тока, текущего по прямолинейному бесконечному проводнику, которая была получена теоретически. И нтегральная формулировка закона полного тока. эгш1ии индукции магнитного поля, порождаемого током, текущим по прямолинейному бесконечному тонкому проводнику, являются концентрическими окружностями, центр которых лежит на линии тока. Значение индукции дается формулой (9.28). Вычислим циркуляцию вектора В 1 35.
Закон полного тока 25! где учтено, что интеграл от ди по замкнутому контуру, окружающему начало координат, равен 2ж Следовательно, циркуляция вектора В по замкнутому контуру вокруг тока не зависит от вида контура и определяется только силой тока. Если замкнутый контур 1,' не охватывает ток 1 (рис. 137, б), то ус(а = О, т.с.
циркуляция вектора В по замкнутому контуру, не охватывающему ток, равна нулю. Поэтому полученные результаты могут быть сформулированы так: 4В ° сВ = 1 ро1 (контур интегрирования охватывает ток), (35.6) О (контур интегрирования не охватывает ток). Представим себе, что имеется большое число токов и кон~ур охватывает часть из них (рис. 138). Индукцня магнитного поля в каждой точке контура по принципу супер- позиции равна сумме индукции магнитных полей, создаваемых каждым из токов: В = 2„'Вг. (35.7) т а) б) Подставляя В в левую часть (35.6), получаем ) в.л=((~в,) л=~'(вг-л= = Х )зо1а = ро1 (35.8) уз где индексом 8 обозначены лишь т.оки, охватываемые контуром Е,.
Токи, не охвагываемые 1-, не лают вклада в интеграл. Следовательно, сила тока 1 в (35.8) есть сумма всех сил токов, охватываемых контуром. Поэтому в общем случае закон полного тока может быть сформулирован в виде ув.й) = цо1 (35.9) ь ь Вмчнсление циркуляции вектора В по замкнутому контуру )ЗЗ Ток 1 направлен перпелликулярио плоскости чертежа вверх. Положительный обкол контура против часовой стрелки 138 Обобщение закона полного тока на произвольную совокупность токов 252 б. Стационарное магнитное ноле где 1 — сила полного тока, охватываемого контуром 1.. Если сила полного тока равна нулю, то и циркуляция равна нулю. Этот случай реализуется не только тогда, когда контур не охватывает никакого тока, но и тогда, когда охватываемые токи текут в противоположных направлениях и в сумме дают нуль. Например, циркуляция В по контуру, охватывающему два равных по силе тока, текущих в противоположных направлениях, равна нулю, В формуле (35.9) знак тока 1 учитывается по общему правилу (см.
9 14): если направление обхода контура Ь и направление тока связаны правилом правого винта, то знак 1 положителен. В противном случае знак 1 отрицателен. Выражение (35.9) закона полного тока для вакуума в стационарном случае является непосредственным следствием соотношения (9.28) и может быть проверено экспериментально. Этот закон выше был выведен для тока, текущего по прямому бесконечному проводнику, но сейчас станет очевидным, что он справедлив и для произвольного тока. д ифферснциальная форма закона полного тока.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
