Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 60
Текст из файла (страница 60)
Парселл 257 Рис. 7.2б. Вычисление анерггин ааиасениеб и мсгннтаам пале тсрсипальнпб насушил рис 7 22, Источником этой энергии является индуктивность с ее магнитным полем. Действительно, эта энергия равна работе, которую должна произвести батарея при включении, чтобы создать текущий в цепи ток. Разумеется, за время от |=-0 до (=(„после включения батареи некоторая энергия рассеивается в сопротивлении, н эта энергия также поставляется батареей. Вырагкенке (68) имеет обпп|й характер. Действительно, если ток в индуктивнсстп увеличивается, то должна быть произведена работа, чтобы заставить ток течь в направлении, противоположном индуцнрованной электродвижу|цей силе Лг Ь вЂ” „.
Поэтому работа, произведенная за время Ж, равна д| 2 (69) магнитное поле. (Вспомните, что поле В равно нулю всюду, кроме сечения катушки.) — ~В»да = — ~ ( — '-) 2агйг(г=,, -!и ' — ) . (73) а Сравнивая этот результат с уравнением (71), мы видим, что, действительно, — ) В'-ап = — з !.Р. (74) Наиболее общее утверждение, аналогичное сделанному для электрического поля в уравнении (1.36), состоит в том, что энергия (7, связанная с любым магнитным полем В(х, у, а), дается выражением (75) Если В измерено в гауссах н а — в кубических сантиметрах, то У в уравнении (75) выражена в эргах.
В уравнении (70) мы можем применить практические единицы, генри и амперы для 1 и 1, и тогда (7 выразится в джоулях. 7.11. «Что-то потеряно» Вспомним уравнения, связывающие заряды и поля. В гл. 2 мы узнали, что выражением, эквивалентным закону Кулона, является дифференциальное уравнение Йч Е =-4по, связывавшее плотность электрического заряда р и электрическое поле Е. Это уравнение справедливо как для движущихся, так и для неподвижных зарядов. Иными словами, р является функцией времени и положения. Как было подчеркнуто в гл, 5, факт справедливости уравнения (76) для движущихся зарядов согласуется с инвариан»пностью заряда.
Заряд изолированной частицы, определенный интегралом от Е по окружающей ее поверхности, одинаков в любой системе координат, независимо от способа движения частицы. движущийся электрический заряд является электрическим током. Поскольку заряд никогда не создается и не исчезает, то плотность заряда р и плотность тока ! всегда удовлетворяют условию б!ч Я =- — +, д1 (77) Мы познакомились с этим «уравнением непрерывности» в гл. 4 (уравнение (4.9)). ззз Если плотность тока 3 постоянна во времени, мы называем ее плотностью постоянного тока.
Магнитное поле стационарного тока удовлетворяет уравнению го1В= — "Л. 4п (78) с Это выражение применялось в гл. 6, Займемся теперь плотностями зарядов и полями, изменяющимися во времени. Предпочожим, что мы имеем распределение заряда р(х, и, г, 1) с др/д14=0. Можно взять, например, конденсатор, разряжающийся через сопротивление. Согласно уравнению (77), др(дГ=~О означает, что сНч 3 ~~ О. (79) Но так как дивергенция ротора любой векторнойфункцпитождест- венно равна нулю (см.
задачу 2.18), мы получаем пз (78), что д!ч.) =- — д(ч(го(В) =О. чл (80) Из этого противоречия следует, что уравнение (78) не может быть верным для системы, в которой плотность заряда меняется во времени, Конечно, никто не требует этого; в случае постоянного тока, для которого уравнение (78) справедливо, нп пчотность тока ), ни плотность заряда р не зависят от времени. Задачу можно поставить несколько иначе, если рассмотреть линейный интеграл магнитного поля вокруг провода, переносящего заряд от одной пластины конденсатора к другой, как на рис. 7.27. Согласно теореме Стокса ~ В Й1=-)г го1В да. с э (81) го1 В =.— '""+(7) (82) 259 Поверхность 5 проходит через проводник, в котором течет ток 7.
Внутри этого проводника го1 В имеет конечное значение, а именно 4п,)(с, н интеграл справа получается равным 4п7(с. Таким образом, можно сказать, что если кривая С расположена близко к проводу и на некотором расстоянии от зазора конденсатора, то магнитное поле там не отличается от поля вокруг провода с таким же током.
Поверхность 5' на рис. 7.28 также стягивает С и имеет равные права на участие в теореме Стокса (81). Однако через эту поверхность не течет никакого тока! Тем не менее го1 В не может быть равен нулю по всей поверхности 5' без нарушения теоремы Стокса. Следовательно, на поверхности 5' го1 В должен зависеть от чего-нибудь другого, а не от плотности тока 3. Отсюда следует, что уравнение (78) должно быть заменено какимто другим выражением, подходящим для более сложного случая, когда происходит изменение распределения зарядов. Напишем вместо уравнения (78) и посмотрим, сможем ли мы найти, что представляет собой (2).
