Э. Парселл - Электричество и магнетизм (1115535), страница 59
Текст из файла (страница 59)
7.8, Самоиндукция Прн изменении тока )а меняется поток через сам контур С, и, следовательно, в нем индуцируется электродвиж) щая сила. Назовем ее 8„. Закон индукции справедлив при любом источнике потока: 1 йшзт с Й (53) где Ф„представляет собой поток сквозь контур 7 поля В„обуслов. ленного током 7, в контуре Л Зяак минус показывает, .то электро- движущая сила всегда направлена таким образом, чтобы препятствовать изменению тока,— снова закон Ленца! Так как поток Ф„ пропорционалеи 7„ можно написать Нт 1 аз== т (54) lг Постоянная Е, называется еажоиндукиией контура. В качестве примера контура, для которого можно вычислить самоиндукцию 7.а, рассмотрим прямоугольную тороидальную катушку (см, задачу 6.19). показанную на рнс.
7.22. Вы нашли (решив задачу), что ток (ед. СГСЭр)сек), текущий в катушке, состоящей из )у' витков, создает поле, величина которого на расстояиии, равном радиусу г от оси катушки, равна В=2Ж!/сг. Полный поток сквозь один виток катушки равен интегралу от этого поля по всему поперечному сечению катушки: Рнс. 7Э2. Торондальнан катущка, содер»сащан М анткоа, с прнмоугольнмм попереннмн сене. наем (показано тол~ но несколько анткоах Ф (одного витка) =.Л~ — г(г =- — 1п( — ) . (55) Е 2рт'т' 2Гт'Гй Г Ь Х л Поток, пронизывающий контур из У витков, будет в й! раз больше: бэ 2~ма!и ~ ь ) (56) Отсюда индуцированная электродвнжущая сила б" равна 1йФ 2ггд /а~н ~й ~" (,) Н' (57) Следовательно, самоиндукция такой катушки равна Е 2Л'д!п (Ь ) (58) Уравнение (58) дает правильное значение индуктнвности, если Р измерено в единицах СГСЭ ~ген и б.— в единицах СГСЭг.
Для силы тока ! в амперах и б. в вольтах соответствующей единицей для г'. является генри, как и в случае взаимной индуктивности. Используя эти единицы, получим (59) 253 Может показаться, что одно из колец, которые мы рассматривалп выше, было бы более простым примером для вычисления самоиндукции. Однако если попытаться вычислить индуктивность простой круговой проволочной петли, мы встретимся с загадочной трудностью.
Идея упрощения задачи прп диаметре проволоки, равном нулю, кажется неплохой. Но, как нетрудно убедиться, если ток конечной силы течет по проволоке нулевого диаметра, то поток, пронизывающий петлю, сделанную из такой проволоки, оказывается бескоке шо большим! Дело в том, что поле В меняется в окрестности такого тока как 1/», где г есть расстояние от проволоки, и интеграл от поля В, умноженного на площадь, расходится как ~ (г(г/г) при г О. Чтобы избежать этого, мы можем счятать радиус проволоки конечной величиной, а не нулем, что, кстати, ближе к действительности, Вычисления несколько усложняются, что не должно нас беспокоить. Реальная трудность состоит в том, что теперь разные части проволоки становятся различными контурами, связанными раз,тичными величянамн потока.
Мы больше не знаем, что представляет собой понятие «поток сквозь контура. Действительно, поскольку электродвижущая сила различна в разных ниточных петлях, па которые можно разделить контур, то при быстро меняющихся токах, текущих в кольце, должно произойти некое перераспределение плотности тока. Следовательно, индуктивность контура может до некоторой степени зависеть от скорости изменения ! и не быть, таким образом, определенно постоянной величиной, как подразумевается в уравнении (54).
