Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 69
Текст из файла (страница 69)
6). Располагая начало коордиполучим й(=г)(Г +( — г))~Г, (15) Р=-- и '7 тп= й где !д! — это вектор, перпендикулярный к рисунку, его величина равна )"))' = — Ео з!и 8+ — Ео з!и 8= 2 2 =цЕВ!п8=рЕВ!п8. (16) Это выражение может быть записано короче: 1)! = р Х В. (17) Ориентация диполя на рнс. 9.7, а соответствует минимальной энергии. Для поворота диполя в любое другое положение необходимо затратить работу. Вычислим работу, требуемую для поворота диполя из положения, параллельного полю, на некоторый угол 8„ как показано на рис.
9.7„ в. Поворот на бесконечно малый угол с!8 требует количества работы 1И 8. Следовательно, полная затраченная работа равна Ое О, ~ )у) е!8 = ~ рЕ з!и 8 с(8 = рЕ (! — соз 8,). и О (18) Рис. 9.7. я) диполь в оЛноролион поле. 6) Вражаюжий нонент, действующий надиполь,и=-рх В; и — ато вектор, направленный перпендикунярио к плоскости рисунка Иот наса). е) Работе, аатраяеинея на поворот диполя иа положения, параллельного палю, в положение, покаааниое на рисунке, равна рш) -соа О,).
Для того чтобы повернуть диполь на 8„=п, требуется работа, равная 2рЕ. Полная сила, действующая на диполь в любом однородном поле, равна, очевидно, нулю независимо от ориентации диполя. В неоднородном поле силы, приложенные к двум концам диполя, не будут совершенно одинаковыми и противоположно направленными, поэтому будет существовать некоторая полная сила, действующая на диполь.
Простым примером является диполь в поле точечного заряда Я. Когда диполь направлен по радиусу, как на рис. 9.8, а, положительным концом к положительному заряду 1~, то полная сила направлена от заряда и величина ее равна Е = (Ц) — з+( — 9)— (тн а)в' (19) Для б(( г намдостаточно вычислить ее с точностью до первого порядка относительно б!г, что и делается следующим образом: — з 1 2 з . (20) Сила, выраженная через дипольный момент р, равна просто (21) существенно зависит от градиентов раз- .-р® личных компонент поля.
В общем случае л-компонента силы, действующей па диполь с моментом р, равна а1 Е„=-р йгадЕ,. (22) Можно написать соответствующие фор- мулы для Е и Ею з.з. А у Р а; ~е .дт т! индуцированные дипольиые моменты Изучая распределения зарядов в у атоме нли молекуле, мы используем классические понятия для описания си- р) стемы, которая в деиствительности является квантовомеханической. Кроме того, мы считаем статической систему, в которой частицы в действительности находятся в непрерывном движении. Позднее, в т.
1Ч, мы увидим, что квантовая механика не опровергает, а, наоборот, поддерживает и подтверждает картину, которую мы собираемся нарисовать. Рассмотрим самый простой атом — атом водорода, состоящий из ядра и одного электрона. Представим себе, как зто было сделано в первой модели атома, разработанной Нильсом Бором, что отри- Рис. 9.8. Сила, действующая на дипел~ в неоднороднон поле. а) Результирующая сила, действующая на диполь, направлена по радиусу. б) Результирующая сила, действующая иа диполь, направлена вверх.
303 На диполь, расположенный под прямым углом к полю, как на рпс. 9.8, б, также действует сила. В данном случае силы приложены к двум концам диполя и,хотя онп равны по величине, онн не точно противоположны по направлению. Нетрудно вывестп общую формулу для силы, действующей на диполь в неоднородном электрическом палс.
Сила цательно заряженный электрон вращается вокруг положительного ядра, подобно вращению планеты вокруг Солнца. Мы приходим тогда к заключению, что атом имеет в любой момент времени электрический дипольный момент. Вектор дипольного момента р направлен параллельно радиусу-вектору электрон — протон и равен заряду е, умноженному на расстояние между электроном и протоном. Направление этого вектора при движении электрона по орбите непрерывно и быстро меняется. Очевидно, что среднее по времени значение р для круговой орбиты будет равно нулю. Следует, однако, ожидать, что периодически меняющиеся компоненты дипольного момента вызовут быстрые колебания электрического поля и создадут электромагнитное излучение.
Отсутствие такого излучения в нормальном атоме водорода было одним из величайших парадоксов начального периода квантовой физики. Современная квантовая механика говорит нам, что атом водорода в состоянии с наинизшей энергией (обычное состояние большинства атомов водорода во Вселенной) следует представлять себе как сферпчески симметричное образование, в котором электронный заряд распределен в среднем по времени в виде облака, окружающего ядро. Ничто не вращается и не колеблется.
Если бы мы могли сделать моментальный снимок с временем экспозиции меньше 10е м сек, то нам удалось бы различить электрон, расположенный на некотором расстоянии от ядра. Но для более продолжительных процессов имеет место непрерывное распределение окружающего ядро отрицательного заряда, простирающееся во всех направлениях с равномерно уменьшающейся плотностью. Полный заряд в таком распределении равен — е, т, е.
