Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 56
Текст из файла (страница 56)
7.7, а). На поверхности 5, внешняя нормаль противоположна по направлению вектору г(а„которым мы пользовались прн вычислении потока сквозь С. 236 Таким образом О=-~В г(а=~В г(а,+~В ( — г(а), ~ В с(а,, =- ~ В г(а., нли (1О) асср = — (В, — В.,) ~иб((. (11) Сравнивая уравнения (1!) и (6), мы видим, что по крайней мере в данном случае электродвижущую силу можно выразить следующим образом: к7= — —— 1 нш с Н ' (12) сч Отсюда следует, что выбор поверхности для вычисления потока сквозь С' не имеет значения.
Все это довольно очегпдно, если вы понимаете, что выражение д(ч В =.О подразумевает пространственное сохранение потока. Какой поток входит в некоторый обьем, такой:. и выходит. (Мы рассматриваем ситуанию во всем пространстве в определенный момент времени.) с1асто полезно представить себе «трубкпъ потока, Трубка потока (рнс. 7.8) представляетсобойповерхность, в каждой точке которой силовые линии магнитного поля касательны к поверхности. Через такую поверхность поток не проходит, следовательно, опа вмещает некоторую данную величину потока, подобно телефонному кабелю с проводамн внутри.
Сквозь любую замкнутую кривую, проведенную вокруг трубки потока, проходит поток одинаковой величины. Это рассуждение можно перепестп и на электрическое поле Е, но лишь для тех областей, где нет электрических зарядов так как г((чЕ=-4пр. Магнитное же поле всегда н везде имеет нулевую дивергепнию. Вернемся к движущейся рамке н найдем скорость изменения потока через нее. За время г(1 рамка пройдет расстояние ог(б Это приводит к изменению полного потока сквозь рамку, который равен ~ В г(а по поверхности, стягивающей рамку.
Во-первых, как видно из рис. 7.9, поток в правой части рамки увеличивается на В,щог(1, во-вторых, слева теряется величина потока, равная В,каор. Следовательно, г(бэ, изменение потока через рамку за время г(Г, равно Можно показать, что это выражение справедливо почти всегда для петли любой формы, движущелся любым способом. Петля С на рис. 7.10 занимает поло>кение С, в момент времени г и движется таким образом, что в момент времени г-Р-с(! оказывается в положении С,. Данный элемент петли дэ персносптся в новое положение со скоростью в, 5 представляет собой поверхность, которая стягивает петлю в момент времени й а !оток сквозь петлю в этот момент времени равен Ф(!) =~ В (а. (13! Магнитное поле В возникает из источников, неподвижных в данной системе координат, и постоянно во времени в любой точке этой системы.
В момент времени ! —.г(! поверхность, стяп,*злющая пет:по, Рнс. 7.9. Зт истерзан ирене ш щ ран- Рис 7ЛО Петин переввигастсн за а~ ено от нз поинт«енин С, и псстоисеипе Га является первоначальной поверхностью 5, фиксированной в пространстве, но увеличенной на «ободокз г(5.
(Вспомните, что для вычисления потока можно брать любую поверхность, стягявающую петлю.) Таким образом, Ф(!+И) —.— ~ В с(а=Ф(!)+) В с(а. (14) ь, нэс иэ г(Ф=- ) В с)а = ~ В ° ((чс(!) а(дз). (15) Так как Ж в данном интеграле постоянно, мы вынесем Ж за знак ин- теграла и пэлучим 7=~В( Х() (16) с Согласно правилу для скалярного тройного произведения (т. 1, гл. 2, формула (52)) мы имеем тождество: а (Ь)(с)= — (Ь;рча) с. 238 Отсюда изменение потока за время г(! в точности равно велиипше потока через <ободок» г(5, т. е. ) В г(а.
Элемент поверхности ободка с(а равен (чс)г))(с(з, н интеграл по поверхности г(5 можно записать как интеграл по пути С следующим образом: р(спользуя его для преобразования подынтегрального выражения в (16), получим — „, =- — ~ (р )( В) 1)5. с (17) Сила, действующая на заряд «), движущийся вместе с петлей, равна д(ч)~В))с, следовательно, электродвижущая с!.: а, представляющая собой линейный интеграл вокруг петли от силы, действующей иа единицу заряда, равна 8 = — ~ (ъ' Я В) С(5. (18) 239 Сравпивая уравнения (17) и (18), мы получаем простое выраже- ИПЕ, ужЕ ПрцВЕЯЕНПОС ВЫШЕ (уГаВИЕНИЕ (1'!). Стас СираяЕдЛИВО И здесь для произвольно движущейся петли любой формы.
