Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 65
Текст из файла (страница 65)
е. числом, действительная часть которого равна 1,соьер, а мнимая часть равна 1„э|пер, и наоборот, если комплексное число х+ 1р представлчст ток 1, то ток, как функция времени, выражается действительной частью произведения (х+иу) е'"'. На рис. 8.)3 показано, как пользоваться этим двусторонним правилом, Комплексное число г=-х-! 1д можно изобразить графически в виде точки на плоскости. Легко видеть, что при этом фаза будет выражаться углом агс(д и1х, а амплитуда 1, — модулем )г х'-'-,'-у'-'. Следующее свойство введенного нами представления подтвергк- дает его полезность: представление сулояы двух токов есть среяжа их представлений. Рассмотрим сумму двух токов 1, и 1п, встречающихся в узле на рис. 8.)2. В любой момент времени 1 сумма токов равна 1,-О1е ==1с,сов(пе1 '-гс,)-'-1епсоз(ев! , 'гре);=- =(1„созгр,+1оесозгре)созье1 — (1еез)пгр,+1„сейнере)з!псв1.
(5!) С другой стороны, сумма комплексных чисел, которая, согласно нашему правилу, представляет токи 1, и 1„равна 1еьа8сгт + 1мегР' = (1о! соз !Р! + 1оа соз г!гт) + ! (1е! з!и !Рь + 1оа згп гут). (52) Помножив правую часть уравнения (52) на (соз йу(+!' з!и г81) и взяв действительную часть полученного результата, вы получите правую часть уравнения (51). Это означает, что вместо прибавления или вычитания самих периодических функций времени можно првбавить или отнять представляющие их комплексные числа.
Иными словами, алгебра переменных токов в отношении сложения совпадает с алгеброй комплексных чисел. Эта аналогия не рас- ь, пространяется на умножение. .1н гм!ори р1 1зе'~=х+ту Комплексное число 1„!етенр;+ гл не идентична произведению двух токов в уравнении (51). Рис 8!3. Правита длп предстааленан переменного тона «омплеисайм авеном.
Для анализа цепей нам нужно, Слева — тои в зависимости от времени, Одиако, ТОЛЬКО СЛОЖЕННЕ ТОКОВ Н справа — представление в видс иомплеипв! напряжений. Например, для узла оного висла (помножьте на е и возьмите действительную часть). (рис, 8.12), где встречаются токи 1, и 1„справедливо физическое условие, состоящее в том, что в любой момент времени полный ток, входящий в узел, равен нулю.
Условие 1,+1,+1,=б должно быть справедливо в том случае, если 1„1а и 1, являются действительными периодическими функциями времени. Благодаря рассмотренному соответствию это условие можно представить в виде простого алгебраического равенства, состоящего в том, что сумма трех комплексных чисел равна нулю. Все вышесказанное относится и к напряжениям. Одновременно сумма падений напряжений в любом замкнутом контуре цепи должна быть равна электродвижугцей силе, действующей в контуре в данный момент времени. Это условие, связывающее периодические функции напряжения, могкио заменить условием, касающимся суммы некоторых комплексных чисел.
Эти числа представляют различные осциллнруюуцне функции )гз(1), )г,(1) и т. д. 8.4. Полная проводимость и импеданс Связь между током, текущим в элементе контура, и напряжением на этом элементе можно заменить связью между комплексными числами, представляющими напряжение и ток. Рассмотрим цепь, состоящую из индуктивности и сопротивления (см. рис.
8.4). Колебание напряжения можно представить числом куо, а ток — числом 1„ейр, где 1, ==!гг,1)' йв+ьуа).а и (ц гр =- — 88ЦЙ.Разность фаз гр и от- 284 ношение амплитуды тока к амплитуде напряжения являются свойствами контура при данной частоте. Введем комплексное число г', определяемое следующим образом: есе г' ыь'г У =, где гр: — агс1п ~ — — ) . (54) )г" оз здз — Р). Тогда мы можем написать: 7 =- У'(г, (55) где 1' — комплексное число, представляющее напряжение на последовательном соединении Р и 1., 1 — комплексное число, представляющее ток. Величина У называется полной проводимостью. Это же соотнощецпе можно выразить с помощью величины, обратной 1', обозначаемой через Л. Она называется полным сопротивлением, или импедансом: м~льнпяасу $г= ® 1 —.— П.
(55) В данном случае мы пользуемся и произведением двух комплексных чисел, но только одно из них является представлением переменного тока или напряжения. Вторая величина— это или импеданс, или полная про- ьу водимость *). гг) Импеданс измеряется в омах. Действительно, если элемент тока состоит о— только нз сопротивления Р, то им- .) )г педанс будет величиной действитель- г с ной и просто равной Р, так что уравнение (56) будет заменой закона Ома для цепи постоянного тока: 1»=-РУ.