заряду электрона. Примерно половина заряда расположена в сфере с радиусом 0,5 Л (0,5 1О ' см). Плотность убывает экспоненциально; сфера с радиусом, равным только 2,2 А, содержит 99'о заряда. Подобное представление пригодно и для других атомов и молекул. При этом ядра в молекулах можно считать точечными зарядами. Их размеры слишком малы, чтобы это как-то сказалось на наших рассуждениях. Электронную структуру молекулы в целом можно представить в виде облака отрицательного заряда с непрерывно меняющейся плотностью. Форма этого облака и изменение плотности заряда в нем будут, конечно, различными для разных молекул. Но по краям облака плотность будет всегда экспоненциально уменьшаться, так что имеет смысл говорить о размерах и форме молекулярного распределения зарядов.
На рис. 9.9 показано распределение зарядов в обыкновенном атоме водорода. Оно представляет собой поперечное сечение сферически симметричного облака с плотностью, пропорциональной степени почериения. Очевидно, что дипольный момент такого распределения равен нулю. Это справедливо для любого атома в состоянии наннизшей энергии, независимо от количества содержащихся в нем электронов, так как во всех таких состояниях распределение электронов обладает сферической симметрией. Это 304 1 +++++++++: Рнс. 9.9.
Среднее па времепн распрсделенне зарядов в атаке водорода. Затемнение соответствует плотвостн распределення зарвда злектрона. Рнс 9лр В электрическое поле отрнпательяый заряд увлекается в одну сторону, а полоынтсльное ядра в другую. После установления равновесия форма атома оказывается несколько нскавгеннод. радиусом а, вне которой он равен нулю. На рис. 9.11 показана грубая модель действительного распределения, изображенного на рис.
9.9. Предположим, что в поле Е этот отрицательный заряд сохраняет форму шара и свою плотность и только смещается относительно ядра, так что ядро оказывается на некотором расстоянии Ь от центра сферы (рис. 9.12). В состоянии равновесия сила, обусловленная присутствием электрического поля Е, равная еЕ и заставляющая ядро смещаться вверх, должна быть уравновешена силой притяжения, вызванной облаком отрицательного заряда и направленной вниз.
Эта сила тянет ядро к центру облака заряда. Для определения ее величины вспомним, что электрическое поле внутри сферического распределения зарядов в точке, удаленной на Ь си от центра, создается зарядом, находящимся внутри сферы радиусом Ь. В нашем случае величина заряда внутри сферы радиусом Ь равна зов справедливо также для любого ионизованного атома, несмотря на то, что ион, конечно, имеет «монопольный момент», т. е.
его полный заряд пе равен нулю. До сих пор мы ие узнали ничего особенно интересного. Поместим теперь атом водорода в электрическое поле, созданное каким-нибудь внешним источником, как на рис. 9.10. Электрическое поле деформирует атом, перемещая отрицательные заряды вниз, а положительное ядро вверх. Деформированный атом будет иметь электрический дипольный момент, потому что «центры тяжести» положительного и отрицательного зарядов больше не совпадают. Мы можем воспользоваться определенной моделью атома водорода для оценки порядка величины ожидаемой деформации. Предположим, что при отсутствии электрического поля отрицательный электрический заряд е распределен с постоянной плотностью в сфере (Ь,'а)не, так как е представляет собой величину заряда внутри сферы радиусом а. Следовательно, в месте расположения ядра поле, создаваемое электронным облаком, равно (1/Ьа)е(5 та)а, или еЬ/аз.
Принимая эту величину поля равной величине приложенного поля Е, мы получим условие равновесия: еЬ цаи Е=- —,, откуда Ь=-=, (2,3) а .+++ Ф+ + ++4 Рис р! П Прнбликецнан модель атома полорота. Отрицатслштми заряд с раанотсрноа пл тностью заполняет сферу радиусом л, с центром в ндрс. Рнс. НЛ", равновесие во внешнем поле: нлро в центр саерняесього шара атрнца. тельного заряда смещенм гш расстояние Ь. Подставляя в уравнение (23) эти значения а и Е, получим для величины Ь значение, равное 2 !0-'" схк Мы видим, что деформация атома весьма невелика. Смегценпе составляет около 10-' от радиуса атома, оно немного больше радиуса ядра. Результирующий электрический момент днполя равен еЬ, так что выражение, связывающее дипольный момент и величину поля в этой модели, имеет вид р =-- сЬ =- и'Е.
(24) Вектор дипольного момента направлен вверх, т. е. совпадает по паправлсишо с электрическим полем. Обратите внимание, что дипольный момент просто пропорционален величине приложенного поля. Можно ожидать, что это будет справедливо и для реального атома, по крайней мере при малых деформациях, и наши вычисления показывают, что умеренные лабораторные поля деформируют атом весьма мало. Таким способом можно поляризовать любой атом, При этом мы говорим, что дипольный момент индуцируется электрическим полем Е.
В каждом конкретном случае оказывается, что момент р пропорционален полю Е: (25) 306 Для простоты примем радиус а равным 1 лтх, илп 10-' см. Мы утверждали, что в сфере с таким радиусом в действительном распределении оказывается большая часть заряда. Велпчину Е примем равной 100 ед. СГСЭ 'слп т. е. 30000 вгсдс Для полей, доступных в лабораторных условиях, это довольно сильное поле.
Постоянная се является характеристикой атома и называется атомной лоляразуемастью. Лля нашей модели атома водорода поляризуемость а равна а'. Заметьте, что ср имеет размерность объема. Точное квантовомеханпческое вычисление поляризуемости атома водорода дает сс =- (972) а„', где а, представляет собой «боровский радиус>, равный 0,52.10 ' см и характеризующий протяженность атома Н в его нормальном состоянии. В табл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