()йы даже ке предполагаем, что т одинаково для всех частей петли!) Итак, .Тиией!Ны12 интеграл вокруг движ)1цейся ~с~~и от !у«) (сила, прихог«ящаяся на един:щу заряда) равен коэффициенту — 1(с, умноженному на скорость изменения потока сквозь петлю. Злак ли!ейного И1меграла и направлспис, в котором поток являстся положителы!ыы, связаны праВплох! Впнтас прагоЙ напезкОЙ или правилом правой рук*.!. Например, на рпс. 7.8 поток налвьвл.ц вверх сквозь рауп!у и уменьшается..!рипкушя во впимщ!ие знак 5!Нн!с урависпия (12) и НО«1ьзуясь правилом правой руки, мы получим элек- тр Г г переместить положительный заряд вокруг равуки против часовой стрелки, если смотреть на рамку сверху вниз. Это показано Р1', 11, !М«кс1»озк репку на рис.
7.11. Сущсствуст бОЛСЕ удобНЫЙ СПОСОО рсцщ- нез«!ксепопстсн по вели щ. нс «лтслк: поивзывеет нз- НИЯ ВОПрОСВ О ЗНВКЕ И НЯПРВВЛЕ1ШИ. За- ппввлеж е злектролннжузпср силн, т, с на«~ров»сине пеке- МСТЬТЕ, «1ТО ЕСЛП бЫ В ИВПРЯВЛЕИРИ ИНДУ- «с~пей»н положнтслвното звцированной электродвижущей силы прорвав. текал ток, как показано на рпс. 7.11, то сам этот ток создавал бы некоторый псток сквозь рамку, противодействующий предполагаемому изменению потока.
Это — сушгствеиный физический факт, а пе результат 1:роизвольнсго соглашения о знаках и направлениях. Сн демонстрирует стремлепие системы сопротивляться изменению состояния. В данном случае этот факт называется законом Ленца. Другой пример действия закона Ленца показан иа рис. 7.12. Проводящее колы!О падает в мап|итном поле катушки. Поток сквозь кольцо направлен вниз и возрастает по величине. Для противодействия этому изменению нужен некоторый другой поток, иаправлеииый вверх, Такой поток будет создан током, текущим по кольцу в направлении, указанном стрелками.
По закону Ленца н ндуцированная э. д. с. будет иметь такое направление, чтобы вызвать этот ток. Электродвиукущая сила вызывает ток в рамке, показанной на рис. 7.6 н 7.11, и если рамка имеет конеч!юе сопротивление, в ней будет рассеиваться некоторое количество энергии. Каков источник этой энергии? Чтобы ответить на Опуснсусд!ссб я этот вопрос, рассмотрим силу, действующую на ток в рамке, если он течет в направлении стрелки па У1снусснсннс снсууб?усссннса а асс. ' Проводник справа, в поле Вз, 'у, яма будет испытывать силу, толкаюшу!о 1 его вправо, в то время клк противоположную сторону рамки, находящуюся в поле В,, сила будет толкшь рнс, у !у во аоепяопусьанпа ьоть- ВЛеао, Яо В больша, т!ем Вз, Поэтому па уаслпяаааетс потна скаозь ко: ь- 1 по, ззапразлсяаьл аназ, !зьздуппро- резуЛьтируЮщая сила, действующая нанн*я з д с.
будет, сорт!созе за~ опу лаз„за.я;пра„."на'псе;-,'рзтн„та-, на РачкУ, бУдет напРавлена в;шво, кан ток, текпппн и атом напранпе- и р от и в д в н ж е н н с!. Чтосы рамка ннн, создает поток, напраалоннмн ааерк сквозь кользто спстезза гро- двигалась с постоннной скойостью вправо, необходима работа внеи!них сил, н энергия, затрг!енная таким Образом, выделяется в копие концов в виде тепла в проводе. ПрадстаВЬТЕ, ЧтО ПрОНЗОШЛО бЫ В СЛус!аЕ Парущс!Шя ЗаКОНа ЛЕН!га нлн если бы направление силы, прнложеннои к рамке, совпало бы с направлением ее движения! Рас.
т.!3. Дне катуюкн создают матнатное поле В, которое аблнзн рамка лотта однородно. В рамке, араззтающебся с утлоаосз скоростмо м, надуннруется сннусозздальпо меяющпаяся спектроданткущая сила. Рамка или катушка, вращающнеся в магнитном поле, являются весьма обычными составными частями электрических машин н приборов. Применим полученные нами знания к рассмотрению системы, изображенной на рис. 7.13 и представляющей собой рамку, вращающуюся с постоянной скоростью в почти однородном магнитном поле.