Мы обошли это затруднение в примере с тороидальной катушкой, игнорируя поле в непосредственной близости от отдельных виткон обмотки. Большая часть потока не проходит через саму проволоку и, поскольку это так, обстоятельство, которое нас беспокоило, не будег существенным. 7.9. Контур, содержащий самоиндукцию Предположим, что мы присоединили к батарее, имеющей Э. Д. С. Су,ь КатУШКУ, ИЛИ ~~ау~~~~~~~~~ 1, Каи ПОКаэаио На РНС. 7.23, а. Сама катушка, соединнтельньге провода и даже батарея ~'В имеют какие-то сопротивления. Распределение этих сопротивле)шй в контуре иас пе интересует. Их можно объединить в ~ ( .--ОФ) Щ~~ одно сопротивление 71, сна волпчески изображенное па схгмс коп)ура (рнс.
7.23, 6) Остальная часть контура, особенно соедиа) нитсльпые провода, также дает свой вклад в самоппдукцию контура; примем, что этот вклад включен в 1.. ,1Тругимн словами, рпс. 7.23 представля- 1 ) )-- Л ст собой пдеалпзштию физического контура: индуктивность 1., обозначаемая символом —, не имеет сопроп)аления; сопро- Ю, тнвленне 77 не пм.ст пндуктпвпости. При- ступим к анализу этого идеализированного л коггура, Если ток 1 а контуре мспястся со скоростью НЯ1, то пндуцирустся электродвижущая сила, разная 1.г111а1, направление которой таково, чтобы прела гстнова)ь изменению тока. В контуре действует также постоянная электродвюкущая сила 4', батареи.
Если за положительное нап1)аале')ие тока мы при)!е)1 то наврав.Ление, В кг)тором батарея заставляет ток течь и контуре, то полная злектродвижущая сила в шгкбой комс;и ьремсш) будет ранна 6)„— Е,Н)111. Эта э. д. с. вызовет ток через сопрстивлс))ие Й. С.)е,)ова)ельно, 8 1" 111 О (60) Эта си1уация мОжет Оыть Описана также слсдую!цим ОбразОм: разнос)1, потеицнаг)ов между Т~~ками А н Б:, 11ОТО;)уто мы Ордам называть напряженнем на нндуктнвиосги, равна БН1а1 и потешшгл верхне)о конца катушки положителен, если ток в указанном направлении аозра.л)аеш, Разность потенциалов между точками В и С, . е.
напряже;ше на сопротивлении, равна 171 и положительна на верхнем конце сопротивления, Таким образом, сумма напряжений Н на индуктивности и сопротивлении равна 1,— +К1. Эта величина Н идентична разности потенциалов на за>кимах батареи, которая равна ~', (у нашей идеализированной батареи нет внутреннего сопротиьленяя). Итак, мы имеем уравнение которое совпадает с уравнением (60). Г!режде чем искать математическое реп>гпие уравнения (60), посмотрим, что должно произойти в этом контуре, если замкнуть ключ в моменг времени 1 — О. До замыкания ключа 1 — О, ! )осле замыкания ключа, через длительный промежуток времени, установится равновесное состояние, при котором ток будет практически постоянным н равным 1,, Тогда Л>61 0 и уравнение (60) сводится к следуюшему; б ° — ь:1м (62) Переход от пулевого тока к току равновесного состояния 1„не может произойтп внезапно при 1=0, так как в этом случае ве>пшика г(1)г(1 будет бесконечно большой.
Действительно, сразу после 1-.-0 ток 1 будет столь малым, что вторым члено л )71 в уравнении (6!) можно пренебречь, и тогда К1 Д а ~.' (66) На графике рнс. 7.2'), б показана экспонепцнальная кривая асимптотнческого приближения тока к величине 1„. Постоянной времени в этом контуре является величина 1)Р. Если самонидукция 1 измерена в генри, а сопротивление Й вЂ” в омах, то эта постоянная измеряется в секундах, так как гн — в>(а/с>ек) и ем=в)а. Что произойдет, если мы разомкнем ключ после того, как в цепи установится ток 1„, принуждая тем самым ток сразу снизиться до пуляй Тогда член Е,Л/й будет равен минус бесконечности! Катастрофа может оказаться страшнее математической, Люди погибали, размыкая ключи в контурах с высокой индуктнвностью.