Для чистой нндуктивности без д) сопротивления полная проводимость является мнимой величиной У= — — — йо1.. Это следует из уравнения (54), если положить в нем Р равным нулю. Множитель — 1 показывает, что колебания тэка отстают по фазе от колебаний напряжения на Ы2.
На комплексной плоскости, где напряжение представлено числом 1'(рис. 8.14, б), ток будет представлен числом 1, положение которого показано на рисунке. Для емкости ») Таким образом, наша алгебра содержит две категории комплексных чисел: числа, которые представляют, например, нмпедансы, и числа, представляющие токи. Пронзведенве «двух чисел, представляющих импедансы», а также произведение «двух чисел, представляющих токи» не имеют смысла. 288 У=-(«бС, что следует, например, нз выражения для тока на рис. 8.?, Связь 1т и ! для этого случая показана на рис. 8,14, в.
На каждом из этих рисунков показано, как выбрать относительный знак (д и (. До тех пор пока это не сделано, слова «опережение» и «отставаниев не имеют смысла. Заметьте, что положительное направление тока всегда определяется так, чтобы положительное напряжение, приложенное к сопротнвленшо, вызывало положительный ток (рнс. 8.14, а1 В следующей таблице приведены свойства трех основных элементов цепей: Из этих элементов можно построить любой контур. Прп параллельном соединении элементов нли их комбинации удобно пользоваться полной проводимостью, так как в этом случае проводимости складываются.
На рис. 8.15 два уыУуруг Ркс 8 1б. Нрн ка~таллелвком соединении складываются проводимости. Рис. 8!б, Прв последовпелвном сое- динении склвдываются вмпедансы. «черных яьцикав с полными проводимостями У'т и 1', соединены параллельно. В этом случае мы имеем уравнение ~т+ ~в 1 т(т г1 в( (1 т+~ ет ~ (57) 286 смысл которого в том, что полная проводимость одного черного ящика, эквивалентного вышеупомянутым двум, равна У=-Ут —;Г,, Из рнс.
8.1б следует, что прн последовательном соединении элементов складываются импедансы. Это звучит так, как будто мы говорим о сети постоянного тока! И действительно, мы свели задачу о цепи переменного тока к задаче о цепи постоянного тока с единственным различием: числа, с которыми мы имеем дело, являются комплексными числами. В качестве примера рассмотрим контур из параллельно включенных элементов й, 1. и С (рис. 8.17). Полная проводимость трех параллельных ветвей равна У=- — +>п>С— 1 (58) =Л ' тоь' Напряжение равно просто 4'„н комплексный ток выражается уравнением 1=г'17=8, ~1 +1~ С вЂ” 1 )1 .
(59) Амплитуда колебаний тока равна модулю комплексного числа 1: б.а((111лл)в —;(юС вЂ” 11р>(.)в)", а фазовый угол равен агс!И(йла>С— — >л>1а>1.) . Рассмотренный метод применим только к линейным элементам контуров, т. е. к элементам, в которых ток пропорционален напряжению. Другими словами, наш контур должен описываться линейным дифференциальным уравнением.
Для нелинейного элемента мы ие можем даже опре- Л груп>1 С Л Ь делить понятие импеданса. Нелинейные элементы контуров являются очень важными и интересными устройствами. Вы встречались с рядом таких устройств ""' "' '.п'рапп"',", '" р"" аонавснылт контур. Коллпаенсные в Лаборатории И могли убсднться в тОМ, провопнллсстн трехавеяелгтов контура с~адываытса 1сы. равенчто длЯ анализа их Работы нУжны „,', мм1 другие методы. Все рассмотрение, выполненное нами, относилось к незатухающим колебаниям постоянной частоты.
Исследование переходного режима контура представляет собой другую задачу. Однако в линейном приближении развитый метод может быть в некоторой степени использован да>не для неустановившегося режима. Дело в том, что переходный режим можно представить в виде суперпозиции установившихся колебаний с различными частотами и отклик контура иа каждую из этих частот можно вычислять таким образом, как будто действует только лишь эта частота.
Мы будем заниматься этой задачей в т. 1П, 8.5. Мощность и энергия переменного тока Если напряжение на сопротивления Р равно 1'„соз а>1, ток равен 1=('р',(ус) соз а>й Мгновенное значение мощности, т. е. Мгновенная скорость, с которой энергия рассеивается на сопротивлении, равна 1тв Р— Й1" — — соз' а>1. л (50) 287 Так как среднее значение соззй)!за много периодов равно '/„то средняя мощность, рассеянная в контуре, равна ))о р е 2 )( (61) При расчетах цепей переменного тока обычно пользуются амплитудами тока и напряжения, умноженными на 1/)/2.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