Ответ вытекает из общих свойств электромагнитного поля. Вспомните, что законы преобразования поля (уравнения (6.58)) совершенно симметричны в отношении Е и В. В явлении индукции Фарадея переменное магнитное поле оказывается связанным с электрическим полем, и эта связь описывается уравнением (30): 4 дВ го(Е = — —. с дг' (30) Лок:тльное соотношение (30) связывает электрическое п магнитное поля в пустом пространстве, не содержащем зарядов. / г ымх Рнс. 7.8К Белыми стрелкамн ггаказан ток в провопннкьх. Через поверхность ЗЧ которая, так же как я Я, огргннчена крпвор С, так не течет. Ркс 7.87.
Копленсатор с положнтельно заОпгкеннсп правов пласмззвон разряж ется через сопратнвленне. вокруг и, охота создается магннтное поле В. Интегоал ат ротора В по понерхноств 3, которая пересекает провод, ранен ап!зс. Если п отношения Е н В существует симметрия, следует ожидать, что переменное электрическое поле будет вызывать м а г н н т н о е пол е. Это означает существование явления индукци~4, описываемого уравнением, подобным уравнению (30), но с Е и Вц поменявшимися местамц. Оказывается, что в таком уравнении следует изменить знак, но этим Бсе н ограничивается: 1 дЕ го( В= —— с дг (83) Это поможет получить недостающий член для уравнения (82). Чтобы найти его, напишем го( В = — в+ —— 4п 1 дн с ' с др (84) и возьмем дивергенцию от обеих частей уравнения 64ч (го( В) = Й4ч ( — 3) + Йч ( — — ) .
(85) Левая часть должна быть тождественно равна нулю, как показано выше. Во втором члене справа мы можем переменить порядок диф- 260. ференцирования по пространственным координатам и по времени. Таким образом, т'1 дЕ1 1 д, 4и др ())ч ( — — ') = — — (())ч Е) — -- — ' (( с д(,) с д( с д(' (86) согласно уравнению (76). Правая часть уравнения (85) имеет теперь вид — ())ч 3+ — ' 4л . 4а др с с д! (87) и равна нулю благодаря уравнению непрерывности (уравнение (77)). Новый член устраняет трудность, возникшую в ситуации, изображенной на рис. 7.28.
Так как заряд вытекает из конденсатора, величина электрического поля, конфигурация которого для любого Рис У ЗО Ток проводимости (белые стрелки) и тои смешенаи (всрвыс стрелке). Рис 7»й, Злектриееское поле в п~ сйсленный моыепт времеви. Вслиеиие поли В всюду умсиыовюси со иремсисм. момента времени показана на рис, 7.29, умен ьп(ается. В этом случае вектор дЕ((д! направлен в сторону. противоположную Е.
1 дЕ Векторная функция — — на рис. 7.30 изображена черными стрело д! 4л 1 дЕ ками. Так как го! В = — ' Л + — —, то интеграл от го! В по поверхс с д!' ности 5' равен теперь той жс величине, что и по поверхности 5. На поверхности 5' весь вклад создается вторым членом; на поверхности 5 практически имеет значение только первый член, т. е, член с плотностью 3. 7.12. Ток смещения 261 Обратите внимание на то, что векторное поле — — появляется 1 дЕ с д( для того, чтобы продолжить ток проводимости. Максвелл назвал его током сл(си!ения, и название осталось, несмотря на то, что теперь оно кажется не о !ень подходящим.
Чтобы быть точными, мы можем определить «плотность тока смещения» 3,м, которую следует отличать от плотности тока проводимости 3, написав уравнение (84) следующим образом: го( В:=- — "(3+ 3,„), (88) 1 дЕ имея в виду, что 3 "" 4л др ' Новый член необходим для того, чтобы выражение, связывающее ток и л1агннтное поле, было совместимо с уравненисл1 непрерывности в том случае, когда токи проводимости изменяются во времени. Если этот член входит в уравнение (88), то это означает наличие нового явления индукции, в котором переменное электрическое поле сопровождается магнитным полем. Если это явление существует, почему Фарадей не открыл егор Прежде всего, ои его нс искал; но существует и более Р фундаментальная причина, почему опыты, подобные фарадеевским, не могли обнаруф';~',.;.::!!' жить каких-либо новых явле3пемепм мака 'е)пе .''3е ний, относящихся к последпрпепРпмеема .~~~~р( ~е~ нему члену в уравнении (84).
В любом приборе, где есть переменные электрические Рис. 7.31. В медленно изменяющихся полях ПОЛЯ, ИЛСЕ10ТСЯ В ТО ЖЕ ВРЕМЯ полнил вклад в мвснитное поле в любви точке ТОКИ ПронодИМОСТИ вЂ” дВижуот всех токов смептения ринси нулю. Мятшпнос по»е в точке Р момет быть вычислено по ввкону ЩИЕСЯ ЗарЯДЫ.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