Обычно очень высокое индуцированное напряжение создает искру илн дугу между открытыми контактами ключа, следовательно, ток течет и после размыкання. Давайте лучше удалим батарею из контура, 255 Скорость возрастания тока ограничивается нндуктивностью На рпс. 7.2-), а подведены итоги вышесказанного. Остается только определить значение тока в люоой момент времени.
Уравнение (60) является дифференциальным уравнением, подобным тем, с которыми мы уже встречались в разделе 4.! ! п в гл. 6 т. !. Без дальнейших разговоров мы можем написать решение уравнения (60), которое удовлетворяет навина начальным условиям: 1 — 0 при 1:==0 .8~(! . !я,ы ) г( (64) включив провод параллельно Е и Р, как показано на рис. 7.25, а, и отключив одновременно батарею. Наш контур теперь описывается уравнением д! О=Е,— +Н б) г —— 3 ) -з -7- ) ) ) )- — л= Ь б б г л л Рис.
7.22, с) Конт)раж б) Экс. ионенниадьное снснание тока контуре ).Л. Рве 7 2а и)характер нзнененин тока в начале и через очень бодьсооб прочсзку. ток вреисни. б) Изненение тока во времеви в контуре рис. 7.23. с начальным условием 1=1. при )=-1), где 1, является моментом времени, когда происходит выключение батареи. Решением этого уравнения является просто экспоненциально спадающая функция: 1 = 1,е-)л)б))'-' ) (66) с той же постоянной времени, Е/й, что н прежде. 7.10. Энергия, запасенная в магнитном поле Во время уменьшения тока, заданного уравнением (66) и показанного на рнс.
7.25, б, энергия рассеивается в сопротивлении Д. Так как энергия Л/, рассеянная за короткий интервал времени с(1, равна )с1зб()', то полная энергия, рассеянная после замыкания ключа в момент времени 1„ должна быть равна (1 =- ~ ))12 )(1 = ) )т!ввб-)2а'ь) )'-' )с(1 (6 ° з )з Сделав подстановку х=211(1 — 17))Е., легко получить в 'Х2А' З ' 2 р (68) Следовательно, мы может| считать, что энергия (70) запасена в индуктивности с током У.
Если ток исчезает, зто количество энергии должно появиться где-то в другом месте. Естественно считать, что эта энергия запасена в магнитном поле индуктивностн, так же как энергия заряженного конденсатора запасена в его электрическом поле. Энергия конденсатора. зарщкещюго до разности потенциалов (7, равна т(,С)7а и скла, ывастся нз энергий элементов объема гЬ, находящихся в элсктрическрм псле Е; таким образом, энергия каждого эле.|сита объема равна (178л) Етб(гс Приятной неожиданностью является то, что такое же выражение справедливо и для энергии, запасенной в индуктивности. Иными словами, если мы примем плотность энергии магнат||с|го поля ратной (1/8п) В', то, суммируя энергию всех элементов объема нашего полн, получим для полной энергии величину Ы'-72.
Чтоб|я показать это на примере, вернсхтся к тороидальной катуп|- ке, индуктивность й которой мы вычисляли в разделе 7.8. й(ы нашли (уравнение (68)), что е г,„(г) Напряженность магнитного поля В при токе 7 была равна 77 В = †. (72) Для вычисления объемного интеграла от Вт/8я мы можем взять элемент объема в виде цилиндрического слоя, изображенного на рис. 7.26; его объем равен 2пгЫг. Радиус этого слоя изменяется от г= — а до г=(7, поэтому интегрирование происходит по всему пространству, содержащему 9 Э.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
