Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 68
Текст из файла (страница 68)
(6) Поскольку г при интегрировании величина постоянная, мы можем вынести ее за знак интеграла и записать выражение для потенциала в точке А в следующем виде: ~р„= — ) рЫ+ —, ) г'созОрйп'+ —, ) г"- — (Зсоз'Π— 1) р й'+... к~ к, к, (7) Величина каждого из интегралов К„ К„ К, и т, д., зависит только от особенностей распределения зарядов. Следовательно, потенциал для всех точек вдоль оси г можно представить в виде степенного ряда 1!г с постоянными коэффициентами: у= †--+ — + к к, к, А= г гз гз (8) К, = ) г'созОр~Ь'. Так как величина г'соз О равна просто г', то этот член характеризует относительное смещение положительного и отрицательного зарядов в направлении точки А. Он отличен от нуля для распределений, изображенных на рис.
9.3, где распределения положительных и отрицательных зарядов изображены раздельно. Действительно, все показанные на рисунке системы имеют приблизительно одно и то же значение К,. Полезно заметить, что еслп система зарядов в целом нейтральна, то значение К, не зависит от положения начала координат. Действительно, если мы заменим г' на (г'+г,'), переместив таким Для завершения задачи нам нужно было бы получить потенциал во всех других точках, чтобы иметь возможность вычислить электрическое поле как — дгаб р.
Однако и сейчас мы знаем достаточно, чтобы сделать существенно важный вывод: поведение потенциала на больших расстояниях от источника будет определяться первым членом этого ряда, коэффициент при котором не равен нулю. Рассмотрим эти коэффициенты более внимательно. Коэффициент К, равен ) рЫ, что представляет собой полный заряд системы. Если количества положительных и отрицательных зарядов равны, как в нейтральной молекуле, то коэффициент К, будет равен нулю.
Для однократно ионизованной молекулы коэффициент К, будет равен е. Если К, не равен нулю, то величина коэффициентов К„ К, и т. д. не имеет значения; при достаточно большом расстоянии от системы превалирует член К,!». Поэтому значение потенциала приближается к потенциалу от точечного заряда, расположенного в начале координат,— то же справедливо и для поля. Все это достаточно ясно. Предположим, что наша молекула нейтральна, так что коэффициент К„равен нулю. Тогда мы должны рассмотреть второй член с ко- эффициентом еа +г Рнс.
О.З. Некоторые распределення еарядов с К,=О, К,~О. Зто означает, что в каждом распределении полный заряд равен кулю, а днпольный момент отличен от нуля. тем точнее, чем на большие расстояния мы удаляемся). Величина электрического поля будет вести себя аснмптотнчески как 1/уз, в противоположность зависимости 1/г' для поля точечного заряда. Мы рассматриваем, конечно, только потенциал на осн г и вернемся к вопросу о точной форме поля после того, как получим общее представление о ситуации. Когда оба коэффициента, К, и К„ равны нулю, а коэффициент К, не равен ° г -:+-:= ° а нулю, то потенциал на больших расстояниях будет вести себя как1/гз,а величина поля будет падать как 1/уа.
На рнс. 9.4 изображено распределение зарядов, для которого и К, и К, равны нулю (эти коэф- фнцненты равны нулю при любом выборе Ркс Оль Для такого распределеннл зарядов к,=к,=-о, напраВления оси 2), В то Время как коэфквадртпольыгчыопаектомофициситКеисраасииуЛЮ личным от нуля. ' ВеЛичИны Ко, Кт, К„... связаны с так называемыми моментами распределения зарядов. Пользуясь этой терминологией, мы называем величину К„ являющейся просто полным зарядом, монопольньййе моментом или силой монополя. К, представляет собой компоненту дипольного модйента распределения.
Дипольный момент имеет размерность заряда, умноженного на смещение, и является вектором, а коэффициент К,— его г-компонентой. Третья величина, К„относится 298 образом начало координат, то значение интеграла не изменится: ~ (г'+за) РсЬ'= ~ г'РО(о'+г', ~ Рсзо', а последний интегРал длЯ нейтральной системы зарядов всегда равен нулю. Очевидно, что если К,=О, а К,ФО, то потенциал вдоль оси г будет асимптотически изменяться как 1/г' (такое приближение будет к квадрупольпому моменту распределения, следующий коэффициент — к октупольпому моменту и т.
д."). Описание распределения зарядов с помощью такой иерархии моментов удобно тем, что помогает выделить как раз те особенности распределения зарядов, которые определяют поле на большом расстоянии. Если бы нас интересовало только поле в непосредственной близости от распределения, то такое описание было бы бесполезным. Для нашей основной задачи, т.