Механические детали, как, например, ось, подшипники, привод лто и т. д., на рисунке не показаны. Поле В создается двумя неподвижных!и катушками. Предположим, что рамка вращается с угловой скоростью ы рад)сек. Ее положение в любой момент времени определено углом О и 0 — -св(-'-а, где постоянная а определяет положение рамки при 1=О. Компонента В, перпендикулярная к плоскости рамки, равна Вз!п О, следовательно, поток сквозь рамку в момент времени ( равен су!(!) =5Вз!п(ы( —,а), (19) где 5 — поверхность рамки.
Тогда для пндуцированной электро- двпжущсй силы мы имеем ! сгэ 5Вж су--- — -- —, =- — ' соз( (-)-а). ел с ('20) Если рамка не замкнута, а соединена враща!ощ!мп!ся вместе с ней кольцами через щетки с внсшними проводами, как показано на рис. 7.13, мы обнаружим на зажимах осциллографа разность потенциалов, изменяющуюся по синусоиде. Поясним вопрос об единицах на численном примере.
Предположим, что величина магнитного поля В равна 800 гс, скорость вращения 30 об!сек, площадь рамки 100 слчс, Тогда вл=2пх30, плп 188 рад/сек и амплитуда, т. е. максимальная величина переменной электродвижущей силы, равна 5Ввл (!88 сгк-') 000 сллг) (500 гс) с 3 ° 10'" сл . с, в —.-3,1 1О 'гс сл (плп ед. СГСЭи). (21) Г1оскольку б' представляет собой работу на единицу заряда, ее можно выражать в единицах СГСЭ, Заметьте, что единицы в уравнении (21) сводятся к гс см. Вели пшы электрического поля Е и магнитного поля В имеют одинаковую размерность в гауссовой системе СГС. Напрнз!ер, в формуле преобразования Е'==(ч/с))(В мы умножаем величину магнитного поля на безразмерное отношение с!с для получения электрического поля.
(Единица электрического поля, СГСЭ (сж, не имеет собственного названия.) Итак, гс сж нспосредствснйо преобразуется в 1 (ед. СГСЭггсл!) см, т. е. в ! ед, СГСЭ,„ В практической системе единиц амплитуда электродвижущей силы в этом примере составляет 3,1 10 ' 300, или 0,093 в. 7.4. Рамка покоится, источник поля движется Мы х!ожем при желании рассматривать опыт, изображенный на рис. 7.6, из системы координат, которая движется вмесге с рамкой. Это не меняет физической сущности дела, а изменит только слова, которыми мы пользуемся для ее описания.
Пусть г' — система координат х', у', г', связанная с рамкой, которую мы теперь считаем неподвижной (рис. 7.14). Катушка и батарея, неподвижные в системе координат г", движутся в отрицательном направлении оси у' со 241 скоростью ч'=- — ч. Обозначим через В; и В.; магш,тные поля, изме- ренные у двух концов рамки наблюдателями в В' в некоторой момент времени 1'. В системе В' будет существовать электрическое поле. Из уравнения (6.62) следует ч'У(В~ ч з( Вт Е'= —— 1— ч' к,( В, ч )( В,, с с (22) Для иабщодателя в В' это — реальное электрическое поле. Опо ие является электростатьчьскох~ полем.."ттп1сипсый ннтщрал от Е' Рис 7!т.
Ра ка в оо вечеа в свете.в кок«испат с', в'токаик воти Вви сотов Псвв В' а Снксикктс т к,к в с Гострсистве, сск и т ~ ввс".евк. вокруг л|обого замкнутого пути в В' в общем случае нс равен нулю. Действительно, линейный интеграл от Е', взятый по рамке, равен Е' бз' = — -(В;--Вл, (26) С ! ст'свк с ит' (24) Теперь «южно следующим образом суммировать наблюдения в обеих заданных системах координат: Г, в которой неподвижен источник поля В, и г', в которой неподвижна рамка. Наблюдатель в В говорит: «Мы имеем магнитное поле, которое меняется в пространстве, но постоянно во времени.
Электрического поля здесь нет. Рамка движется со скоростью ч в магнитном поле, и 242 Линейный интегРал в уравнении (23) мож:ю назвать элсктродвижущей силой,оо на этом пути. Если заряженная частица пройдет по этому пути один раз, то ~' будет работой, совершенной на этом пути над единицей заряда. Всличина х7' связана со скоростью изме- кения потока через рамку. Для того ~тобы убедиться в этом, заметим, что, в то время как сама рамка неподвижна, силовые линии тщгнигпного полл движутся со скоростью — ч источника. Следовательно, для потери нлн приращения потоков у каждого конца рамии за время г(Е мы получаем результат, подобный уравнению (11), откуда следует, что на заряды, расположенные в ней, действует сила (т/с))(В дин на единицу заряда. Линейный интеграл от этой силы на единицу заряда, взятый вокруг рамки, является электродвижущей силой 4' и равен — (1/с) (г(Ф/а11).
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