е. для понимания того, что происходит в диэлектрике, имеет значение только величина монопольного (полного заряда) и дипольного моментов молекул. Все другие моменты можно игнорировать. Если молекулы, образующие наше вещество, нейтральны, мы можем ограничиться рассмотрением только днпольных моментов. 9.3. Потенциал и поле диполя Вклад диполя в потенциал в точке А, находящейся на расстоянии г от начала координат, дается выражением (1, гз)»)г' соз 8 р с(п'. Вместо величины г'соз8, являющейся проекцией г' на направление к точке А, можно написать г г'.
Таким образом, выражение для потенциала, без ссылки на произвольную ось г, будет иметь внд (9) Это выражение дает величину потенциала в любой точке. Интеграл в уравнении (9) является дипольным лгомемтол«распределения зарядов. Он представляет собой вектор, имеющий размерность заряда, умноженного на расстояние. Обозначим вектор дипольного момента через р: р= ) г'рсЬ'. (10) С помощью вектора дипольного момента р уравнение (9) можно записать так: гр (г) =- —, (11) Электрическое поле равно градиенту этого потенциала, взятому со знаком минус. Чтобы выяснить, что представляет собой поле днполя, расположим диполь р в начале координат и направим его 299 *) Можно показать, что разложение источника на различные мультиполи однозначно определяет распределение зарядов. Другими словами, если нам известны силы всех мультиполей, мы можем «в принципе» получить р (х', р', г'].
Квадрупольный момент и моменты высших порядков не являются векторами, а представляют собой более сложные образования. по оси г (рнс. 9.5). При таком расположении диполя »з и Е (12) Потенциал и поле, конечно, симметричны относительно оси г, Рассмотрим плоскость хг, где соз8=ЕЯхз+гз)п*. В этой плоскости рг % ('-+")" (! 3) Отсюда легко получить следующие компоненты электрического поля: дср Зрхг З)з Мп В саз 0 дх (хз-,' гз)пч»' (14) йр ( Згз ! 1 у(З сои«6 — !) дг ( (хе+ге) П (хе+ге) П»л Величина электрического поля диполя в любом направлении падает как !»»з, что и следовало ожидать.
Вдоль оси г поле Рис. В.б. Электрическое поле Липоли, изобрзжеииое з зиле силоиих лики« ( р созе бл ио В соч В л (3 соз' В-з)) В= —, Е„= Ез= т' ' »з параллельно дипольиому моменту р и равно 2 р/»з. В экваториальной плоскости поле антипараллельно р и равно — р!»з. Поле диполя напоминает нам о другом поле, с которым мы уже встречались. Вспомним точечный заряд над проводящей плоскостью с ее «мнимым зарядом>.
Самым простым распределением зарядов, имеющим дипольный момент, является, вероятно, пара точечных зарядов +д и — з) 300 разделенных расстоянием з. Для системы точечных зарядов интеграл (10) превращается в сумму. Дипольный момент нашей пары точечных зарядов равен дэ и направлен от отрицательного заряда к положительному. На рис. 9.б изображено поле этой пары зарядов в основ. ном с целью показать, что поле вблизи зарядов не является полем диполя.
Это распределение зарядов имеет много мультипольных Рнс. 9.6. Элехтрвчесное поле нары равных н протнаоположных по вы*ну точечных аарндов соответствует полю днполв дл» расстоаннн, большнх по сравненню с расстааннем а между аархдамн. моментов, даже бесконечно много, так что полем диполя можно считать только «дальнсе поле» на расстояниях у))ж Для получения поля диполя в начале координат мы должны з стремить к нулю, а су бесконечно увеличивать, чтобы произвгд нпе р=-дз оставалось конечным.
Эта в высшей степени странная абстракция не представляет интереса. Мы понимаем, что распределение молекулярных зарядов создает весьма сложное поле вблизи молекулы, так что представить эти поля в любом случае пе легко. К счастью, нам это и не потребуется. 9.4. Вращающий момент и сила, действующая на диполь во внешнем поле Предположим, что два заряда+ау и — д механически соединены таким образом, что расстояние между зарядами 6 остается неизменным.
Можно представить себе заряды прикрепленными к коршам короткого непроводяшего стержня длиной з. Назовем этот объект диполем. Его дипольный момент р равен просто дз. Поместим диполь во внешнее электрическое поле, т. е. в поле любого другого источника.
Поле самого диполя нас пока ие интересует. Рассмотрим сначала однородное электрическое поле иа рис. 9.7, а. К концам диполя приложены силы, равные Е9, которые тянут его положительный конец вправо, а отрицательный — влево. Полная сила, действующая на диполь, и вращающий момент в этом положении равны нулю. К диполю, повернутому на некоторый угол 8 по отношению к направлению поля (рнс. 9.7, б), очевидно, приложен вращающий момент. В общем случае, если сила Г приложена на расстоянии г от данной точки, вращающий момент равен !)(=-г)~Г (т. 1, гл.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
